人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
八年级—人教版—数学—第十二章
角的平分线的性质（2）
学习目标
1.探索并证明角的平分线的判定定理；
2.会应用角的平分线的判定进行简单的计算或证明.
学习重难点
学习重点：探索并证明角的平分线的判定定理；
学习难点：综合应用角的平分线的性质与判定进行计算或者证明.
定义
作法
性质
判定
OP平分∠AOB，
PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别是D，E
PD=PE
一、温故知新
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
？
二、新课探究
OP平分∠AOB
∠AOP=∠BOP
△DOP≌△EOP
此时点P满足PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，且PD=PE，但是点P并不在∠AOB的角平分线上.
角的平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
证明：
作射线OP.
∴点P在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP，
PD=PE ，
∵PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，
PD =PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上.
角的平分线的判定：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
几何语言描述：
如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE，
∴点P在∠AOB的平分线上.
判断以下说法正确吗？
（1）如图1，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( )
判断以下说法正确吗？
（2）如图2，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； ( )
判断以下说法正确吗？
（3）如图3，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且QM=QN,则点Q在∠AOB 的平分线上．( )
双垂直+等线段
如图3，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，且OM=ON,
∴点O在∠MQN的平分线上.
例1：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路、公路的距离相等， 并且离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图中标出它的位置，比例尺为1︰20000）？
D
C
S
O
A
B
三、例题讲解
500m=50000cm
设图中集贸市场与点O之间距离为xcm
例1：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路、公路的距离相等， 并且离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图中标出它的位置，比例尺为1︰20000）？
D
C
S
O
A
B
三、例题讲解
解：做夹角∠AOB的角平分线OC.
设与交点O的距离为xcm，
，解得x=2.5cm，
∴在图上取OD=2.5cm，则点D为集贸市场的位置.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例2：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
BP平分∠ABC，
PD⊥AB，PE⊥BC,
垂足是D，E，
PD=PE
CP平分∠ACB，
PE⊥BC，PF⊥AC ,垂足是E，F，
PE=PF
PD=PE=PF
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例2：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA,垂足分别为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴ PD=PE .
同理 PE=PF .
∴ PD=PE=PF .
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
例2：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
∵PD⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是D，F， PD=PF，
小结：三角形三个内角的平分线交于一点，而且这个点到三边的距离相等.
∴点P在∠BAC的角平分线上.
定义
性质
判定
四、知识小结
如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE .
点P在∠AOB的平分线上.
角的平分线的判定
五、课后作业
课本P50练习第1题