必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．三棱锥及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在三棱锥中，，，，平面，则三棱锥的内切球的表面积为（　　）
A． B．
C． D．
3．平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．菱形中，，，将沿折起，C点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮，玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10．扇子，作为中华民族文化的代表产物，在我国已经有四、五千年的历史了.折扇出现铰晚，因可折叠，方便随身携带，流传最广，经研究发现采用黄金分割方式设计的折扇（将一个圆面按黄金分割比例进行分割后得到的较小扇形）最为美观和实用，已知一把黄金分割扇的半径为，则以此扇面围成的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．某三棱锥的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在长方体中，，，，若在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，则此圆柱与原长方体的体积比为________.
14．已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为_______________________．
15．如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的面积与球的表面积之比为________．
16．已知一个圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个等腰直角三角形，且圆锥的底面半径为，则该圆锥的侧面积为__________.
17．点A，B，C在球O表面上，，，，若球心O到截面的距离为，则该球的体积为___________.
三、解答题
18．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是.

（Ⅰ）求正方体石块的棱长；
（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.
19．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为的圆柱．
（1）求出此圆锥的侧面积；
（2）用表示此圆柱的侧面积表达式；
（3）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．
20．球与棱长为的正四面体的每一个面都相切，求此球的体积．
21．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出平面、的形状，取中点并连，由线面垂直的定义和勾股定理求出，求出的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案．
【详解】
解：由三视图可得：平面，且底面为正三角形，
如图所示，取中点，连，则，
在中，，，，
在中，，所以．
设球心到平面的距离为，
因为平面，且底面为正三角形，
所以该三棱锥的外接球是对应三棱柱的外接球，
则球心到平面的距离是的一半，即，
因为的外接圆的半径为，
所以由勾股定理可得，
则该三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积是，
故选：C
2．B
根据内切球半径计算公式直接计算.
【详解】
由平面，且，，，得，，
所以为等边三角形，为等腰三角形，
，
三棱锥的表面积为.
设内切球半径为，则，即，
所以，所以三棱锥的内切球的表面积为，
故选：B.
3．C
由平面平面，证得平面和平面，得到、均为，设中点为，连、，根据球的定义，得到为球心，进而求得外接球的表面积为.
【详解】
由题意，平面平面，
又因为平面平面，平面，，可得平面，
因为四边形为平行四边形，所以，
同理平面，所以、均为，
设中点为，连、，
则，其中为三棱锥外接球半径，
则，，
则，故三棱锥外接球的表面积为.
故选：C.
解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
4．A
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为
.
故选：A.
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
5．A
根据题意，当平面平面时，此时的体积取得最大值，且为的外心，过点作平面的垂线，设存在点点，使得，利用球的性质，求得球的半径，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】
由题意，三棱锥的底面的面积为定值，当平面平面时，此时点到底面的距离最大，此时三棱锥的体积取得最大值，
因为四边形为菱形，且，连接交与点，
可得，所以为的外心，
过点作平面的垂线，可得上点到三点的距离相等，
设存在点点，使得，即点为三棱锥的外接球的球心，
设，可得，
即，解得，
所以外接球的半径为，
所以外接球的表面积为.
故选：A.
解决与球有关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程，并求解.
6．A
根据图形，几何体的体积由圆柱的体积加正方体的体积减去正方体遮住圆柱的部分求解.
【详解】
由图可知，组合体的体积为：
，
，
故选：A
7．A
设侧面展开图正方形边长为，用表示出圆柱底面半径，然后求出全面积与侧面积，再计算比值．
【详解】
设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，，，
全面积为，而侧面积为，
所以全面积与侧面积之比这．
故选：A．
8．D
根据给定条件确定出三棱锥体积最大时的点C位置，再求出球半径即可得解.
【详解】
设球的半径为，因，则的面积，
而，且面积为定值，则当点到平面的距离最大时，最大，
于是，当是与球的大圆面垂直的直径的端点时，三棱锥体积最大，最大值为，解得，
所以球的表面积为.
故选：D
9．B
先分析出三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，直接求出长方体的外接球的半径为R，求出球的表面积.
【详解】
将三棱锥放在一个长方体中，如图示：
则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.
设长方体的外接球的半径为R，则，故.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
10．B
先求出扇形的圆心角大小，进而求出圆锥的底面半径和母线长，最后根据圆锥的体积公式求得答案.
【详解】
根据题意，扇面的圆心角，设圆锥的底面半径为，母线长度为，高为，则，，所以，于是，该圆锥的体积.
故选：B.
11．B
根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．
【详解】
解：设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以
所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为
故选：．
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
12．A
首先把三视图转换为直观图，进一步求出外接球的半径，最后求出球的表面积．
【详解】
根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．
如图所示：
设外接球的半径为，
所以，解得，
解得．
故选：A．
本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体和外接球的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．
13．
以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，以为圆柱底面时，挖去的圆柱体积为：，由此能求出在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，进而求得圆柱与原长方体的体积比.
【详解】
解：以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，
以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，
以为圆柱底面时，挖去的圆柱最大体积为：，
∴在长方体中挖去一个体积最大的圆柱，此圆柱与原长方体的体积比为：.
故答案为：.
本题主要考查长方体和圆柱体的体积，考查分类讨论能力和运算求解能力，属于基础题型.
14．
首先根据三视图，还原被截圆锥的内接三棱锥，即可计算球的半径，即球的表面积.
【详解】
该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为，且，.
，设球的半径为，由球的性质可知，，解得，故球的表面积为.
故答案为：
15．
求出截面圆半径后可得面积比．
【详解】
截面圆半径为，球半径为，则由题意得，
所以截面圆面积与球表面积比为．
故答案为：．
16．
作出图像，根据结合关系求圆锥母线长度，根据圆锥侧面积公式即可计算.
【详解】
如图所示，△ABC为轴截面，圆锥母线长度为，
故圆锥侧面积为.
故答案为：﹒
17．
根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．
【详解】
因为，，，所以，
所以三角形外接圆半径，
又球心O到截面的距离为，所以球的半径为．
球体积为．
故答案为：．
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ）设正方体石块的棱长为（dm），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可；
（Ⅱ）仔细审题知，当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，此时正方体的棱长正好是球的直径，然后计算体积即可.
【详解】
（Ⅰ）设正方体石块的棱长为（dm），
则每个截去的四面体的体积为，
由题意可得，解得，
故正方体石块的棱长为；
（Ⅱ）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，
此时正方体的棱长正好是球的直径，球形石凳的最大体积：.
关键点点睛：本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，第二问的解题关键是要明确当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，进而利用体积公式进行计算．
19．（1）；（2）；（3）.
（1）求出圆锥的母线长为，再代入圆锥的侧面积公式计算，即可得到答案；
（2）设圆柱的半径为，可得，再代入，即可得到答案；
（3）当时，取得最大值为，进而计算圆柱的体积为．
【详解】
（1）圆锥的底面半径与高均为2，则圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．
（2）设圆柱的半径为，
则，解得，且；
所以圆柱的侧面积为．
（3），；
当时，取得最大值为，
此时，圆柱的体积为．
20．．
在四面体中取面△的中心，连接、，易知可求，进而求正四面体的体积，若内切球半径为，由求，进而求球的体积．
【详解】
如图，在四面体中，取底面△的中心，连接，，则．
又，则．
∴正四面体的体积．
设内切球球心为，半径为，连接，，，．
∴，可得，
∴球的体积．
21．36
结合图形可知该几何体水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积，因此表面积等于几何体的侧面积＋底面积的两倍，从而可以求出结果.
【详解】
易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1.
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平投影面积等于下底面最大正方体的底面面积.
∴S表＝2S下＋S侧＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36，
∴该几何体的表面积为36.
答案第1页，共2页
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