必修第二册8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线
D．若是三条直线，且与都相交，则直线共面.
2．四棱锥的底面是正方形，且各条棱长均相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．设α、β是互不重合的平面，l、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是（ ）
A．若mα，nα，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若l⊥n，m⊥n，则l∥m
C．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
4．已知直线平面，直线平面，给出下列命题：
①；
②；
③；
④.
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①③④
5．正方体的棱长为2，E是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为（ ）
A．5 B． C． D．
6．下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中（ ）
A．直线与直线平行 B．直线与直线相交
C．直线与直线异面垂直 D．直线与直线异面且所成的角为60°
7．设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则.
其中所有错误说法的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
8．若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A． B． C． D．
9．“直线a经过平面外一点P”用符号表示为（ ）
A．， B． C．， D．，
10．在三棱锥中，，分别是的中点，若，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
12．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
二、填空题
13．在立方体中，把两两都为异面直线的三条直线称为一组，在立方体的12条棱所在直线中，满足条件的直线有________组.
14．空间中两两平行的3条直线最多可确定的平面的个数是______
15．长方体中，，，则异面直线与所成的角余弦值为__________.
16．如图，已知圆柱的上底面圆心为O，高和底面圆的半径相等，AB是底面圆的一条直径，点C为底面圆周上一点，且，则异面直线AC与OB所成角的余弦值为___________.
17．如图，在边长为的正方体中，、分别为棱、的中点，则平面截该正方体所得截面的面积为__________.
三、解答题
18．如图，在直四棱柱中，点是线段上的一个动点，分别是的中点.
（1）求证：平面.
（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且
(1)求证：四点共面；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
20．已知平面四边形中，，，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且.
（1）求证：；
（2）若为的中点，求点到平面的距离.
21．如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
利用空间点、线、面位置关系直接判断.
【详解】
A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；
B.由墙角模型，显然B错误；
C.根据线面垂直的判定定理，若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直，若直线与平面内的无数条平行直线垂直，则直线与平面不垂直，故C错误；
D.因为，所以确定唯一一个平面，又与都相交，故直线共面，故D正确；
故选：D.
2．D
作出图形，设四棱锥的各条棱的棱长为，计算出各边边长，利用余弦定理求出，即为所求.
【详解】
如下图所示，设四棱锥的各条棱的棱长为，连接、交于点，则为的中点，且平面，连接，取的中点，连接，
四边形为正方形，，则，
所以，异面直线与所成角为或其补角，
，，，
为的中点，，
、分别为、的中点，且，
平面，平面，平面，，
，由勾股定理得，
是边长为的等边三角形，为的中点，，
，由余弦定理得.
故选：D.
本题考查异面直线所成角的余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.
3．D
根据线面垂直判定定理和线面垂直的性质定理即可判断﹒
【详解】
对于，若，则，错误，满足条件与相交时正确，若与平行，l不一定垂直于；
对于，若，则或与相交或与异面，故错误；
对于，若，则或与相交或与异面，相交与异面时也不一定垂直，故错误；
对于，若，则内存在直线与平行，又，而，故D正确﹒
故选：﹒
4．B
利用面面平行、线面垂直的性质可判断①；直接根据已知条件判断线线位置关系，可判断②；利用线面平行、垂直的性质可判断③；根据已知条件直接判断面面位置关系，可判断④.
【详解】
因为直线平面，直线平面.
对于①，若，则，从而，①对；
对于②，若，则或，则与的位置关系不确定，②错；
对于③，若，则，因为，则，③对；
对于④，因为，，则或，则或、相交、重合，④错.
故选：B.
5．D
作出示意图，设为的中点，连接，易得平面截该正方体所得的截面为，再计算其面积.
【详解】
如图所示，设为的中点，连接，设为的中点，连接，
由且，得是平行四边形，则且，
又且，得且，则共面，
故平面截该正方体所得的截面为.
又正方体的棱长为2，，，，，
故的面积为.
故选：D.
6．D
首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线与直线为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.
【详解】
正方体的展开图的立体图形如图所示：
由图知：直线与直线为异面直线，故A，B错误；
连接，，因为，所以或其补角为异面直线与所成角.
又因为为等边三角形，所以.
所以直线与直线异面且所成的角为60°，故C错误，D正确.
故选：D
本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.
7．C
①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断.
【详解】
①若，，则或相交，故错误；
②若，，则可得，故正确；
③若，，则，故错误；
④若，，，当时，，故错误.
故选：C
8．B
利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.
【详解】
因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以.
又因为直线b(集合)在平面(集合)内,
所以.所以.
故选：B
9．C
利用集合语言表示即可.
【详解】
“直线a经过平面外一点P”用符号表示为，.
故选：C.
10．C
取的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得出和，从而可知异面直线所成角为或其补角，再在中利用余弦定理求出，从而得出异面直线所成角的余弦值.
【详解】
解：如图，取的中点，连接，
因为是的中点，是的中点，所以，
同理，
所以异面直线所成角为或其补角，
在中，，
即异面直线所成角的余弦值为.
故选：C.
11．D
根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点，
故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误；
由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误；
体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误；
补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确.
【详解】
对于选项A，交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
故A错误；
观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交，
故B错误；
四条体对角线全部与面都相交，
故C错误.
如下图，取中点为，易得，
取中点为，连接，易得，
再取中点为，连接，则，
，
是平面与正方体底面的交线，
延长，与的延长线交于，连接，交于，
则可得五边形即为平面交正方体的截面，
故D正确；
故选：D.
12．C
根据平面的基本性质判断．
【详解】
两个平面若有三个公共点，当这三个点不共线时，两平面重合，当这三个点共线时，这两个平面相交或重合．
故选：C．
本题考查平面的基本性质，平面的基本性质公理3中一定要注意三点不共线才能确定一个平面，属于基础题．
13．8
作出正方体，不妨研究底面,过每条棱都有满足条件的2组，即可求出总的组数.
【详解】
如图，
取其中一条直线AB,与其一组的直线为或,共两组，
取直线，与其一组的直线为或,共2组，
其次类推，过的也各有2组，
所以共有组.
故答案为：8
本题主要考查了空间中异面直线的位置关系，考查了空间想象了，属于容易题.
14．3
根据直线平行的性质即可得到结论．
【详解】
解：若三条直线在同一平面内，则此时三条直线只能确定一个平面，
若三条直线不在同一平面内，则此时三条直线能确定三个平面，
故三条两两平行的直线可以确定平面的个数为1个或3个，
故答案为：3．
15．
连接，因为所以或补角为异面直线与所成的角，由余弦定理求解.
【详解】
如图所示，
连接和因为，所以或补角为异面直线与所成的角
因为，，所以，，
由余弦定理得
故答案为：.
方法点晴：求线线夹角可用几何法：先平移相交找角再用三角知识求解；也可用空间向量公式求解.
16．
过点B作，交圆于D，连接OD，AD，则即为直线AC与OB所成角，求出各边关系即可得出.
【详解】
如图，设底面圆心为，则底面，，
过点B作，交圆于D，连接OD，AD，则即为直线AC与OB所成角，
设底面圆半径为1，由圆柱高和底面圆的半径相等，得圆柱高为1，
在中，，
，，
由圆的对称性可知，所以为等比三角形，
则，故直线AC与OB所成角的余弦值为.
故答案为：.
17．##
连接、、，分析可知平面截正方体所得截面为梯形，计算出梯形的面积，即可得解.
【详解】
连接、、，如下图所示：
在正方体中，且，故四边形为平行四边形，
所以，，
、分别为、的中点，则且，，
因为平面平面，平面平面，设平面平面，则，
因为为平面与平面的一个公共点，且，，故直线与直线重合，
且，故梯形为截面截正方体所得截面，
过点、在平面内作，，垂足点分别为、，
因为，同理可得，则梯形为等腰梯形，
因为，，，则，
所以，，
在平面内，，，，则，故四边形为矩形，
所以，，则，，
因此，截面面积为.
故答案为：.
18．（1）证明见解析；（2）存在，
（1）利用三角形中位线及线面平行的判定定理证明线面平行；
（2）找的中点，作辅助线，证明平面平面.
【详解】
（1）如图，连接，在中，分别是的中点，.
又平面，平面，
平面.
（2）如图，在棱上存在点，点为的中点，使得平面平面.理由如下：
∵点是的中点，点是的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面;
由（1）知平面，且，
∴平面平面.
∴棱上存在点，使得平面平面，且.
本题主要考查线面平行的证明及探索性问题，探索性问题要有较高的观察力和猜想能力，侧重考查逻辑推理的核心素养.
19．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
（1）根据题意，利用中位线定理和线段成比例，先证明，进而证明问题；
（2）先证明平面，平面，进而证明点P在两个平面的交线上，然后证得结论.
(1)
连接分别是的中点，.在中，.所以四点共面.
(2)
，所以，
又平面平面，
同理：，平面平面，
为平面与平面的一个公共点.
又平面平面，即三点共线.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）由题设，易得且，即有，根据线面垂直的判定及性质即可证；
（2）由已知结合余弦定理求、，进而求出，根据即可求到平面的距离.
【详解】
（1）证明：由题意知，，即，
∵，，，
∴，则，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴；
（2）由为的中点，即，又，
在中，，得，
在中，，，易得，，
∴，
设点到平面的距离为，则由等体积法有，
故，即，解得，
故点到平面的距离为.
关键点点睛：
（1）应用三角形全等得线线垂直，根据线面垂直的判定及性质证线线垂直；
（2）利用等体积法求点面距.
21．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ)．
【详解】
分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．
（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD==4．
在Rt△CMD中，．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．
点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页