北师大版八年级数学上册第四章《2 一次函数与正比例函数》教学设计

“一次函数与正比例函数”教学设计
一、内容分析
本节内容是北师大版课标教材八年级上册“4.2一次函数与正比例函数”。一次函数是较为简单、应用广泛的一种函数。它是在学习了“变量之间的关系”“函数”之后的内容，它不仅强化了学生结合情境列出相应的代数式，进一步体会变量之间的对应关系，而且也为以后继续学习其他函数打下基础。一次函数和一元一次方程、一元一次不等式有着密切的联系。一次函数的概念是一个较为“形式化”的概念，可以通过实例、概括、归纳，逐步形成。同时，也与其他数学知识相联系，逐步形成运用模型解决问题的意识。
二、教学目标
知识与技能：
1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系.
2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
过程与方法：
1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力.
2.通过由已知信息写出一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力.
情感与态度目标：
通过一次函数概念的引入，使学生进一步认识数学是来源于生活并用于生活，同时渗透热爱自然和生活的教育。
三、教学重难点
教学重点：1.理解一次函数与正比例函数的概念及两者之间的关系.
2.会根据已知信息写出简单一次函数的表达式.
教学难点：1．一次函数和正比例函数概念的理解.
2．根据实际情景写出一次函数的表达式.
四、教学方法:教师引导下学生自主学习
五、教学过程
（一）回顾与思考
1. 什么是函数 关键的特征是什么？
2. 函数有哪些表示方法？
师：有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：
（大屏显示课本“引例”）：某弹簧的自然长度为3cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm.
(1)完成下表:
x/kg 0 1 2 3 4
y/cm
(2)你能写出y与x之间的关系式吗
分析：当不挂物体时，弹簧长度为3cm,当挂1千克物体时，增加0.5cm,总长为3.5cm，当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5cm,总共增加1cm,由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5cm,所挂物体为x千克,弹簧就伸长0.5xcm,则弹簧总长为原长加伸长的长度，即y=3+0.5x，这就是我们要研究的问题.
师板书课题：一次函数与正比例函数.
（2）教学新知
1.一次函数，正比例函数的概念
（大屏显示课本“做一做”）某辆汽车油箱中原有汽油60L，汽车每行驶50km耗油6L.
(1)完成下表:
汽车行驶路x/ km 0 1 2 3 4 5
耗油量y/L
(2)你能写出耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系吗？
师：那几位同学来完成上面的表格？
(3)你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
生：z=60-0.12x或z=60-x
【设计意图】本着教学来源生活的理念，依据“最近发展区”的认知规律，选择层层递进的问题情境，首先使学生进一步感受到函数是反映现实生活和一种有效模型，在原有函数知识的基础上，进一步深化对函数概念的理解，加强函数反映的是一种“对应关系”的体会。引导学生对具体的一次函数和正比例函数形成感性认识，为下面归纳一次函数和正比例函数的概念形成理性认识做好铺垫。
（二）归纳概括
在上面的情境中，得到几个函数关系式:,y=3+0.5x,y=0.12x ,z=60-0.12x请同学们找出这些关系式的共同点，并回答问题：
（1）这些式子表示的是什么关系？（函数关系）
（2）这些函数中自变量分别是什么？因变量分别是什么？
（3）这些函数关系式是关于自变量的几次式？
一般地，若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x为自变量，y为因变量).
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
师：同学们思考，正比例函数一定是一次函数吗？一次函数是正比例函数吗？
生：思考回答，正比例函数一定是一次函数.但一次函数不一定是正比例函数
【设计意图】学生通过观察、比较、分析、归纳，找到这些函数解析式的共同点，逐步形成一次函数及正比例函数的概念。让学生感受函数概念发生、发展的过程，有效的突出了重点。也自然地运用从特殊到一般，以及类比的思维方法，
（三）典例讲解
例1：写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断:y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以60（km/h）的速度匀速行驶，行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系；
（2）圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系；
（3）一棵树现在高50cm，每个月长高2cm，x月后这棵树的高度为y cm.
【设计意图】夯实概念，检测学生能否根据概念来判断一个函数是否为一次函数。一方面，使学生进一步感受现实世界函数大量存在，体会函数的知识可以分析和解决实际问题；另一方面区分一次函数与其他函数的不同之处，引导学生总结解决此类判断题的依据，体会数学定义的形式化思想。
（四）课堂练习
1、课本第80页 随堂练习 1、2题.
2、下列语句中,具有正比例函数关系的是( ).
A.长方形花坛的面积不变,长y 与宽 x 之间的关系;
B.正方形的周长不变,边长 x 与面积 S 之间的关系;
C.三角形的一条边不变,这条边上的高 h 与 S 之间的关系;
D.圆的面积为S ,半径为r,S 与r 之间的关系.
（五） 拓展提高
1、我国自2011年9月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元，他应缴个人工资薪金所得税为(3860－3500)×3%=10.8(元)
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时，写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与月收入x(元)之间的关系式.
(2)某人月收入为4160元，他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元？
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2元，那么此人本月工资、薪金收入是多少元？
【设计意图】此题意在强调一次函数与一元一次方程的联系，同时也强调实际问题的解决，常用“数学模型方法”。它的一般过程是“建模－求解－解释”。通过这一例题，初步渗透数学的建模思想方法。
（六）课堂小结
(1)通过这节课的学习,同学们有哪些收获
【设计意图】在独立思考和合作交流中,引导学生梳理本节课在知识和数学思想方法等方面的收获,形成知识网络,提升对数学思想方法的理性认识.在总结的同时让学生体验收获知识的快乐,培养敢于展示自我，敢说、敢问、自信的学习品质.
（七）课后作业
必做题:课本82页习题4.2第1、2、3题
选做题:课本82页习题4.2第4、5题
【设计意图】让不同的人在数学上有不同的发展,着实解决“优生”与“学困生”的关系,体现了基础性、普及性和发展性.