必修第二册7.1复数的概念 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．若复数，则z的虚部是（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数为纯虚数那么（ ）
A． B．
C． D．
6．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是（ ）
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
7．如图，复平面内的平行四边形的顶点和对应的复数分别为和，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．的虚部是 B．是纯虚数
C． D．
10．设，则=
A．2 B． C． D．1
11．是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A． B．2 C． D．
12．已知复数满足，则为虚数单位的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．已知复数，，则“”是“为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
15．已知复数对应复平面内的动点为，模为1的纯虚数对应复平面内的点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
二、填空题
16．已知是虚数单位，，且，则__________.
17．复数（为虚数单位），则________.
18．复数，，则的最大值为_________．
三、解答题
19．复数在复平面内对应的向量是，复数对应的点在虚轴（不包括原点）上.若，求.
20．复数，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
21．在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数．
（1）若_______，求实数m的值；
（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标．
22．已知，求实数x，y的值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
利用复数相等的知识列方程组，由此求得，进而求得.
【详解】
由于，
所以.
故选：D
2．C
本题可根据虚部的定义得出结果.
【详解】
因为复数，
所以的虚部是，
故选：C.
3．A
利用，化简复数z，再求复数z的虚部.
【详解】
因为，所以，，
所以复数z的虚部是.
故选：A.
4．C
根据复数的几何意义以及两点间的距离公式即可求解.
【详解】
，在复平面内对应的点为，
，在复平面内对应的点为，
所以两点之间的距离为.
故选：C
5．A
根据纯虚数的概念即可得出选项.
【详解】
复数为纯虚数，
则.
故选：A
6．B
利用复数的几何意义求出复数对应点的坐标即可判断.
【详解】
在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称.
故选：B.
7．D
由复数对应的坐标，结合向量的线性关系求，即可写出对应的复数.
【详解】
如图，由，而，
∴，故对应的复数为.
故选：D.
8．C
本题可根据得出点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，即可得出结果.
【详解】
因为，所以复数在复平面内所对应的点到点的距离为，
则点的轨迹为以为圆心、以为半径的圆，
故的取值范围为，的最大值为，
故选：C.
9．D
根据复数的基本概念判断选项A、B；
根据复数的几何意义求出复数的模，进而判断选项C；
根据复数的乘方计算即可判断选项D.
【详解】
A：复数的虚部为4，故A错误；
B：复数不是纯虚数，故B错误；
C：，故C错误；
D：，故D正确.
故选：D
10．C
先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．
【详解】
因为，所以，所以，故选C．
本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．
11．B
先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】
由题意，
若为纯虚数，则
故选：B
12．D
设，根据复数模的计算公式和三角恒等变换的知识可得到，由此确定最大值.
【详解】
由可设：，，
（其中），
当时，.
故选：D.
13．A
根据纯虚数的定义求出的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
若复数为纯虚数，
则，解得：或，
所以由可得出为纯虚数，
但由为纯虚数，得不出，
所以“”是“为纯虚数”的充分不必要条件，
故选：A.
14．A
由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可
【详解】
由题意，
故为实数
或
故选：A
15．B
根据已知条件结合复数的几何意义确定所对应点的轨迹方程，然后确定，结合复数几何意义及圆的切割线定理即可求出结果.
【详解】
设（），则，
即所对应点在以为圆心，1为半径的圆上，
设该圆与轴交点，
因为模为1的纯虚数对应复平面内的点为，即，
若，则为的中点，故对应的点不合题意，舍去，
因此，由圆的切割线定理可得，
设，则，则，则.
故选：B.
16．3
根据复数相等得出，解方程组即可求解.
【详解】
由题意可得解得，
所以.
故答案为：3
17．
本题先计算，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.
【详解】
.
本题考查了复数模的运算，属于简单题.
18．
利用复数的加减运算法则计算计算，然后计算并利用三角函数的性质分析其最值.
【详解】
因为，，
所以，
故，
所以当时，有最大值，且最大值为.
故答案为：.
本题考查复数的模长计算，解答本题的关键在于先要表示出的表达式，然后通过辅助角公式将化简，结合三角函数的性质求解最值.
19．或.
求得的坐标，设出的坐标，利用列方程，由此求得.
【详解】
由复数的几何意义知.
因为点在虚轴上，所以可设，即.
因为，所以.
解得或.所以或.
20．(1)或
(2)
(3)或
（1）由虚部为0可得；
（2）由实部为0，虚部不为0可得；
（3）由虚部大于0可得．
(1)
因为z为实数，所以，解得或
(2)
由z为纯虚数，则解得
(3)
由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则，解得或
21．（1）答案见解析；（2）.
（1）若选择①，由，可知是一个大于零的实数，从而得进而可求出实数m的值；若选择②，由题意可得，解方程可得实数m的值；若选择③，由题意可得从而可求出实数m的值；
（2）由可得，再由m为整数，可得为平方数，为奇数，从而可求得实数m的值，进而可得答案
【详解】
解：（1）若选择① 因为，所以
解得．
若选择② 因为z的实部与虚部互为相反数，所以，
解得或．
若选择③ 因为z为纯虚数，所以
解得．
（2）因为，所以，
所以．
因为m为整数，所以为平方数，为奇数．
因为或，
所以验证可得，即．
因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为．
22．或.
根据复数相等的概念，列出方程组，解方程组，即可得出答案.
【详解】
解：因为，
所以，
解得：或.
故答案为：或.
答案第1页，共2页
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