必修第二册8.2立体图形的直观图 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1．已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1，下底为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ）
A．12 B．6 C． D．
4．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，那么（ ）
A．的长度大于的长度 B．的长度等于的长度
C．的面积为1 D．的面积为
6．下列说法错误的是（ ）
A．多面体至少有四个面
B．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
7．如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
9．如图，是水平放置的的直观图，其中，所在直线分别与轴，轴平行，且，那么是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
10．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
11．如图，边长为2的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________.
14．如图所示，已知斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，则原的面积为____________．
15．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则原三角形的面积为_________．
16．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不得将纸撕开，则所需纸的最小面积是_______.
三、解答题
17．如图，梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测直观图，，轴，，请画出它所对应的平面图形.
18．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.
19．用斜二测画法画一个上底面边长为1cm，下底面边长为2cm，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2cm的正四棱台.
20．用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系.
21．如图所示，三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积分别为，的两部分，那么等于多少
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
由三视图还原几何体，并判断其几何构成，结合圆柱体的体积公式求几何体的体积即可.
【详解】
由三视图可知，几何体为一个高度为4的圆柱体去掉高度为1的左上角部分，如下图示：
∴几何体的体积为：.
故选：C
2．A
先判断原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，下底边长，代入梯形的面积公式计算．
【详解】
平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1，下底为的的等腰梯形，
原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为，
原平面图形的面积．
故选：A．
3．C
通过“斜二测画法”将直观图还原，即可求解
【详解】
解：由斜二测画法的直观图知，，，，；
所以原图形中，，，，，，
所以梯形的面积为．
故选：C．
4．A
由斜二测画法得到，，再根据面积公式可求出结果.
【详解】
由斜二测画法可知该三角形为直角三角形，，
根据直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度变为原来的一半，
因为，所以，
所以，所以三角形的面积为．
故选：A
5．D
把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.
【详解】
把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，
据此分析选项：
对于A，，则有，A错误；
对于B，，，B错误；
对于C，的面积，C错误；
对于D，的面积，D正确.
故选：D．
6．D
根据棱柱的性质可判断各选项的正误.
【详解】
多面体至少为四面体即有四个面，故A正确.
根据六棱柱的性质可得其有6条侧棱，6个侧面，且侧面为平行四边形，故B正确.
长方体、正方体都是四棱柱，故C正确.
三棱柱的侧面为平行四边形，故D错误.
故选：D.
7．D
先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.
【详解】
由题意可知是等腰直角三角形，，
其原图形是，，，，
则，
故选：D.
8．B
根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，可得结论．
【详解】
解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与轴平行的线段长度不变，与轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜，故原来垂直线段不一定垂直了；
故选：B．
本题考查的知识点是斜二侧画法，熟练掌握斜二侧画法的作图步骤及实质是解答的关键，属于基础题．
9．D
根据斜二测画法的原则，可得原图中，且即可判断的形状.
【详解】
因为中，，所在直线分别与轴，轴平行，
所以中，所在直线分别与分别与轴，轴平行，所以
因为，所以，即，
所以是直角三角形，
故选：D.
10．D
根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积．
【详解】
由三视图知原几何图形是直角梯形，如图，
，
面积为．
故选：D．
11．A
还原出原平面图形，得其结构尺寸，计算面积．
【详解】
由三视图知原平面图形是平行四边形，，，且，
所以面积为．
故选：A．
12．B
【详解】
分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．
13．
先利用梯形面积公式得到直观图的面积，再利用直观图与原图形面积的倍数关系进行求解.
【详解】
直角梯形ABCD的面积，设原图形面积为，则，则这个平面图形的实际面积
故答案为：
14．
通过过点作轴，且交轴干点，由直观图求得原图形中边上的高，然后可得三角形面积．
【详解】
过点作轴，且交轴干点．
过作轴，且交轴于点，
则，∴，∴．∴三角形的高，底边长为，其面积为．
故答案为：．
15．6
先根据条件由斜二测画法得出原平面图形，从而得出其面积.
【详解】
根据条件由斜二测画法得出原平面图形，如图.
则
所以
故答案为：6
16．8
由题意，分析正方体的侧面展开图，上底面分割适当，尽量不产生浪费，即可判断最小纸张的面积.
【详解】
如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图②知正方形的边长为，其面积为8.
故答案为：8

本题考查巧分解正方体表面积，发挥想象力，属于中等题.
17．作图见解析
根据斜二测画法画出将直观图还原为原图.
【详解】
（1）延长，交轴于点，如图所示.

（2）如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴正半轴上截取，过点E在第一象限内作轴，在EF上截取，，再在EF的右侧分别过点D，A作轴，轴，且使，.连接BC，则直角梯形ABCD就是所求作的梯形对应的平面图形.
本小题主要考查斜二测画法，属于基础题.
18．见解析
画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图，得到答案.
【详解】
如图所示，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和球共同的轴线上确定球的半径，最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.
本题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.
19．见解析
根据斜二测画法的规则，先画出正四棱台的底面的直观图，再观察正四棱台的高，进而得到正四棱台的上底面的直观图，连接各点，即可得到正四棱台的直观图.
【详解】
（1）画轴.如图（1）所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使.

（2）画下底面.以点O为中点，在x轴上截取线段，在y轴上截取线段，分别过点作y轴的平行线，过点作x轴的平行线，设它们的交点分别为，四边形就是正四棱台的下底面.
（3）画高.在上截取，过分别作平行于的直线.
（4）画上底面.在平面上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1cm的正四棱台的上底面的直观图.
（4）成图.顺次连接，整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）得到正四棱台的直观图，如图（2）所示.
本题主要考查了空间几何体的的直观图的画法，其中解答中熟记斜二测画法的规则，同时注意“一变两不变”的原则是解答此类问题的关键，同时画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，圆的直观图通常为椭圆，着重考查了数形结合思想，属于基础题.
20．有确定的数量关系
先确定三角形的直观图和原始图的面积关系，再将多边形转化为三角形得到答案.
【详解】
①设在中，为高边平行于轴，用斜二测画法得到其直观图为，
则有，的高为，
所以.
②当的三边都不与轴平行时，可过其中一个顶点作与轴平行的直线与对边相交，不妨设过点作与轴平行的直线交于点，则将分成和，
由①可知.
③对多边形，可连接，，…，，得到()个三角形，
即，，…，，
由①②知
综上：可知多边形与其直观图多边形的面积之间有确定的数量关系.
本题考查了斜二测画法得到的直观图与原始图的面积关系，将多边形转化为三角形是解题的关键.
21．
如图，分别延长到，到，到，且，，，根据体积的大小关系得到答案.
【详解】
如图，分别延长到，到，到，且，，，连接，，，则得到三棱柱，且.
延长，，则与相交于点.
因为，所以.
连接，，则，所以，故
本题考查了组合体的体积比，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页