必修第二册10.2事件的相互独立性 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 10.2 事件的相互独立性 同步练习
一、单选题
1．若，为互斥事件，，，则（ ）
A．0.1 B．0.3
C．0.4 D．0.7
2．一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（ ）
A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断
3．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件； ②若，为两个事件，则；③若事件，，彼此互斥，则；④若事件，满足，则，是对立事件.其中错误命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在试验“连续抛掷一枚均匀的骰子两次，观察掷出的点数”中，事件表示随机事件“两次掷出的点数均为偶数”，事件表示随机事件“两次掷出的点数和比9大”，用表示抛掷的结果，其中表示第一次掷出的点数，表示第二次掷出的点数，则事件（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
8．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上一面的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
11．已知某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%．则这种产品的一级品率为
A．18% B．19% C．20% D．21%
12．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分，甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9，0.8，0.75，则三人中至少有一人达标的概率为（ ）
A．0.015 B．0.005 C．0.985 D．0.995
13．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．国庆节放假，甲去旅游的概率为，乙 丙去旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段假期内至多1人去旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
二、填空题
16．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.
①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.
17．A、B两人进行一局围棋比赛，A获得的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组.
例如，产生30组随机数：034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762 428 114 572 042 533 237 322 707 360 751，据此估计B获胜的概率为__________．
18．一个射手进行一次射击.事件A：命中的环数大于8；事件B：命中的环数大于5；事件C：命中的环数小于4；事件D：命中的环数小于6.环数为非负实数.试判断以上四个事件A，B，C，D中为互斥事件的有_____________.
三、解答题
19．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
20．“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．为弘扬“女排精神”，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一方先胜三局则比赛结束．假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立，每局比赛乙班获胜的概率为．
(1)若前两局已战成平局，求还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜的概率；
(2)如果比赛的赛制有“五局三胜”制和“三局两胜”制，对于乙班来说，如何选择比赛赛制对自己获胜更有利，请通过计算说明理由．
21．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上
概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
22．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据互斥事件的性质即可求出.
【详解】
，为互斥事件，
.
故选：B.
2．A
表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影响，故事件与是相互独立事件．
【详解】
由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响
故事件与是相互独立事件.
故选：A
本题主要考查相互独立事件的定义，判断每次是否摸到黄球互不影响，是解题的关键．属于基础题.
3．D
由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项.
【详解】
由已知得甲拿到该技能证书的概率为，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：，
所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是，
故选：D.
方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.
4．D
根据互斥之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；
②中，当A与B是互斥事件时，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A，B满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；
③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；
④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A＝{摸到红球或黄球}，事件B＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A与B不互斥，但P(A)＋P(B)＝.
所以错误命题有3个.
故选：D
本题主要考查了互斥事件和对立事件的基本概念、互斥事件与对立时间的关系及其应用，其中熟记互斥事件和对立事件的概念和关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
5．D
用列举法分别求解集合M和N，再求解他们的交集.
【详解】
根据题意，事件，
事件，
所以事件．选项D正确.
故选：D．
6．C
灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．
【详解】
由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，
灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，
灯泡不亮的概率是，
灯亮和灯不亮是两个对立事件，
灯亮的概率是，
故选：．
本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．
7．D
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
8．C
正难则反，先计算出事件A，B都不发生的概率，用1减去对应概率即可.
【详解】
由题可知，，则事件A，B都不发生的概率为，故事件A，B中至少有一个发生的概率是.
故选：C
9．A
根据题意，甲不输即为甲赢或和棋，即可得答案.
【详解】
由题意得：甲不输的概率为
故选：A．
10．A
事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.
【详解】
事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.
11．B
由题意可知，根据一级品率在合格品率所占的比例，计算即可.
【详解】
某种产品的合格率是95%，合格品中的一级品率是20%，
一级品率为：.
故选：B.
本题考查了概率的计算，属于基础题.
12．D
设出每一个每一个考生达标的事件，并求其对立事件的概率，根据相互独立事件的概率的和事件求解出答案.
【详解】
设 “甲考生达标” 为事件A， “乙考生达标” 为事件B， “丙考生达标” 为事件C，则，，，，，，设 “三人中至少有一人达标” 为事件D ，
则，
故选：D.
本题以实际问题为背景考查相互独立事件的概念及其发生的概率的计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
13．C
由题意知试验发生包含的所有事件共有6种，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】
解：事件表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
表示事件是出现点数为5和6．
事件表示“小于5的偶数点出现”，
它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选：C．
14．C
利用对立事件概率求法及独立事件乘法，结合互斥事件概率的加法公式求这段假期内至多1人去旅游的概率.
【详解】
由题设，假期内至多1人去旅游的概率.
故选：C
15．C
【详解】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
16．①④
在①中，由对立事件定义得与为对立事件；有②中，与有可能同时发生；在③中，与有可能同时发生；在④中，（C）（E）；在⑤中，从而（B）（C）．
【详解】
口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，
事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”，
“取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”，
①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；
②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；
③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；
④，（C），（E），，
从而（C）（E），故④正确；
⑤，，从而（B）（C），故⑤错误．
故答案为：①④．
本题考查命题真假的判断，是基础题，考查对立互斥事件，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件等基本概念的合理运用．
17．
由30组别的随机数，采用三局两胜制，利用列举法得到B获胜满足的基本事件有2个，由此能求出B获胜的概率．
【详解】
由30组别的随机数，采用三局两胜制得到B获胜满足的基本事件有：
698，959，共2个，
∴B获胜的概率为p．
故答案为．
本题考查概率的求法，考查列举法、古典概率性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
18．A与C，A与D，B与C
根据互斥事件的知识确定正确结论.
【详解】
，
所以互斥事件的有A与C，A与D，B与C.
故答案为：A与C，A与D，B与C
19．（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.
（1）由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t；
（2）由（1）知，根据调查评分在有人，有人，计算出
心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案；
（3）由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案.
【详解】
（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.
20．(1)
(2)乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利；理由见解析
(1)根据独立事件的概率乘法公式直接计算即可；
(2)根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接计算即可
(1)
记为事件“第i局乙胜”，为事件“第i局乙输”，，
为事件“还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜”，则，
故．
(2)
记为事件““三局两胜”制下乙班获胜”，为事件““五局三胜”制下乙班获胜”，
则（2局获胜）（3局获胜），
（3局获胜）（4局获胜）（5局获胜），
由于，
故乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利．
21．(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
（1）根据概率之和为1，由题中数据，即可列出等式，求出的值；
（2）根据互斥事件的概率计算公式，由题中数据，即可求出结果；
（3）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.
【详解】
(1)由题意可得，解得.
(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以
，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则.
本题主要考查互斥事件的概率计算，以及概率的性质的应用，熟记概率计算公式，以及概率的性质即可，属于常考题型.
22．（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.
（Ⅰ）由相互独立事件概率的乘法公式即可得解；
（Ⅱ）由相互独立事件概率的乘法公式、互斥事件概率的加法公式，运算即可得解；
（Ⅲ）由互斥事件概率加法公式即可得解.
【详解】
设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，
由于两个人投篮的结果互不影响，
所以与相互独立，与，与，与都相互独立，
由己知可得，，则，；
（Ⅰ）“两人都投中”，则；
（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，
则
；
（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，
所以
.
本题考查了对立事件的概率及概率的加法公式、乘法公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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