必修第二册8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．如图，在正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．点、到平面的距离相等
B．与为异面直线
C．
D．平面截该正方体的截面为正六边形
3．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a α，b α，c β，d β，则α与β的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
4．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是
A．两两相互平行
B．两两相交于一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
5．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平面 B．平面
C．与平面相交 D．以上都有可能
6．下列条件中，能判断平面与平面平行的是　　
A．内有无穷多条直线都与平行
B．与同时平行于同一条直线
C．与同时垂直于同一条直线
D．与同时垂直于同一个平面
7．在长方体中．，，P是线段上的一动点，如下的四个命题中，①平面．②与平面所成角的正切值的最大值是．③的最小值为．④以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是．真命题共有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．下列命题正确的是（ ）
A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
9．已知S为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则
A． B． C． D．以上均有可能
10．如图，在三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，过作一平面分别交底面三角形的边，于点E，F，则（ ）
A．
B．四边形为梯形
C．四边形为平行四边形
D．
11．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图如图所示，在正方体中，设的中点为M，的中点为N，下列结论正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
12．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．直线////
C．直线满足//////
D．异面直线满足，且////
二、填空题
13．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论：
①平面DE；
②平面AF；
③平面平面AFN；
④平面平面NCF.
其中正确结论的序号是______.
14．如图所示，在空间四边形中，，分别为边，上的点，且，又，分别为，的中点，则下列结论正确的是__________________（请填写正确命题的序号）
①平面；②平面；
③平面；④平面．
15．如图所示，正方体中，，点为的中点，点在上．若平面，则线段的长度等于______．
16．如图所示﹐在三棱柱中，截面与平面ABC交于直线a，则直线a与直线的位置关系为______.
三、解答题
17．将教室内的日光灯管抽象成一条直线，教室的地面抽象成一个平面，而且假设这里的直线与地面平行，那么这条直线是否与地面上的所有直线都平行？地面上的哪些直线与灯管所在的直线平行？
18．已知四棱锥A—BCDE，AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD=2，CD面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
(1)求证：EF∥面ABC；
(2)求四棱锥A—BCDE的体积，
19．如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于.
证明：.
20．如图所示，在直角梯形BCEF中，，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2AD＝2AF＝2，（如图1）将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）当EF⊥CF时，求异面直线BF与EC所成角的余弦值．
21．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
题中是两条不同的直线，直线的位置关系由平行、相交、异面，直线与平面的位置关系由相交、平行、在平面内.两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
【详解】
A.直线也可能相交或者异面；
B.若在平面内则不成立；
C.直线也可能异面；
D.因为 ，所以，且，故.
故选：D
要全面考虑直线间的位置关系，以及直线与平面的位置关系，可以借助桌面和笔来进行分析.
2．B
利用中点的性质可判断A选项的正误；利用三角形全等可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；确定截面与各棱的交点以及截面多边形边长与各角的大小，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，为的中点，故点、到平面的距离相等，A对；
对于B选项，延长、交于点，延长、交于点，
因为，为的中点，则，，，
所以，，则，同理可知，则，
即点、重合，故、相交，B错；
对于C选项，设正方体的棱长为，
则，同理，所以，为等边三角形，
因为，
由余弦定理可得，
所以，，故，则，C对；
对于D选项，设平面分别交棱、于点、，
因为平面平面，平面平面，平面平面，则，
因为、分别为、的中点，则，
因为，，故四边形为平行四边形，则，，
为的中点，则为的中点，同理可知为的中点，
所以，、、、、、分别为棱、、、、、的中点，
由勾股定理可知六边形的边长为，且，
同理易知，
故六边形为正六边形，D对.
故选：B.
3．C
运用面面的位置关系结合题目中的已知条件进行判断.
【详解】
根据面面平行的判定定理：在一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，本题中的四条直线都是平行的，不是相交的，所以与可以平行，也可以相交，如图①和图②所示：可知与平行或相交.
故选：C.
方法点睛：在判断点、线、面的位置关系时，一般先画面，再画线，后画点，同时也要注意问题的多种可能性.
4．A
根据题意，作出图形，，，，由面面平行的性质，得到交线平行，同理可得其它几条交线相互平行，进而可得出结果.
【详解】
根据题意，作图如下：，，，
根据平面平行的性质可得，
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
∴.
同理可得其它几条交线相互平行，
故两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线两两平行.
故选A.
本题考查了线线位置关系的判断，熟记面面平行的性质定理即可，属于常考题型.
5．A
由，可推出，再根据线面平行的判定可得出答案.
【详解】
∵
∴
又∵，.
∴平面.
故选：A
6．C
利用面面平行的判定直接判断即可．
【详解】
解：对于，若内有无穷多条平行的直线与平行，则不能说明平行；
对于，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；
对于，垂直于同一条直线的两平面平行；
对于，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．
综上，选项正确．
故选：．
本题考查空间中面面平行的判定，考查空间直线、平面间的位置关系，属于基础题．
7．D
证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断①的正误；求出的最小值，利用线面角的定义可判断②的正误；将沿翻折与在同一平面，利用余弦定理可判③的正误；设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，求出的长，判断出点的轨迹，可判断④的正误．
【详解】
解：对于①，在长方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，同理可证平面，
，所以，平面平面，
平面，所以，平面，故①正确；
对于②，平面，所以，与平面所成角为，
，所以，当时，与平面所成角的正切值的最大，
由勾股定理可得，
由等面积法可得，
所以，的最大值为，故②正确；
对于③，将沿翻折与在同一平面，如下图所示：
在中，为直角，
，，
在中，，，
由余弦定理可得，
则为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得，此时，
因此，的最小值为，故③正确；
对于④，设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，
由于平面，平面，
，
，
所以交线为以为圆心，1为半径的四分之一圆周，所以交线长是，故④正确．
故选：D．
8．B
根据面面平行的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，这两个平面可能相交，故A选项错误.
对于B选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，正确，故B选项正确.
对于C选项，这两个平面可能相交，故C选项错误.
对于D选项，这两个平面可能相交，故D选项错误.
故选：B
9．B
根据线面平行的性质解答.
【详解】
解：因为平面,平面,平面平面,所以.显然与,均不平行.
故选：.
本题考查线面平行的性质，属于基础题.
10．B
由已知条件及线面平行的性质可得且，可得四边形为梯形，可得答案.
【详解】
解：∵在中，，，，.又平面，平面，平面.
又平面，平面平面，，.
显然在中，，，
∴四边形为梯形.
故选：B.
本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.
11．C
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母，取FH的中点O,连接ON,BO，可以证明MN‖BO,利用BO与平面ABE的关系可以判定MN与平面ABE的关系，进而对选择支A作出判定；根据MN与平面BCF的关系，利用面面平行的性质可以判定MN与平面ADE的关系，进而对选择支B作出判定；利用线面平行的判定定理可以证明MN与平面BDE的平行关系，进而判定C；利用M,N在平面CDEF的两侧，可以判定MN与平面CDE的关系，进而对D作出判定.
【详解】
根据题意，得到正方体的直观图及其各点的标记字母如图所示，取FH的中点O,连接ON,BO，
易知ON与BM平行且相等，四边形ONMB为平行四边形，MN‖BO,
∵BO与平面ABE（即平面ABFE)相交，故MN与平面ABE相交，故A错误；
∵平面ADE‖平面BCF,MN∩平面BCF=M,∴MN与平面ADE相交，故B错误；
∵BO 平面BDHF,即BO‖平面BDH,MN‖BO,MN 平面BDHF,∴MN‖平面BDH,故C正确；
显然M,N在平面CDEF的两侧，所以MN与平面CDEF相交，故D错误.
故选：C.
本题考查从面面平行的判定与性质，涉及正方体的性质，面面平行，线面平行的性质，属于小综合题，关键是正确将正方体的表面展开图还原，得到正方体的直观图及其各顶点的标记字母，并利用平行四边形的判定与性质找到MN的平行线BO.
12．D
采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
A错
内有无穷多条直线与平行，
平面与平面可能平行，也可能相交，
B错
若直线////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
C错
若//////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
D正确
当异面直线满足，且////时，
可在上取一点，过点在内作直线//，
由线面平行的判定定理，得//，
异面，所以 相交，
再由面面平行的判定定理，得//，
故选：D.
本题考查面面平行的判定，属基础题.
13．①②③④.
将图形还原为正方体，进而根据点线面的位置关系及线面平行和面面平行的判定定理判断答案.
【详解】
如图，
对①，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面DE，平面DE，则平面DE.正确；
对②，因为，所以四边形是平行四边形，所以，而平面AF，平面AF，则平面AF.正确；
对③，因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形，所以，而，所以平面BDM∥平面AFN.正确；
对④，因为，所以四边形是平行四边形，所以，同由③：，而，所以平面平面NCF.正确.
故答案为：①②③④.
14．①②③
根据题意，，，进而根据线面平行的判定定理即可得答案.
【详解】
解：∵ 在中，，
∴，
又∵ 平面，平面，平面，平面
∴ 平面；平面；
∵，分别为，的中点，
∴ ，
又∵平面，平面，
∴ 平面
∴，
∴ 四边形是梯形，
∴与必相交，
∵平面，
∴与平面有公共点，即与平面不平行.
综上，正确的是：①②③
故答案为：①②③
15．
根据平面，得到EF为△ACD的中位线，即可求出线段的长度
【详解】
在正方体中，，
∴．又为中点，平面，
平面，平面平面，
∴，∴为中点，∴．
故答案为：.
16．平行
利用线面平行的性质判断即可
【详解】
因为∥，平面，平面，
所以∥平面，
因为平面，平面与平面ABC交于直线，
所以∥，
故答案为：平行
17．不是，见解析.
根据线面平行的判定定理，以及线面平行的性质，直接判定即可.
【详解】
这条直线不是与地面上的所有直线都平行.
这条直线与地面上的直线有两种位置关系，一是平行；二是异面直线，过日光灯管所在的直线作一个平面，该平面与地面的交线，即与日光灯管所在的直线平行.
本题主要考查线面平行的性质，熟记线面平行的判定定理与性质即可，属于常考题型.
18．(1)证明见解析；
(2)．
（1）取中点，连接，证明，从而得证线面平行；
（2）取中点，证明是四棱锥的高，证明底面是直角梯形，然后由体积公式计算体积．
(1)
取中点，连接，又是中点，则，，又，
所以，所以是平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面；
(2)
取中点，连接，由于是等边三角形，则，
因为CD面ABC，面ABC，所以，
因为，平面，所以平面，
由已知，
由CD面ABC，面ABC，所以，是直角梯形，
，
所以．
19．见解析
通过四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即得结论；
【详解】
证明： 且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面
平面，
又因为平面平面，平面，
；
本题考查线面平行的判定及性质定理的应用，属于基础题.
20．（1）证明见解析；（2）
（1）取DE中点M，连接AM，证明EF∥AM，可得AM∥平面BEF.连接AC、BD，设，证得MN∥BE，可得MN∥平面BEF，由面面平行的判定可得平面AMN∥平面BEF，从而得到AC∥平面BEF；
（2）在平面ADEF中，证明EF⊥FD，结合EF⊥CF，可得EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，再由CD⊥AD，得到CD⊥平面ADEF，得到CD⊥DE，由已知求解CE、CM，证明BF∥CM，可得∠ECM为异面直线BF与EC所成角(或其补角),再由余弦定理求解.
【详解】
(1)证明:如图，
取DE中点M，连接AM，可得FA∥EM，FA=EM，则四边形AMEF为平行四边形，
得EF∥AM，EF平面BEF，AM平面BEF,所以AM∥平面BEF.
连接AC、BD，设AC∩BD=N，则N为BD的中点，连接MN，
则MN∥BE，BE平面BEF，MN平面BEF,∴MN∥平面BEF.
又AM∩MN=M，AM、MN平面AMN，所以平面AMN∥平面BEF,
而AC平面AMN，所以AC∥平面BEF.
（2）在平面ADEF中，由，DE=2，可得：，
即EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF=F，所以EF⊥平面CDF，则EF⊥CD，
又CD⊥AD，AD与EF相交，∴CD⊥平面ADEF，则CD⊥DE.
在直角△CDE中，求得，在Rt△CDM中，求得，
∵FM∥BC，FM=BC，∴四边形BCMF为平行四边形，可得BF∥CM，
则∠ECM(或其补角)为异面直线BF与EC所成角.在△ECM中,由余弦定理可得：，
故异面直线BF与EC所成角的余弦值为.
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）连接，利用中位线的性质得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）计算出，利用锥体的体积公式可求得结果.
【详解】
（1）因为四边形为矩形，且，则为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，因此，平面；
（2）因为，，且为的中点，
所以，，
在长方体中，平面，
因此，.
方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：
（1）通过面面平行得到线面平行；
（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页