2021-2022学年下学期上海初中数学七年级期末典型试卷1（Word版，附答案解析）

2021-2022学年下学期上海初中数学七年级期末典型试卷1
一．选择题（共6小题，满分15分）
1．（2019春 松江区期末）下列说法正确的是（　　）
A．有理数可以分为自然数和负整数两类
B．无理数都是无限小数
C．实数可以分为正实数和负实数两类
D．有理数都是有限小数
2．（3分）（2021春 静安区校级期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（　　）
A．5cm、7cm、10cm B．5cm、7cm、13cm
C．7cm、10cm、13cm D．5cm、10cm、13cm
3．（3分）（2021春 静安区校级期末）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2021春 虹口区校级期末）下列运算不正确的是（　　）
A．﹣2x（﹣3x2）＝﹣6x3 B．（﹣x）（﹣x）2＝﹣x3
C．（﹣x）3（﹣x）4＝﹣x7 D．（﹣x）5（﹣x）5＝（﹣x）10
5．（3分）（2021春 静安区校级期末）下列说法中，正确的有（　　）
①都含有70°的两个直角三角形一定全等；
②都含有100°的两个等腰三角形一定全等；
③底边相等的两个等腰三角形一定全等；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（3分）（2021春 静安区校级期末）若有意义，则x能取的最小整数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
二．填空题（共12小题，满分24分）
7．（2003 福州）如果x3＝8，那么x＝　 　．
8．（3分）（2021春 静安区校级期末）在、、（1）0、3.1416、0.这5个数中，无理数是 　 　．
9．（3分）（2021春 静安区校级期末）比较大小：　 　．（填“＞”或“＝”或“＜”）．
10．（3分）（2021春 闵行区校级期中）一个正数的两个平方根是2x﹣1和2﹣x，则的算术平方根为 　 　．
11．（3分）（2021春 黄浦区期末）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距405 500千米，用科学记数法表示这个数并保留三个有效数字　 　．
12．（3分）（2022春 花都区校级期中）计算：　 　．
13．（2019春 松江区期末）如果点A（a，2）与B（5，b）关于y轴对称，那么a+b＝　 　．
14．（3分）（2021春 虹口区校级期末）若xm+n＝24，xm＝8，则x3n＝　 　．
15．（3分）（2021秋 巴彦县期末）若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为50°，则等腰三角形的顶角的度数为 　 　．
16．（3分）（2021秋 高新区期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝　 　．
17．（2011 上海）如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝　 　．
18．（2019春 松江区期末）用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 　 　．（至少写出两种情况）
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．（12分）（2021春 静安区校级期末）计算．
（1）计算：．
（2）利用幂的性质进行计算：．
（3）计算：．
（4）．
20．（10分）（2021春 静安区校级期末）已知BC＝4，根据下列条件，画图及填空：
（1）画△ABC，使∠B＝30°，∠C＝60°．
（2）在（1）的条件下，画△ABC的中线BD．
（3）在（1）、（2）的条件下，从∠A引出一条射线，将△ABC切割成两个等腰三角形，射线与边BC相交于点E，请画出射线AE，在图中标出∠CAE的大小，并写出CD＝　 　．
21．（8分）（2009 淄博）如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数．
22．（8分）（2012春 浦东新区期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF，说明AB∥DE的理由．
23．（10分）（2020秋 大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
24．（10分）（2021春 虹口区校级期末）填空．
（1）如图1，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝7∠AOC，那么∠AOC的度数为 　 　度．
（2）如图2，已知∠AOB＝90°，如果射线OA、OB同时绕点O逆时针旋转（当射线OA旋转360°后，两条射线同时停止旋转），射线OA以每秒3°的速度旋转至OC，射线OB以每秒1°的速度旋转至OD．当∠COD＝60°时，求∠AOD的度数．
2021-2022学年下学期上海初中数学七年级期末典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分15分）
1．（2019春 松江区期末）下列说法正确的是（　　）
A．有理数可以分为自然数和负整数两类
B．无理数都是无限小数
C．实数可以分为正实数和负实数两类
D．有理数都是有限小数
【考点】实数．
【专题】实数；数感．
【分析】根据有理数包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数．无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π．及实数可分为正实数、负实数和0，即可判断各选项的对错，得出答案．
【解答】解：A、分数也是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，原说法正确，故此选项符合题意；
C、实数可以分为正实数、负实数和0，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，原说法错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是实数的分类，解答此类问题时一定要注意0既不是正数也不是负数．
2．（3分）（2021春 静安区校级期末）下列长度的三根木棒，不能构成三角形框架的是（　　）
A．5cm、7cm、10cm B．5cm、7cm、13cm
C．7cm、10cm、13cm D．5cm、10cm、13cm
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：A、5+7＞10，则能构成三角形，不符合题意；
B、5+7＜13，则不能构成三角形，符合题意；
C、7+10＞13，则能构成三角形，不符合题意；
D、5+10＝15＞13，则不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看其中较小的两个数的和是否大于第三个数即可．
3．（3分）（2021春 静安区校级期末）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】分数指数幂；算术平方根；立方根．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【分析】先计算被开方数，再化简．
【解答】解：∵，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了方根的计算，掌握乘方的符号法则及平方根、立方根、5次方根的意义是解决本题的关键．
4．（3分）（2021春 虹口区校级期末）下列运算不正确的是（　　）
A．﹣2x（﹣3x2）＝﹣6x3 B．（﹣x）（﹣x）2＝﹣x3
C．（﹣x）3（﹣x）4＝﹣x7 D．（﹣x）5（﹣x）5＝（﹣x）10
【考点】单项式乘单项式；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】直接根据单项式乘单项式的乘法法则及同底数幂的乘法法则计算判断即可．
【解答】解：A、﹣2x（﹣3x2）＝6x3≠﹣6x3，故符合题意；
B、（﹣x）（﹣x）2＝（﹣x）x2＝﹣x3，故不合题意；
C、（﹣x）3（﹣x）4＝﹣x3 x4＝﹣x7，故C不合题意；
D、（﹣x）5（﹣x）5＝（﹣x）10，故D不合题意；
故选：A．
【点评】此题考查的是单项式乘单项式的乘法法则及同底数幂的乘法法则，掌握它们的运算法则是解决此题关键．
5．（3分）（2021春 静安区校级期末）下列说法中，正确的有（　　）
①都含有70°的两个直角三角形一定全等；
②都含有100°的两个等腰三角形一定全等；
③底边相等的两个等腰三角形一定全等；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】直角三角形全等的判定；等腰三角形的性质；勾股定理；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解判断即可得解．
【解答】解：①都含有70°的两个直角三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以①错误；
②都含有100°的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应边相等，所以②错误；
③底边相等的两个等腰三角形不一定相等，因为没有对应角相等，所以③错误；
④边长都为10cm的两个等边三角形一定全等，因为根据SSS或AAS或SAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以④正确；
⑤如果两个等腰三角形的腰长相等，且一腰上的高与另一腰的夹角也恰好相等，那么这两个等腰三角形全等，因为根据条件可以得出两个等腰三角形的底角，顶角对应相等，再根据SAS或AAS或ASA可以判定两个三角形全等，所以⑤正确；
所以正确的有④⑤这2个．
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．（3分）（2021春 静安区校级期末）若有意义，则x能取的最小整数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求出x的范围，即可得到x能取的最小整数．
【解答】解：∵4x+3≥0，
∴x，
∴x能取的最小整数是0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分24分）
7．（2003 福州）如果x3＝8，那么x＝　2　．
【考点】立方根．
【分析】根据立方根的定义求解．
【解答】解：∵2的立方等于8，
∴8的立方根等于2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
8．（3分）（2021春 静安区校级期末）在、、（1）0、3.1416、0.这5个数中，无理数是 　　．
【考点】无理数；零指数幂；算术平方根．
【专题】实数；符号意识．
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【解答】解：、、3.1416、0.是有理数，是无理数．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
9．（3分）（2021春 静安区校级期末）比较大小：　＜　．（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【分析】两个负数比较大小，绝对值越大原数越小，易得答案．
【解答】解：∵，∴．
故答案为：＜．
【点评】主要考差了实数大小的比较，关键要会比较二次根式的大小．
10．（3分）（2021春 闵行区校级期中）一个正数的两个平方根是2x﹣1和2﹣x，则的算术平方根为 　2　．
【考点】算术平方根；平方根．
【专题】实数；运算能力．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求得x的值，再代入求它的算术平方根．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1+2﹣x＝0，
解得：x＝﹣1，
∴4，
∵4的算术平方根为2，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根的定义，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程是解题的关键．
11．（3分）（2021春 黄浦区期末）月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距405 500千米，用科学记数法表示这个数并保留三个有效数字　4.06×105　．
【考点】科学记数法与有效数字．
【专题】计算题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：405 500千米＝4.055×105千米≈4.06×105千米．
故答案为4.06×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
12．（3分）（2022春 花都区校级期中）计算：　　．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】利用积的乘方的法则及平方差公式对所求的式子进行运算即可．
【解答】解：
＝（）2021 （）2021×（）
＝[（）（）]2021×（）
＝（3﹣4）2021×（）
＝（﹣1）2021×（）
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式混合运算，解答的关键是对相应运算法则的掌握与运用．
13．（2019春 松江区期末）如果点A（a，2）与B（5，b）关于y轴对称，那么a+b＝　﹣3　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，分别得出a，b的值，即可得出答案．
【解答】解：∵点A（a，2）与B（5，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣5，b＝2，
∴a+b＝﹣5+2＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
14．（3分）（2021春 虹口区校级期末）若xm+n＝24，xm＝8，则x3n＝　27　．
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则对已知条件进行整理，可求得xn的值，再利用幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【解答】解析：∵xm+n＝24，xm＝8，
∴xn＝xm+n÷xm＝24÷8＝3，
∴x3n＝（xn）3＝33＝27．
故答案为：27．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
15．（3分）（2021秋 巴彦县期末）若等腰三角形两腰上的高线所在的直线相交所得的锐角为50°，则等腰三角形的顶角的度数为 　50°或130°　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【分析】分两种情形画出图形分别求解即可解决问题．
【解答】解：①如图，当∠BAC是钝角时，由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝50°，
∴∠BAC＝∠EAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
②当∠A是锐角时，由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝50°，
∴∠DHE＝130°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．（3分）（2021秋 高新区期末）已知∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，则∠AOC＝　20°或80°　．
【考点】角的计算．
【专题】分类讨论．
【分析】本题是角的计算的多解问题，求解时要注意分情况讨论，可以根据OC与∠AOB的位置关系分为OC在∠AOB的内部和外部两种情况求解．
【解答】解：当OC在∠AOB内部，
因为∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，
所以∠AOC为20°；
当OC在∠AOB外部，
因为∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，
所以∠AOC为80°；
故∠AOC为20°或80°．
【点评】本题只是说出了两个角的度数，而没有指出OC与∠AOB的位置关系，因此本题解题的关键是根据题意准确画出图形．
17．（2011 上海）如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝　54°　．
【考点】平行线的性质．
【分析】由∠ACB＝90°，∠ECD＝36°，求得∠ACE的度数，又由CE∥AB，即可求得∠A的度数．
【解答】解：∵∠ECD＝36°，∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝90°﹣36°＝54°，
∵CE∥AB，
∴∠A＝∠ACE＝54°．
故答案为：54°．
【点评】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18．（2019春 松江区期末）用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 　22.5°或18°或36°或45°　．（至少写出两种情况）
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】分类讨论；三角形；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据题意，画出每一种“闪亮分割”下的图形，共分为4类情况，①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD；当这个三角形如图4所示时，且∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC．
【解答】解：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，
设∠B＝x且为Rt△ABD最小内角，则由题意得∠ACD＝∠CAD＝2x，∠BAD＝90°﹣x，
由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，
即x+2x+2x+90°﹣x＝180°，解得：x＝22.5°，
则△ABC中最小内角为22.5°；
②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC，
设∠BAD＝y且为Rt△ABD中最小内角，则由题意得∠B＝90°﹣y，∠C＝∠CAD＝2y，
由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，
即90°﹣y+y+2y+2y＝180°，解得：y＝22.5°，
则△ABC中最小内角为∠C＝2×22.5°＝45°；
③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD，
设∠C＝z且为Rt△ADC中最小内角，则由题意可得∠B＝∠BAD＝2z，
由三角形内角和可得∠B+∠BAC+∠C＝180°，
即2z+2z+90°+z＝180°，解得：z＝18°，
则△ABC中最小内角为18°；
④当这个三角形如图4所示时，且∠A＝90°，
CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC，
设∠ACD＝m且为Rt△ADC中最小内角，则由题意可得∠B＝∠DCB＝2m，
由直角三角形两锐角互余可得∠B+∠BCA＝90°，
即2m+3m＝90°，解得：m＝18°，
则△ABC中最小内角为∠B＝2×18°＝36°．
综上所述，可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是22.5°或18°或36°或45°．
故答案为：22.5°或18°或36°或45°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据题意画出图形分类讨论做到不漏解是关键．
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．（12分）（2021春 静安区校级期末）计算．
（1）计算：．
（2）利用幂的性质进行计算：．
（3）计算：．
（4）．
【考点】实数的运算；分数指数幂；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式；零指数幂；二次根式的性质与化简．
【专题】实数；整式；二次根式；运算能力．
【分析】（1）根据完全平方公式展开化简即可；
（2）把底数都化为3，根据分数指数幂，同底数幂的乘除法计算即可；
（3）根据立方根，分数指数幂，有理数的乘方，绝对值计算即可；
（4）根据二次根式的性质和零指数幂计算即可．
【解答】解：（1）原式＝9﹣65﹣（9+65）
＝9﹣65﹣9﹣65
＝﹣12；
（2）原式
＝333
＝3
＝32
＝9；
（3）原式＝﹣3（）+|﹣4|
＝﹣31+4
5
；
（4）原式＝|3|+1
3+1
2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，完全平方公式，二次根式的性质，分数指数幂，零指数幂，同底数幂的乘除法，解答此题的关键是掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2，|a|．
20．（10分）（2021春 静安区校级期末）已知BC＝4，根据下列条件，画图及填空：
（1）画△ABC，使∠B＝30°，∠C＝60°．
（2）在（1）的条件下，画△ABC的中线BD．
（3）在（1）、（2）的条件下，从∠A引出一条射线，将△ABC切割成两个等腰三角形，射线与边BC相交于点E，请画出射线AE，在图中标出∠CAE的大小，并写出CD＝　1　．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；几何直观；应用意识．
【分析】（1）如图1所示，将量角器中心与点B对齐，0刻度线与BC对齐，内圈30°线条指向作射线BP；将量角器中心与点C对齐，0刻度线与BC对齐，外圈60°线条指向作射线CQ；射线BP与CQ交点为点A，则△ABC即为所求．
（2）如图2所示，取AC中点为点D，作线段BD，则BD为△ABC的中线，线段BD即为所求．
（3）在△ABC内部作∠CAE＝∠C＝60°，射线AE即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，线段BD即为所求；
（3）如图3所示，射线AE即为所求．
∵∠ABC＝30°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴ACBC＝2，
∴CD＝AD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（8分）（2009 淄博）如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37°，求∠D的度数．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】计算题．
【分析】根据AB∥CD，可知∠ECD＝∠A，由DE⊥AE可知∠D与∠ECD互余，从而求出∠D的值．
【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝37°，
∴∠ECD＝∠A＝37°．
∵DE⊥AE，
∴∠D＝90°﹣∠ECD＝90°﹣37°＝53°．
【点评】本题考查的是平行线及余角的性质，比较简单．
22．（8分）（2012春 浦东新区期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，AC＝DF，说明AB∥DE的理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定．
【专题】证明题．
【分析】先求出BC＝EF，再根据“边边边”证明△ABC与△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B＝∠E，然后根据内错角相等，两直线平行即可得证．
【解答】解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠B＝∠E（全等三角形对应角相等），
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出BC＝EF，得到三角形全等是解题的关键．
23．（10分）（2020秋 大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
求证：AC﹣AB＝2BE．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的外角性质．
【专题】证明题．
【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM．
再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．
【解答】证明：延长BE交AC于M
∵BE⊥AE，
∴∠AEB＝∠AEM＝90°
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4，
∴AB＝AM
∵BE⊥AE，
∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，
∵∠4是△BCM的外角
∴∠4＝∠5+∠C
∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5
∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C
∴∠5＝∠C
∴CM＝BM
∴AC﹣AB＝BM＝2BE
【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．
24．（10分）（2021春 虹口区校级期末）填空．
（1）如图1，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝7∠AOC，那么∠AOC的度数为 　15　度．
（2）如图2，已知∠AOB＝90°，如果射线OA、OB同时绕点O逆时针旋转（当射线OA旋转360°后，两条射线同时停止旋转），射线OA以每秒3°的速度旋转至OC，射线OB以每秒1°的速度旋转至OD．当∠COD＝60°时，求∠AOD的度数．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）由角的和差倍分即可求出∠AOC的度数；
（2）分①当OC没有超过OD时，②当OC超过OD时，两种情况，建立等量关系求出t即可求解．
【解答】解：（1）∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOD＝7∠AOC，
∴∠COD＝6∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝15°．
故答案为：15；
（2）如图，设起始OA为0°，OB处为90°，旋转时间为t秒，
∴∠AOC＝3t°，∠AOD＝90°+t°，∠COD＝60°，有两种情况，
①当OC没有超过OD时，∠AOD1﹣∠AOC1＝60°，（90°+t°）﹣3t°＝60°，t＝15，
∴∠AOD1＝90°+15°＝105°；
②当OC超过OD时，∠AOC2﹣∠AOD2＝60°，3t°﹣（90°+t°）＝60°，t＝75，
∴∠AOD2＝90°+75°＝165°．
【点评】本题综合考查了余角和补角，角的和差倍分问题，在一定条件下分类求角度旋转问题，双动问题求不变角度问题等知识点，重点掌握角度的计算问题，难点是构建方程求角度的大小，分类求时间值，动态问题转换成静态求定值问题
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