北师大版八年级数学上册第四章4. 一次函数的应用（第3课时）教学设计

第四章 一次函数
4. 一次函数的应用（第3课时）教学设计
一、教材分析（地位与作用）
本节课是北师大版义务教育教科书八年级（上）第四章《一次函数》第四节的第3课时，主要是利用两个一次函数的图象解决一些生活中的实际问题．和前一课时一样，教科书注重从函数图象中获取信息从而解决具体问题，关注数形结合思想的揭示，关注形象思维能力的发展，同时，这为今后学习用图象法解二元一次方程组打下基础．
二、学情分析
在前几节课，学生已经分别学习了一次函数，一次函数的图象，一次函数图象的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛．在此基础上，通过生活中的实际问题进一步探讨一次函数图象的应用．
教学目标
根据本教材的结构和内容分析，结合八年级学生的认知结构及其心理特征，我制定了以下教学目标：
（一）知识与技能：
1、通过观察函数图象，能够从两个一次函数图象中获取信息，理解函数图象交点的实际意义；
2、利用一次函数图象，解决实际问题。
（二）过程与方法：
1、通过利用一次函数图象获取信息解决问题的过程，渗透数形结合与数学建模思想，体会函数与方程之间的关系；
2、通过利用函数图象解决问题，进一步发展学生的数学应用意识，提高数学应用能力。
（三）情感、态度与价值观：激发学生的学习兴趣，培养独立思考、合作学习的能力，感受数学的应用价值。
四、教学的重难点
根据新课程标准，在吃透教材，紧扣中考考点的基础上，我确定了以下教学重难点：
教学重点：从两个函数图象中提取有用的信息，利用函数图象解决实际问题
教学难点：
1、结合具体实例理解一次函数关系式中k、b的实际意义；
体会函数与方程之间的关系，理解数形结合以及数学建模思想，发展学生的几何直观和应用意识。
五、教法学法
1．教学方法：依据新的教学理念、学习方式的转变，通过学生自主、分组合作、探究等方式使学生在参与中培养能力；合作中学会学习。本节课在教法上主要采用探究式教学法，选择由浅入深提出问题、分析问题、解决问题的流程进行教学。引导学生进行观察探索、合作交流、归纳总结等学习活动。
2．学法指导：本节课在对学生进行学法指导上，主要是引导学生主动探索发现新的数学结论，进而培养学生数学学习的良好习惯，培养学生们的创新精神，使他们体会到数学问题解决的严密性和规范性。教师在具体的教学活动中，鼓励学生采用观察分析，自主探索，合作交流等学习方法，
3．课前准备：
教具：教材，课件，电脑
学具：教材，练习本，铅笔，直尺
六、教学过程
本节课设计了七个环节：第一环节：复习回顾，导学预习；第二环节：情景引入，预习展示；第三环节：合作交流，探究新知；第四环节：变式训练，有效检测；第五环节：课堂回顾，总结提升；第六环节：直击中考，拓展延伸；第七环节：分层作业，学有所获。
第一环节：复习回顾，导学预习
问题一、如何判断函数图象是正比例函数 y=kx（k不等于0）的图象？如何判断函数图象是一次函数y=kx+b （k不等于0）的图象？
问题二、从一次函数图象可获得哪些信息
1、由一次函数的图象可确定k 和 b 的符号；
2、由一次函数的图象可估计函数的变化趋势；
3、可直接观察出:x与y 的对应值；
4、由一次函数的图象与y 轴的交点的坐标可确定b值，从而由待定系数法确定一次函数的图象的解析式。
问题三：确定一次函数表达式的步骤是什么？
设——设函数表达式y=kx+b或y=kx；
2、列——将点的坐标代入y=kx+b或y=kx中，列出关于k、b或者k的方程；
3、解——解方程，求k、b或者k的值；
4、还原——把求出的k、b值或者k的值代回到表达式中即可。
活动形式：大屏幕展示上节课解答过的问题，学生回顾答案，重点思考解决问题时的关注点及解决问题的思想方法。
教师引导总结，使学生明确：
（1）用图象解决问题时，首先应弄清横纵轴的意义，明确变量，也就理解了图象上点的坐标的意义，即：找准变量
（2）当x=0或当y=0时，此时对应点即是图像与坐标轴的交点，这两个点有十分重要的实际意义。因此，需抓交点。
（3）关注函数关系式中k、b的实际意义
（4）注重“数形结合”思想。
（5）解决问题时可直接观察图象获解，也可通过关系式求解，两者各有利弊据具体情况选着。
设计意图：通过回顾上一课时解决过的问题，回顾旧知，重点得出以上结论希望学生把这些思想方法迁移到本节学习中，导入新知学习。
第二环节：情景引入，预习展示
设计以龟兔赛跑为背景的实际应用激发学生的学习兴趣，引入本节课的学习主题：两个一次函数图象的实际应用。
设计意图：情景激发学习兴趣，并由浅入深，让学生独学，树立学生学习的自信心。
第三环节：合作交流，探究新知
例1. 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，
　 l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：
（1）当销售量为2吨时，销售收入＝　　　元，销售成本＝　　　　元；
（2）当销售量为6吨时，销售收入＝　　　　元，
　　　销售成本＝　　　　元；
（3）当销售量为　　时，销售收入等于销售成本；
（4）当销售量　　　　时，该公司赢利（收入大于成本）；
　　当销售量　　　　时，该公司亏损（收入小于成本）；
（5） l1对应的函数表达式是　　　　　　　　，
　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　。
活动形式：（1）大屏幕出示题目，学生先看图找准变量，明确每条直线上点的意义，指名回答。
（2）逐个出示前三个小问题，学生思考指名回答
（3）第四小题同桌讨论，指名回答，教师画图讲解点拨
（4）第五小题给学生思考解答交流时间，指名全班交流。（学生可能有多种方法，如待定系数法、或直接从图像观察得的值，或根据实际问题的意义从算术 角度列式得出）教师应做好总结、点拨。
2.想一想
活动形式：学生小组讨论，再指名交流。
例1的设计意图：培养学生的识图能力和探究能力，调动学生学习的自主意识．通过问题串的精心设计，引导学生利用函数图象的特征解决实际问题，关注函数与实际问题的联系，在此过程中渗透数形结合的思想方法，发展学生的数学应用能力和意识。并归纳利用图象比较函数值的方法：
(1)先找交点坐标，交点处y1=y2；
(2)再看交点左右两侧，图象位于上方的直线函
数值较大。
例2 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇 追赶（如图），下图中，分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系．
议一议
根据图象回答下列问题：
（1）哪条线表示到海岸的距离与时间之间的关系？
解：观察图象，得当时，距海岸0 n mile，即，故表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
（2），哪个速度快？
解：从0增加到10时，的纵坐标增加了2，而的纵坐标增加了5，即10 min内，行驶了2海里，行驶了5 n mile，所以的速度快．
（3）15 min内能否追上？
解：可以看出，当时，上对应点在
上对应点的下方，
（4）如果一直追下去，那么能否追上？
解：如图，相交于点P．因此，如果一直追下去，那么一定能追上．
（5）当逃到离海岸海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃到公海前将其拦截？
解：从图中可以看出，与交点P的纵坐标小于，这说明在逃入公海前，我边防快艇能够追上．
提问：对以上问题你还能用其他方法解决吗？
活动形式：先出示问题，学生弄清问题背景，再出示函数图像及问题串，学生小组讨论交流，再指名回答，教师用课件演示讲解点拨。教师讲解点拨时重点让学生掌握观察图象解答的过程，强调读图过程，对求关系式解答的方法让学生理解算理，据学生情况板书解答过程。并小结从实际情景的函数图象中获取信息的方法：
1：理解横纵坐标分别表示的的实际意义
2：分析已知（看已知的是自变量还是因变量），通过做x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值
3：利用数形结合的思想：
将数转化为形，由形定数。形者直观，数者具体。
设计意图：培养学生良好的识图能力，进一步体会数与形的关系，体会数形结合的数学思想，建立良好的知识联系．
说明：学生在教师的引导下，理解一次函数关系式中k的实际意义，加强函数与实际问题的联系，提高学生的应用意识。
第四环节：变式训练，有效检测；
仍然以龟兔赛跑为题目背景，变式训练，考查所学知识与方法，检测学习效果。
设计意图：及时应用所学知识与技能解决实际问题，在解决问题的过程中体验成功的喜悦，树立自信心，同时与开始的龟兔赛跑首尾呼应。
第五环节：课堂回顾，总结提升
内容：本节课我们学习了一次函数图象的应用，在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图象上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助关系式完全通过计算解决问题。通过列出关系式解决问题时，一般首先判断关系式的特征，如两个变量之间是不是一次函数关系？当确定是一次函数关系时，可求出函数解析式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果．
设计意图：引导学生自己小结运用一次函数解决实际问题的主要方法。让学生畅所欲言，相互进行补充，尽量用自己的语言进行归纳总结，在此基础上教师再总结回到开始导入时回顾总结的内容上，分别从数学知识、数学方法、数学思想等方面进行总结，并让学生对自己在本节课中的表现（独立思考、自主学习、合作学习等）进行及时的反思。
一、数学知识
1、熟练掌握一次函数的图象与性质；
2、通过一次函数的图象获取相关的信息；
二、数学方法：
利用函数图像解决简单的实际问题的方法：
实际问题——函数模型——函数表达式
——利用函数的图象和性质解决问题
三、数学思想：
①数形结合思想
②数学建模思想——函数与方程
第六环节：直击中考，拓展延伸
（2017 长春）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）甲车间每小时加工服装件数为　　件；这批服装的总件数为　件．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．
设计意图：直击中考，给学生说明陕西省中考21题的命题方向，针对基础较好的学生进行拔高培优，体现因材施教，分层教学。
第七环节：分层作业，学有所获。
必做题：习题4.7 第2题 第3题
选做题：（2017.兰州中考）首条贯通丝绸之路经济带的高铁线----宝兰客专进入全线拉通试验阶段.宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义.试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为 y（千米），如图中的折线表示y与 x之间的函数关系.
根据图象进行以下探究：
【信息读取】
（1）西宁到西安两地相距_________千米，两车出发后___________小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需_________小时，普通列车的速度是___________千米/小时.
【解决问题】
（3）求动车的速度；
（4）普通列车行驶 t小时后，动车抵达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？
设计意图：必做题目较简单，紧扣本节课所学内容。选做部分题目是2017年兰州中考题，主要是培养学生灵活运用所学知识解决问题的能力，促使学生对所学知识与技能的拓展和迁移，渗透应用意识。分层布置作业，使各个层次的学生都有不同程度的发展，学有所获。
教学评价设计
1、实现评价主体、评价方式的多样化，增加教学反馈层面。
这节课在教学上采用了讲授、探究相结合的教学方法，在教学过程的各个环节中，把学生自我评价、学生互评、老师评价结合起来，实现评价主体的多样化，课堂中采用语言表述、课堂合作、课后布置作业等各种评价方式，达到多层面了解学生。
2、注重对学生学习过程的评价，促进学生的合作能力、创新能力。
在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识，以及独立思考的习惯、发现问题的能力进行评价，以激励性的语言促进他们合作，培养创新能力。
以上是我对本节课的说明，希望各位专家老师批评指正，谢谢！