课件54张PPT。函数的值域与最值 一 求函数的值域 素材1 二 求函数的最值 素材2 三 函数的值域与最值的综合应用 素材3备选例题课件24张PPT。第二章函数函数的值域与最值第7讲函数的值域 点评 以上各题所用方法是求函数值域常见的方法：
(1)二次函数法；
(2)分离系数(亦可用反函数法)；
(3)分段函数法；
(4)换元法(注意新元的取值范围)；
(5)复合函数转化法． 函数值域的应用 【例2】
已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b≥0，c∈R)．是否存在函数f(x)满足其定义域、值域都是[－1,0]？若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明理由． 点评 含有参数的一元二次函数的定义域与值域相同问题，本质上就是二次函数的最值．求解的关键是通过函数图象进行分析，由函数的最大值与最小值和函数的值域进行比较而得一方程组，再通过方程组的解的存在性进行判断． 1.若函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为____________
2.若定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为________{－1,0,3} [a，b] 1．函数的值域
求函数值域的方法是依据函数的表达式来选择的．根据表达式的结构，有如下的常见方法可供选择：配方法、换元法、具体函数法(如二次函数、反比例函数、分段函数)、基本不等式法、数形结合法、判别式法、导数法．求函数的值域，必须首先考虑函数的定义域． 课件29张PPT。第二单元
函 数新课标高中一轮总复习第8讲函数的值域与最值 理解函数的单调性、值域和最值的概念；掌握求函数的值域和最值的常用方法与变形手段.1.函数y=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)的值域是 .{-3,0,3,6,9} 由-1≤x≤3，且x∈Z?x=-1,0,1,2,3,
代入y=3x，得所求值域为{-3,0,3,6,9}. 2.函数f(x)= (x∈R)的值域是( )A.(0,1) B.（0，1］ C.［0，1) D.［0,1］B 函数f(x)= (x∈R),所以1+x2≥１,所以原函数的值域是(0,1］.3.函数f(x)=x2-2x(x∈［0,4］)的最大值是 ，最小值是 .8-1f(x)=(x-1)2-1.
当x=1时,f(x)min=-1;
当x=4时，f(x)max=42-2×4=8.4.函数f(x)= (x≤-12)的值域是 .(-∞,-2］当x=-1时， 取最大值-2.5.已知x≥0，y≥0，且x+2y=1，则2x+3y2的最小值为 .因为x+2y=1，x≥0，y≥0，
所以0≤2y≤1?0≤i≤ ，
2x+3y2=3y2+2-4y=3(y- )2+ ，
所以当y= 时，
(2x+3y2)min=3( - )2+ = .1.函数的值域与最值
(1)函数的值域是① 的集合,它是由定义域和对应法则共同确定的，所以求值域时应注意函数的② .
(2)函数的最值.
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(ⅰ)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(ⅱ)存在x0∈I,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的③ .类似地可定义f(x)的最小值.函数值定义域最大值2.基本初等函数的值域
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为④ .
(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域：
当a>0时，值域为⑤ ;
当a<0时，值域为⑥ .
(3)反比例函数y= (k≠0)的值域为⑦ .
(4)指数函数y=ax(a>0且a≠１)的值域为⑧ .R［ ,+∞)［-∞, ){y|y≠0}(0,+∞)(5)对数函数y=logax(a>0且a≠１)的值域为⑨ .
(6)正、余弦函数y=sinx(x∈R)、y=cosx(x∈R)的值域为⑩ ;正切函数y=tanx(x≠kπ+ ,k∈Z)的值域为 .R［-1,1］R3.求函数的值域（最值）常用的方法
(1)二次函数用配方法.
(2)单调性法.
(3)导数法.
(4)复合函数的值域由中间变量的范围确定.
此外还有换元法、数形结合法、基本不等式法等.
4.若f(x)为闭区间［a,b］上的连续函数，则f(x)在［a,b］上一定有最大、最小值. 已知函数y=f(x)的值域为集合D，函数y=f(x)的最大值、最小值分别为M、N，则M、N、D的关系是( )题型一 值域与最值的关系例1A.D=[N，M] B.M>D>N
C.D? [N，M] D.M、N∈DD 不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)，可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可知，A、B、C错误，选D. 1.函数的值域是函数值的集合，函数的最值是该集合中的元素.
2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数时，D=[N，M]，其中N=f(x)min，M=f(x)max.题型二 函数值域的求法例2求函数f(x)=cosx+lg(1-x2)的值域. 由1-x2>0，得f(x)的定义域为{x|-1
2.求值域的常用方法有：
1°观察法：一看定义域；二看函数性质；三列举.
2°函数单调性法（见例2）.3°转换法.
①转换为基本函数（或条件基本函数），
如y= 与y= 的关系,y= 与Ax2+Bx+C=0.
②转换为几何问题，数形结合.
③转换为三角函数问题,利用三角函数的有界性.
4°不等式法.
5°导数法.求下列函数的值域：
(1) y=2x2-4x+1;
(2) y=log ;
(3) y= . 这些都是求复合函数的值域，可通过中间变量的取值范围结合简单函数的值域来求. (1)因为t=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3，
所以2t≥2-3= ,所以该函数的值域为［ ,+∞).
(2)因为0故该函数的值域为［-1,+∞).
(3)y= =1+ .
该函数定义域为{x|x≠0，x∈R}，
所以-1<2x-1<0或2x-1>0,
从而y<-1或y>1,
所以该函数的值域为(-∞，-1)∪（1,+∞）. 已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6(a∈R).
（1）若函数f(x)的最小值为0，求a的值；
（2）若函数f(x)≥0对任意x∈R都恒成立，求函数g(a)=2-a|a+3|的最大值.题型三 函数的值域与最值的综合问题例2（1）因为f(x)=(x-2a)2+2a+6-4a2, ①
且f(x)min=0，所以2a+6-4a2=0，
所以a=-1或a= .
（2）因为f(x)≥0,由①知,2a+6-4a2≥0，
解得-1≤a≤ . ②
所以g(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)=
-(a+ )2+ (a∈[-1, ]),
所以当a=-1时，g(a)max=4.1.因为二次函数f(x)在R上连续，所以f(x)的最小值为0，即f(x)的值域为[0,+∞).
2.由于函数的最值不过是函数值域中的一个元素而已，故求值域的方法都适用于求函数的最值.已知函数f(x)=|1- |(x>0).
(1)当0(2)是否存在实数a、b(a 1- (x>1),
故f(x)在(0,1］上是减函数，而在(1,+∞)上是增函数，
由0(2)假设存在这样的实数a、b（a函数f(x)= -1在(0,1］上是减函数，
则f(a)=b
f(b)=a,即 -1=b
-1=a，
解得a=b，与0故此时不存在满足条件的实数a、b.
②当1函数f(x)=1- 在(1,+∞)上是增函数，则 f(a)=a
f(b)=b
此时实数a、b为方程x2-x+1=0的两根，但方程x2-x+1=0无实根，因此不存在满足条件的实数a、b.
③当０而f(1)=0?［a,b］(a>0),故此时不存在满足条件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在. 1- =a
1- =b,,即1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数，要特别注意自变量和新变量的范围.
2.均值不等式法:利用基本不等式或均值不等式求最值时,一定要注意等号成立的条件.
3.函数单调性法.
4.导数法.
5.数形结合法：常用于条件及要求最值的表达式有明显的几何意义. 因为00,
所以y=2tanx+ ≥ ,当且仅当tanx= 时“=”成立. (2009·湖南卷)函数y=2tanx+tan( -x)(0 最小值是 . (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( )C4 B. 5
C. 6 D. 7 令2x=x+2?x1<0(舍去)或x2=2.
令2x=10-x，即2x+x=10，则2则可知f(x)的大致图象如下图所示.
故f(x)≤6，即选C.课件44张PPT。●基础知识
一、函数的值域的定义
在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做
，函数值的集合叫做函数的 ．函数值 值域二、基本初等函数的值域
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域为 .
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是
当a>0时，值域为 ；
当a<0时，值域为 .
3．y＝ (k≠0且x≠0)的值域是 ．R{y|y∈R且y≠0}4．y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是 ．
5．y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是 .
6．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为
、 、R.(0，＋∞)R[－1,1][－1,1]三、确定函数的值域的原则
1．当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．
2．当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指
3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．
4．当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合．?四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：
1．直接法——从自变量x的范围出发，推出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域为 ．
2．配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y＝4x＋2x的值域为 ．[2，＋∞)(0，＋∞)3．反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝ (a≠0)的函数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解，如：y＝ 的值域为 ．(－1,1)4．判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域．形如y＝ (a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．如y＝ 的值域为 ．
[－2,1]5．换元法——运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋b± (a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解，如y＝x＋ 的值域为 ．[1，＋∞)6．不等式法——利用基本不等式：a＋b≥2 (a、b∈R＋)求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，如y＝x＋ 的值域为 ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)7．单调性法——确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域．形如y＝ 的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为[ , ＋∞) ．8．求导法——当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－x，x∈[0,2]的值域为
．
9．数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如y＝ 的值域为 ．[0，＋∞)●易错知识
一、值域求解失误
1．求y＝sin2x＋sinx＋1的值域结果为[，＋∞)对吗？
答案：[，3]
2．已知函数f(x)＝log2(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围__________．
答案：(－∞，－4]∪[0，＋∞)二、忽视定义域对值域的制约作用而失误
3．已知f(x)＝2＋log3x，其中x∈[1,9]，当x＝________时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有最大值，最大值为________．
答案：x＝3 13解析：先求出函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域：
?
?1≤x≤3.
∴函数的定义域为[1,3]，
又y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.
∵1≤x≤3.∴0≤log3x≤1.
则x＝1时有最小值6，当x＝3时有最大值13.
三、区分求函数值域的方法
4．求函数y＝x＋ 与y＝x＋ 的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为________，值域为________；后者采用的方法为________，值域为________．答案：换元法 (－∞， ] 三角换元法 [－1， ]
解析：y＝x＋ ，令 ＝t，x＝1－t2
∴y＝－t2＋t＋1，t∈[0，＋∞)
∴y∈(－∞， ]，
y＝x＋ ，令x＝sinθ，θ∈[－ ， ]
∴y＝sinθ＋cosθ＝ sin(θ＋ )，
∴y∈[－1， ]．
●回归教材
1．(教材P1016题改编)函数y＝ (x∈R)的值域是 ( )
A．(0,1] B．(0,1)
C．[0,1) D．[0,1)
解析：1＋x2≥1? ∈(0,1]．
答案：A2．函数y＝ x2＋x＋1(x≥0)的最小值为 ( )
A. B．2 C．1 D．3
解析：∵y＝ (x＋1)2＋ ，x≥0
∴y≥ ＋ ＝1，故选C.
答案：C3．值域是(0，＋∞)的函数是 ( )
A．y＝x2－x＋1 B．y＝( )1－x
C．y＝3 ＋1 D．y＝|log2x2|
解析：A中y∈[ ，＋∞)，C中y＞1，D中y≥0，故应选B.
答案：B5．(2008·重庆)函数f(x)＝ 的最大值为( )
A. B. C. D．1
解析：将解析式整理，得y＝ ，利用均值不等式求得f(x)的最大值为 .
答案：B4．(教材P10213题改编)函数y＝ 的值域为 ( )
A．(0,1] B．[0,1)
C．(0,1) D．[0,1]
答案：B【例1】 求下列函数的值域．
(1)y＝4－ ；
(2)y＝2x＋ ；
(3)y＝x－ .[解析] (1)(配方法)：由3＋2x－x2≥0，得－1≤x≤3.
∵y＝4－ ，
∴当x＝1时，ymin＝4－2＝2.
当x＝－1或3时，ymax＝4.
∴函数值域为[2,4]．
(2)(换元法)：令t＝ (t≥0)，则x＝
∵y＝－t2＋t＋1＝－(t－ )2＋ ，
∵当t＝ 即x＝ 时，ymax＝ ，无最小值．
∴函数值域为(－∞， ]．3)(三角换元法)函数的定义域是{x|－1≤x≤1}．
设x＝sint，－ ≤t≤ ，则y＝x－ 化为y＝sint－cost，y＝ ．
∵－ ≤t≤ ∴－ ≤t－ ≤ ，
∴－1≤sin(t＋ )≤ ，∴－ ≤y≤1.
∴原来的函数的值域是[－ ，1]．[总结评述] ①对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)或求二次复合函数的值域可用配方法．
②对于形如y＝ax＋b± 的函数令t＝ ，x＝ 且t≥0，使之变形为二次函数，再利用配方，对于含 的结构的函数，可利用三角代换，令x＝acosθ，θ∈[0，π]，或令x＝asinθ，θ∈[－ ， ]．
③对形如y＝ 等一些结构简单的函数，可通过直接法． 求下列函数的值域：
(1)y＝( )|x|；
(2)y＝sin2x＋4cosx＋1；
(3)y＝2x－5＋ .解析：(1)∵|x|≥0,0＜( )|x|≤1，
∴值域为(0,1]．
(2)y＝sin2x＋4cosx＋1＝－cos2x＋4cosx＋2
＝－(cosx－2)2＋6 由－1≤cosx≤1.
∴－3≤cosx－2≤－1
∴1≤(cosx－2)2≤9
∴－3≤－(cosx－2)2＋6≤5
∴－3≤y≤5，
∴值域为[－3,5]．【例2】 求下列函数的值域：
(1)y＝ ；(2)y＝ .
[解析] (1)解法一：(反函数法)由y＝ 解出x，得x＝ ，∵2y＋1≠0，∴函数的值域为{y|y≠－ ，且y∈R.}
解法二：(分离常数法)∵y＝－ ＋ ，
∴y≠－ ，故函数的值域为{y|y≠－ 且y∈R}．(2)(判别式法)：由y＝ 得
yx2－3x＋4y＝0，当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得－ ≤y≤ ，∵函数定义域为R，
∴函数y＝ 的值域为 .[总结评述] ①反函数的定义域即为原函数的值域，形如y＝ (a≠0)的函数值域可用反函数法，也可用配凑法．②把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数的值域，这种方法叫判别式法．形如y＝ (a1，a2不同时为0)的函数的值域常用此法．此类问题分为两大类：一类为分子和分母没有公因式一般可使用判别式△≥0解得，但要注意判别式△中二次项系数为零和不为零两种情况；另一类为分子和分母中有公因式，约去公因式回到②方法去解决．
求下列函数的值域．
解析：(1)解法1：(化为真分式)：
解法2：(利用反函数法)：
由y＝ 得2x＝ ＞0，所以y∈(－1,1)．
(2)由y＝ 变形得(y－1)x2－(y－1)x＋y－3＝0
当y＝1时，此方程无解；
当y≠1时，∵x∈R
∴△＝(y－1)2－4(y－1)(y－3)≥0
解得1≤y≤ ，又∵y≠1，∴1＜y≤ .
故函数的值域为{y|1＜y≤ }.【例3】 (2007·重庆模拟)已知：f(x)＝3x－x2|x|(x∈R.
(1)求f(x)的最大值；
(2)是否存在实数a，b使f(x)在区间[a，b]上的取值范围为 ．[解析] (1)f(x)＝3x－x2|x|＝
当x≥0时，f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)，所以当x∈(0,1)，f′(x)>0，所以x∈(0,1)时f(x)递增．当x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，所以x∈(1，＋∞)时f(x)递减．
当x<0时，f′(x)＝3＋3x2>0，所以x∈(－∞，0)时f(x)递增．
因为函数f(x)在x＝0处连续，所以x∈(－∞，1)时f(x)递增，x∈(1，＋∞)时f(x)递减．
所以f(x)max＝f(1)＝2.(2)由 ?ab>0.
①0即1≤a所以 即a，b是方程f(x)＝ 的两根．3x－x3＝ ?x4－3x2＋2＝0?x1＝1；x2＝ ，所以a＝1，b＝ .
②a所以
相减得3＋a2＋ab＋b2＝ ；相加得3＋a2－ab＋b2＝ ，所以ab＝0，无解．综合①②，存在a＝1，b＝ 使f(x)在区间[a，b]上的取值范围为 ．
[总结评述] 本题考查了导数及其运用，以及函数值域的讨论．
如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．解析：本小题主要考查正六棱柱的概念与性质，以及函数的相关知识，考查考生运用导数知识解决实际问题的能力．
设被切去的全等四边形的一边为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为 x，所以正六棱柱的体积
V＝6× (1－2x)2× x(0化简得V＝ (4x3－4x2＋x)．
又V′＝ (12x2－8x＋1)，
由V′＝0，得x＝ 或x＝ .
∵当x∈(0， )时，V′>0，V是增函数；
当x∈( ， )时，V′<0，V是减函数．
∴当x＝ 时，
V有最大值，此时正六棱柱的底面边长为 .
答案：1．求值域无程序化方法，应在熟练掌握几种基本方法的基础上，对具体的题目作具体的分析，选择最优的方法解决．
2．求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．
3．遇到含有字母系数或参数区间的一类求值域问题时，应对字母进行合理的分类讨论．课件28张PPT。第二章函数函数的值域与最值第7讲函数的值域 点评 以上各题所用方法是求函数值域常见的方法：
(1)二次函数法；
(2)分离系数(亦可用反函数法)；
(3)分段函数法；
(4)换元法(注意新元的取值范围)；
(5)复合函数转化法． 函数值域的应用 【例2】
已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b≥0，c∈R)．是否存在函数f(x)满足其定义域、值域都是[－1,0]？若存在，求出f(x)的表达式；若不存在，请说明理由． 点评 含有参数的一元二次函数的定义域与值域相同问题，本质上就是二次函数的最值．求解的关键是通过函数图象进行分析，由函数的最大值与最小值和函数的值域进行比较而得一方程组，再通过方程组的解的存在性进行判断． 【变式练习2】
已知函数y＝－x2＋2x，是否存在实数m，n，使得定义域和值域都是[m，n]？如果存在，求出实数m，n；如果不存在，说明理由． 1.若函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为____________
2.若定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为________{－1,0,3} [a，b] [－2,0] 1．函数的值域
求函数值域的方法是依据函数的表达式来选择的．根据表达式的结构，有如下的常见方法可供选择：配方法、换元法、具体函数法(如二次函数、反比例函数、分段函数)、基本不等式法、数形结合法、判别式法、导数法．求函数的值域，必须首先考虑函数的定义域． 1．(2010·苏北四市教学质量检测)已知函数f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值域为[－1,3]，则b－a的取值范围是__________．【解析】由二次函数图象可知，当a＝－1时，b∈[1,3]；当b＝3时，a∈[－1,1]，所以b－a的取值范围是[2,4]．
答案：[2,4]
选题感悟：二次函数是中考重点，也是高考重点，对二次函数的解析式、图象、性质等要熟练掌握．选题感悟：一次分式函数也是一种重要的基本函数，其值域一般可以借助图象讨论． 选题感悟：本题以常见函数的定义域、值域为背景，再用新的定义来包装，这是高考命题的方向． 课件36张PPT。 直线位置的特殊化， 使问题变得非常容易.体现出了特殊化的强大威力！类似还有特殊值、特殊数列、特殊函数、特殊图形等!一、一般与特殊的转化PQFxyo练习1[2010·安徽卷] 设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( )
A．X＋Z＝2Y
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)
C．Y2＝XZ
D．Y(Y－X)＝X(Z－X)(1)D 【解析】 取等比数列1,2,4，令n＝1，得X＝1，Y＝3，Z＝7代入验算，只有选项D满足．【点评】 对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确，若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除．本题也可以用首项a1、公比q和项数n表示代入验证得结论．练习2二、多元向少元转化1、几何问题代数化 立体几何中用向量法求角求距离等三、数与形的转化山东12高考18题2、代数问题几何化解：如果在[-1，1]内没有值满足f(c) >0∴p≤-3或p≥3/2取补集为-3 在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
正难则反五、主与次的转化利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。练习oxy1-1-22如果是两个相异的根呢？一个呢？数与形的转化函数与方程的转化六、函数与方程的转化七、命题与等价命题的化归 【解答】练习5、6、选择题1、3、1、2、3、课件90张PPT。专题八 圆锥曲线背景下的最值与定值问题【考点搜索】【考点搜索】 1. 圆锥曲线中取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围. 2. 注意利用某些代数式的几何特征求范围问题（如斜率、两点的距离等）.【课前导引】 1. 设P(x, y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则 的取值范围是 ( )【课前导引】 [解析] 注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线的斜率. 画图可知是C. [解析] 注意数形结合，表示点(x, y)与原点连线的斜率. 画图可知是C. [答案] C A【链接高考】【链接高考】[例1][分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识.[分析] 本题考查向量的运算、函数极值，导数的应用等知识.[解析][例2][解析][例3][解析][法一][法二][例4][例4][解析][解析] 法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理. 在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立.[解析]充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视.[例5][解析]专题八 圆锥曲线背景下的最值与定值问题第二课时 【考点搜索】【考点搜索】 1. 利用参数求范围、最值问题； 2. 利用数形结合求解范围、最值问题； 3. 利用判别式求出范围； 4. 新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，如求轨迹、求角度、研究平行与垂直关系等. 要注意利用这些知识解题.【课前导引】【课前导引】[解析] 由于a＝2，c＝1，故椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1，为使n最大，则3=1+(n?1)d，但d[解析] 由于a＝2，c＝1，故椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3，最小值为1，为使n最大，则3=1+(n?1)d，但d[答案] C 2. 曲线 y=x4上的点到直线 x?2y?1=0的距离的最小值是( ) 2. 曲线 y=x4上的点到直线 x?2y?1=0的距离的最小值是( ) [解析] 设直线L平行于直线x=2y+1,且与曲线y=x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线x=2y+1的距离， [解析] D【链接高考】【链接高考】[例1][解析] [例2] 设有抛物线 y2=2px(p>0), 点F是其焦点, 点C(a, 0)在正x轴上 (异于F点). 点O为坐标系原点. (1) 若过点C的直线与抛物线相交于A、B,且恒有∠AOB=90?, 求a的值; (2) 当a在什么范围时, 对于抛物线上的任意一点M (M与O不重合), ∠CMF恒为锐角？ [解析][例3][解析][例4][解答] 本小题主要考查平面向量的概念、直线与椭圆的方程性质以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力. (2) ①当l的斜率不存在时，l与x =?4无交点， 不合题意.
②当l的斜率存在时，设l方程为y=k(x+1), 课件23张PPT。函数 f(x)=x3-3x2 +1思考1：画出函数的草图？思考2：函数 f(x) 与x轴有几个交点？思考3：探究活动思考2这个问题还可以怎么描述？ 利用导数探究 函数的零点问题例1：
函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.例题选讲函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.几何画板演示函数f(x)=x3-3x2 +a(a∈R)的零点个数.几何画板演示 已知函数f(x)=x3-x2-x+a的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围.巩固练习1几何画板演示例题选讲几何画板演示例题选讲3、注意分类讨论的思想、函数与方程的思想、数形结合的思想的应用.2、解这类题的关键是利用导数对函数的单调性，函数的极值讨论. 1、我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.课时小结 已知函数
是否存在实数a>0,使得方程
在区间 内有且只有两个不相等的实根？若存在，求a的取值范围？若不存在，请说明理由？
思考已知函数f(x)=x3-3ax -1, a>0
(1) 求f(x)的单调区间；
(2) 若f(x)在x= -1处取得极值，直线 y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．课后测试几何画板演示(1) 求函数 f(x) 的解析式；
(2) 若方程 f(x)=k 有三个解，求k的取值范围． 1. 已知函数 f(x)=ax3-bx+4, 当 x=2 时，函数f(x)的极值为 . 课后作业课件106张PPT。第八单元 │ 考情分析预测 考向预测第八单元 │ 考情分析预测 第八单元 │ 考情分析预测 第八单元 │ 考情分析预测 备考策略第八单元 │ 考情分析预测 第八单元 │ 近年高考纵览 专题二十七 函数与方程思想专题二十七 函数与方程思想专题二十七 │ 主干知识整合 专题二十七 │ 主干知识整合 专题二十七 │ 主干知识整合 专题二十七 │ 要点热点探究? 探究点一 函数思想的运用 专题二十七 │ 要点热点探究专题二十七 │ 要点热点探究专题二十七 │ 要点热点探究专题二十七 │ 要点热点探究专题二十七│ 要点热点探究专题二十七 │ 要点热点探究? 探究点二 方程思想的运用专题二十七 │ 要点热点探究专题二十七│ 要点热点探究专题二十七│ 要点热点探究专题二十七 │ 要点热点探究? 探究点三 联用函数与方程的思想专题二十七 │ 要点热点探究专题二十七│ 要点热点探究专题二十七│ 要点热点探究专题二十七 │ 规律技巧提炼 专题二十七 │ 规律技巧提炼 专题二十七│ 江苏真题剖析专题二十七│ 江苏真题剖析专题二十七│ 江苏真题剖析专题二十七│ 江苏真题剖析专题二十八 数形结合思想专题二十八 数形结合思想专题二十八 │ 主干知识整合 专题二十八 │ 要点热点探究? 探究点一 数形结合在向量中的应用专题二十八 │ 要点热点探究专题二十八 │ 要点热点探究专题二十八 │ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八 │ 要点热点探究? 探究点二 数形结合在解析几何中的应用专题二十八 │ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八 │ 要点热点探究专题二十八 │ 要点热点探究? 探究点三 数形结合在函数中的应用专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八 │ 规律技巧提炼 专题二十八 │ 江苏真题剖析专题二十八 │ 江苏真题剖析专题二十八 │ 江苏真题剖析专题二十八 │ 江苏真题剖析专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十八│ 要点热点探究专题二十九 分类与整合思想专题二十九 分类与整合思想专题二十九 │ 主干知识整合 专题二十九 │ 主干知识整合 专题二十九 │ 要点热点探究? 探究点一 函数中的分类讨论问题专题二十九 │ 要点热点探究专题二十九 │ 要点热点探究专题二十九 │ 要点热点探究? 探究点二 数列中的分类讨论问题 专题二十九 │ 要点热点探究专题二十九│ 要点热点探究专题二十九│ 要点热点探究专题二十九│ 要点热点探究专题二十九 │ 要点热点探究? 探究点三 几何问题中的分类讨论专题二十九 │ 要点热点探究专题二十九│ 要点热点探究专题二十九│ 要点热点探究专题二十九│ 要点热点探究专题二十九│ 要点热点探究专题二十九 │ 规律技巧提炼 专题二十九 │ 规律技巧提炼 专题二十九 │ 江苏真题剖析专题二十九 │ 江苏真题剖析专题二十九 │ 江苏真题剖析专题二十八│ 要点热点探究专题三十 转化与化归思想专题三十 转化与化归思想专题三十 │ 主干知识整合 专题三十 │ 主干知识整合 专题三十 │ 要点热点探究专题三十 │ 要点热点探究专题三十 │ 要点热点探究专题三十│ 要点热点探究专题三十 │ 要点热点探究专题三十│ 要点热点探究专题三十│ 要点热点探究专题三十│ 要点热点探究专题三十 │ 要点热点探究专题三十 │ 要点热点探究专题三十│ 要点热点探究专题三十 │ 要点热点探究专题三十 │ 要点热点探究专题三十 │ 规律技巧提炼 专题三十 │ 规律技巧提炼 专题三十 │ 江苏真题剖析专题三十 │ 江苏真题剖析专题三十 │ 江苏真题剖析专题三十 │ 江苏真题剖析专题三十 │ 江苏真题剖析专题三十 │ 江苏真题剖析课件45张PPT。第二部分 应试高分策略第一讲 数学思想方法思想方法例析1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题，即善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题．(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察、处理问题．(3)方程的思想与函数的思想密切相关：方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0.通过方程进行研究，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域；函数与方程的这种相互转化关系十分重要．2．函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．【答案】 C1．数形结合思想的含义
(1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合思想解决的问题类型
(1)运用数轴、Venn图解决不等式(组)的解集、集合运算问题；
(2)运用平面直角坐标系和函数的图象解决函数问题、不等式问题、方程问题等；
(3)三角函数与解三角形问题；
(4)立体几何问题；
(5)可行域求最优解问题；
(6)数列问题；
(7)方程的曲线与曲线的方程等解析几何问题；
(8)复数问题．【答案】 D【答案】 B1．分类讨论思想的含义
(1)分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．(2)对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：
(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中，特别是排列、组合中的计数问题． (2011年高考上海卷)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时x的取值范围．【解】 (1)当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．
∵2x1＜2x2，a＞0?a(2x1－2x2)＜0，
3x1＜3x2，b＞0?b(3x1－3x2)＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．
当a＜0，b＜0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．1．转化与化归思想的含义
(1)转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．(2)转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换的具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．2．转化与化归的常见方法
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集?UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为所在棱的中点，O为面对角线A1C1的中点．求证：
(1)平面MNP∥平面A1C1B；
(2)OM⊥平面A1C1B.【证明】 (1)连接D1C，则MN为△DD1C的中位线，
∴MN∥D1C.
又∵D1C∥A1B，∴MN∥A1B.
同理，MP∥C1B.
而MN与MP相交，MN，MP在平面MNP内，
A1B，C1B在平面A1C1B内．
∴平面MNP∥平面A1C1B.(2)连接C1M和A1M，设正方体的棱长为a，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，C1M＝A1M，
又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO，
连接BO和BM，在△BMO中， 已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}，B＝{y|y2－6y＋8≤0}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围为__________．【解析】 由题意得A＝{y|y>a2＋1或y本
原
理组合排列排列数公式组合数公式组合数性质应
用
问
题 知识结构网络图：返回目录两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，
第一类办法中有m1种不同的方法，
第二类办法中有m2种不同的方法…，
第n类办法中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1+m2+m3+…mn 种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，
做第一步中有m1种不同的方法，
做第二步中有m2种不同的方法……，
做第n步中有mn种不同的方法，
那么完成这件事共有
N=m1·m2·m3·…·mn 种不同的方法.回目录1.排列和组合的区别和联系：从n个不同元素中取出m个元
素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元
素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数回目录2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运 用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。返回目录 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．1.分类计数原理(加法原理)?返回目录 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理） 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。返回目录1、某校组织学生分4个组从3处风景点中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是（ ）A. B. C. D. C回目录练习2、将数字1、2、3、4 填入标号为1、2、3、4 的四个方格里 , 每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有（ ）。
A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种（ 3×3×1= 9. 可用框图具体填写） B考点分析 从《考纲大纲》看：高考对这部分的要求还是比较高的.要重视两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画，数一数，算一算，是基本的计数方法，不可废弃.
例（2001年新课程卷） 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有：
A 3种 B 4种 C 5种 D 6种.回目录解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多
少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是
组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多
少个元素.※解决排列组合综合性问题，往往类与步交
叉，因此必须掌握一些常用的解题策略回目录判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有
3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上
共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和
英语两个学习小组，共有多少种分法??组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要
握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题回目录合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.回目录总的原则—合理分类和准确分步 解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。解法1 分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例1 6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有 种方法.
若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有 种，1位的排法有 种, 第2、3、6、7位的排法有 种，根据分步计数原理，不同的站法有 种。再安排老师，有2种方法。回目录把握分类原理、分步原理是基础
例1
如图，某电子器件是由三个电
阻组成的回路,其中有6个焊接
点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了, 那么焊接点脱落的可能性共有（ ）
A.63种 B.64种 C.6种 D.36种分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63回目录（1）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？
练 习 1分类：个位数字为5或0：个位数为0：个位数为5：回目录（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且大于31250的五位数？分类：引申1：31250是由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的五位数中从小到大第几个数？方法一：（排除法）方法二：（直接法）引申2：由0，1，2，3，4，5组成的无重复数字的
五位数中大于31250，小于50124的数共有多少个？(2004 ·全国·12) 在由数字1，2，3，4，5组成的所有
没有重复的5位数中，大于23145且小于43512的
数共有（ ）个58回目录合理分类与分步策略例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞
3人为全能演员。回目录本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素
的性质进行分类，按事件发生的连续过程分
步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不
漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的
始终。回目录有不同的数学书7本，语文书5本，英语书4本，由其中取出不是同一学科的书2本，共有多少种不同的取法？（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）回目录（4）（2005·福建·理）从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种B（直接法）分三种情况：
情况一,不选甲、乙两个去游览:则有 种选择方案,
情况二:甲、乙中有一人去游览：有 种选择方案;
情况三：甲、乙两人都去游览,有 种选择方案,
综上不同的选择方案共有 + + =240 （间接法）回目录1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有_______ 34 练习题2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2
号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选
2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,
这5人共有多少乘船方法.27回目录特殊元素和特殊位置问题特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安
排,以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有___ 然后排首位共有___最后排其它位置共有___位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件回目录“特殊元素、特殊位置优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。 例2 用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；0排在末尾时，有 个；
0不排在末尾时，先用偶数排个位，再排百位，最后排十位有 个；
由分类计数原理，共有偶数 30 个.B解题技巧回目录学生要从六门课中选学两门：
（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？
（2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？回目录 （1）有两门课时间冲突,不能同时学，有几种选法？回目录解法一：解法二： （2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？
特殊元素（或位置）优先安排例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ）
（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种解：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？练习题 （1）0,1,2,3,4,5这六个数字可组成多少个无重复数字的五位数？（2）0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字的五位奇数？ 练 习（3）(2005 ·北京·文)五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（ ）种。
（4）(2005 ·全国II ·理)在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____________个．
解：不能被5整除的有两种情况：情况1、首位为5有
种，情况2、首位不是5的有 种，故在由数字
0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，
不能被５整除的数共有 + =192(个)． 192小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。
2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案回目录相邻相间问题相邻元素捆绑策略例. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
复合元素，再与其它元素进行排列，
同时对相邻元素内部进行自排。
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也必须排列.回目录例 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是一个人,与5个男生作全排列,有 种排法,其中女生内部也有 种排法,根据乘法原理,共有 种不同的排法.结论 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.回目录某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（ ）练习题20回目录有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.若将这些书排成一列放在书架上,则数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有_____ 种 (结果用数 值表示).回目录不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
有 种，元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端回目录不相邻问题——插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它
元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素
之间及两端的空隙之间插入即可。例5 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分析：可先让其余4人站好，共有 种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有 种方法，这样共有 种不同的排法。回目录某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ） 30练习题回目录（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：插空法：（3）(2005 ·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８
组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答） 练 习回目录(3)(2005 ·辽宁)用１、２、３、４、５、６、７、８
组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，
３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，
这样的八位数共有___________个．（用数字作答） 将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列
有 种，再将７、８插入4个空位中的两个
有 种，故有 种． 引申:用１、２、３、４、５、６、组成没有重复数字
的六位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６
相邻，现将7、8 插进去，仍要求１与２相邻，３与４
相邻，５与６相邻，那么插法共有___________种．
（用数字作答） 回目录“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种
960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种解：另解：回目录练习 某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种解：回目录例 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.结论 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.回目录小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.
回目录定序问题例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，
将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高
排列，有多少种排法？顺序固定问题用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有 种。 分析：先在7个位置上作全排列，有 种排法。其中
3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只
对应一种排法，回目录定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列
问题,可先把这几个元素与其他元素一起
进行排列,然后用总排列数除以这几个元
素之间的全排列数,则共有不同排法种数
是： （空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外
的四人就坐共有 种方法，其余的三个
位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种
方法。 1思考:可以先让甲乙丙就坐吗?回目录例6 有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，
将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高
排列，有多少种排法？顺序固定问题用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.所以共有 种。 分析：先在7个位置上作全排列，有 种排法。其中
3个女生因要求“从矮到高”排，只有一种顺序故 只
对应一种排法，回目录（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再
把其余4四人依次插入共有 方法4*5*6*7定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要
求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？回目录例 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序?解 不加任何限制条件,整个排法有 种,“语文安排在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.结论 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以得到所求.分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避免了问题的复杂性.回目录分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素： 一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例10 七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（ ）A. B. C D.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得 种。注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 呢？用分步计数原理看，5是步骤数，自然是指数。回目录A重排问题求幂策略例.把6名实习生分配到7个车间实习,共有
多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配
到车间有 种分法.7依此类推,由分步计数原理共有 种不同的排法回目录1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ） 422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们
到各自的一层下电梯,下电梯的方法
（ ）练习题回目录环排问题和多排问题环排问题线排策略例6. 5人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成
圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从
此位置把圆形展成直线其余4人共有____
种排法即 （5-1)！一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有回目录练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？120多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以
把椅子排成一排.一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.回目录有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是______346练习题回目录小集团问题小集团问题先整体局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数
其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之
间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队
共有____种排法，再排小集团内部共有
_______种排法，由分步计数原理共有
_______种排法.小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。回目录１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４
幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一
品种的必须连在一起，并且水彩画不在两
端，那么共有陈列方式的种数为_______2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女
生也相邻的排法有_______种回目录元素相同问题隔板策略应用背景：相同元素的名额分配问题
不定方程的正整数解问题隔板法的使用特征：
相同的元素分成若干部分，每部分至少一个元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，在分给7个班，每
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
共有___________种分法。将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为回目录例 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空档中放上7个相同的隔板,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以名额分配方案有 种.结论 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚,方法简单,结果容易理解.回目录练 习（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有 （ ）种。（2）不定方程 的正整数解共有（ ）组回目录练习题10个相同的球装5个盒中,每盒至少一
有多少装法？2 .x+y+z+w=100求这个方程组的自然数解
的组数回目录小结：把n个相同元素分成m份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”得出共有 种.回目录间接法解题正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三
个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很
困难,可用总体淘汰法。再淘汰和小于10的偶数共___________符合条件的取法共有___________ 9+有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.回目录 例：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复
数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。间接法 (总体淘汰法,正难则反） 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。 分析：五个数组成三位数的全排列有 个，0排在首位的
有 个 ，1排在末尾的有 ，减掉这两种不合条件的排
法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数 （为什么？）
故共有 种。例 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解 43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.结论 去杂法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.回目录（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？ （2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（ ）
A.120 B.96 C.78 D.72直接练 习 3回目录 （3）用间接法解例1—“6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？”回目录我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?练习题回目录平均分组问题除法策略“分书问题”平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有
多少分法？解: 分三步取书得 种方法,但这里出现
重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF
若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF
该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)
(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 种取法 ,而
这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共
有 种分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。回目录1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4
个队, 有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人
但正副班长不能分在同一组,有多少种不同
的分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ 回目录分清排列、组合、等分的算法区别例 (1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?
(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?
解：（1） （2）(3)回目录练习
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解: (1)(2)回目录小结：排列与组合的区别在于元素是否有序; m等分的组合问题是非等分情况的;而元素相同时又要另行考虑.
回目录构造模型策略例. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的
九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关
掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2
盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏
亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯
有________ 种一些不易理解的排列组合题如果能转化为
非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队
模型，装盒模型等，可使问题直观解决回目录练习题某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右
两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120回目录先选后排问题八.排列组合混合问题先选后排策略例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,
每盒至少装一个球,共有多少不同的装
法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共
有__种方法.再把5个元素(包含一个复合
元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.根据分步计数原理装球的方法共有_____解决排列组合混合问题,先选后排是最基本
的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似
吗?回目录练习题一个班有6名战士,其中正副班长各1人
现从中选4人完成四种不同的任务,每人
完成一种任务,且正副班长有且只有1人
参加,则不同的选法有________ 种192回目录3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?先选后排问题的处理方法 解法一：先组队后分校（先分堆后分配）回目录 解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.回目录 为支援西部开发,有3名教师去银川市三所学校任教,每校分配1人,不同的分配方法共有_______种(用数字作答).练习改为4名教师？改为5名教师？回目录有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有多少种?回目录四名同学分配到三个办公室去搞卫生,每个办公室至少去一名学生,不同的分配方法有多少种? 回目录基础训练回目录练习 某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:回目录小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
回目录实验法（穷举法），（枚举法）
应用举例实验法（穷举法） 题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。 例 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（ ）A.6 B.9 C.11 D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。回目录实际操作穷举策略例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种
还剩下3球3盒序号不能对应，回目录实际操作穷举策略例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2
3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五
个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.
有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种
还剩下3球3盒序号不能对应， 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也
只有1种装法,由分步计数原理有2 种 回目录练 习 ：（不对号入座问题）（1）（2004湖北）将标号为1，2，3，……，10的
10个球放入标号为1，2，3，……，10的10个盒子中，
每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子
的标号不一致的放入方法有___________种（2）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有___________种
109直接法：间接法：回目录
注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（ ）
(A) 480种（B）240种 （C）180种 （D）120种小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。解：回目录练习 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有____种
解：回目录对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用
公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状
图会收到意想不到的结果练习题 同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,
然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张
贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区
域不同色,现有4种可选颜色,则
不同的着色方法有____种72回目录其它特殊方法分解与合成策略例. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式
30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题
意可知偶因数必先取2,再从其余5个
因数中任取若干个组成乘积，所有
的偶因数为：例17.正方体的8个顶点可连成多少对异面
直线回目录解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四
体共有体共__________33×58=174分解与合成策略是排列组合问题的一种最
基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几
个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的
结构,用分类计数原理和分步计数原理将问
题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复
杂的问题都要用到这种解题策略回目录化归策略例. 25人排成5×5方队,现从中选3人,要
求3人不在同一行也不在同一列,不同的
选法有多少种？解：将这个问题退化成9人排成3×3方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，回目录从5×5方队中选取3行3列有_____选法
所以从5×5方队选不在同一行也不在同
一列的3人有__________________选法。处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法
有___________种。再从5×5方队选出3×3
方队便可解决问题回目录对应法例11、在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛失败要退出比赛），最后产生一名冠军，问要举行几场？ 分析：要产生一名冠军，需要淘汰掉冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，淘汰一名选手需要进行一场比赛，所以淘汰99名选手就需要99场比赛。回目录某城市的街区由12个全等的矩形区组成
其中实线表示马路，从A走到B的最短路
径有多少种？练习题回目录特征分析研究有约束条件的排数问题，须要紧扣题目所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。 例 由1，2，3，4，5，6六个数字可以组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？分析数字特征：6的倍数既是2的倍数又是3的倍数。其中3的倍数又满足“各个数位上的数字之和是3的倍数”的特征。把6分成4组，（3，3），（6），（1，5），（2，4），每组的数字和都是3的倍数。因此可分成两类讨论；第一类：由1，2，4，5，6作数码；首先从2，4，6中任选一个作个位数字有 ，然后其余四个数在其他数位上全排列有 ，所以第二类：由1，2，3，4，5作数码。依上法有回目录（1）练习:（徐州二检）从6人中选4人组成4×100m接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？
分析：（一）直接法
（二）间接法（2）从正方体的8个顶点中选4个作四面体，则不同的四面体的个数为 。练 习58（3）一个三位数，其十位上的数字既
小于百位上的数字也小于个位上的数字
， 且个位百位上的数字不重复（如７３５等）
那么这样的三位数有 个．回目录144240例 袋中有5分硬币23个,1角硬币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法?解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以共有 种取法.结论 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可转化为求剩法.分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很容易解决问题.回目录小结
本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。课件62张PPT。数形结合思想以形助数，以数辅形纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决数学问题，往往事半功倍．数形结合的重点是研究“以形助数”，其中主要有两种主要的应用方向：第一是直接将代数问题转化为几何问题，解决几何问题后将其还原为代数问题的答案；第二是在解题过程中，画出图形，并依据图形信息的直观启示，探索修正解题思路与解题过程．
数形结合作为一种重要的思想方法，已经渗透至数学的每一分支中．在高考试题中，大部分问题都可以用到这种思想方法，无论是选择题、填空题还是解答题．它属于高考重点考查的内容，今后的高考仍将会作为重要的数学思想方法加以考查．高考试题对数形结合的考查主要涉及：
(1)考查集合及其运算问题——韦恩图与数轴；
(2)考查用函数图象解决有关问题(如方程、不等式问题)；
(3)考查运用向量解决有关问题；
(4)考查三角函数图象及应用；
(5)数轴及直角坐标系的广泛应用；
(6)数学概念及数学表达式几何意义的应用；
(7)解析几何中的数形结合．1．数形结合思想的含义
(1)所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．
这种思想方法体现在解题中，就是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决．(2)数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．数形结合的途径
(1)通过坐标系“形”“题”“数”解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2)通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a>0与距离互化，将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cosθ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通，将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对(或复数)和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图象也是实现数形化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用．函数图像的作图方法有两种：描点法和利用基本函数图象变换作图；
1.用描点法作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象 。
2.用图像变换法作图：
（1）、要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图像及性质。
(2)识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。
(3)三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等。
a.平移变换：（1）水平平移：函数y=??(??+h) 的图像可以把函数 的图像沿 轴方向向左(h>0) 或向右(h<0) 平移?h? 个单位即可得到；
（2）竖直平移：函数y=f(x)+k 的图像可以把函数y=f(x) 的图像沿y轴方向向上(k>0) 或向下 (k<0)平移?k? 个单位即可得到。即
123d.伸缩变换：
疑难点、易错点剖析疑难点、易错点剖析
函数的图象是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.
1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.
函数的图象是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.
1.熟记基本函数的大致图象，掌握函数作图的基本方法：(1)描点法：列表、描点、连线；(2)图象变换法：平移变换、对称变换、伸缩变换等.
2.高考中总是以几类基本初等函数的图象为基础来考查函数图象的.题型多以选择与填空为主，属于必考内容之一，但近年来，在大题中也有出现，须引起重视.
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线。要把表列在关键处，要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究 而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换 这也是个难点。
3. 函数的对称性。直击考点1.用图像变换法作函数图像例1．（1）作函数y=| x-x2|的图像；(2) 作函数y=x2-|x|的图像思路分析：根据函数解析式的特点，可按翻折变换法作图。
解：（1）即：例2（1）试作出函数的图像；图2-1-6（3） 考点二 识图问题ABCD的图像大致为高考试题欣赏（1）2012山东9（2）2012全国理科10（D）B（B）2011山东ABCD（C）(2-sin2,1-cos2)4山东高考16[例1] (1)已知函数f(x)满足下面关系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程f(x)＝lgx解的个数是( )
A．5 B．7 C．9 D．10考点3用图问题[答案] (1)C (2)D
[解析] (1)由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0,1]的函数．
又f(x)＝lgx，则x∈(0,10]，画出两函数图象，
则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x>10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．(3)B(2)∵f(x)为奇函数，
∴f(x)－f(－x)＝2f(x)
画出y＝2f(x)的大致图象．
如图，则f(x)与x异号的区间
如图阴影所示，
∴解集为(－1,0)∪(0,1)，故选D.
[评析] (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．
(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选D.练习2∴在如图所示的aOb坐标平面内，满足约束条件的点(a，b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界)．
(3)∵(a－1)2＋(b－2)2表示区域内的点(a，b)与定点(1,2)之间距离的平方，
∴(a－1)2＋(b－2)2∈(8,17)．
[评析] 此题所用思想方法是典型的数形结合法，理解所求式子的几何意义，将代数问题成功地转化为几何问题是关键．
设P是抛物线y＝x2上的点，若P点到直线2x－y－4＝0的距离最小，求P点的坐标．解法二：如图平移2x－y－4＝0这条直线至过点P与抛物线相切，则P点到直线的距离最短．
设P(x0，y0)，∵y′＝2x，
∴过P点的切线斜率
k＝y′|x＝x0＝2x0＝2.
∴x0＝1，y0＝x＝1.
故P点坐标为(1,1)．