基本不等式
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文档简介
基本不等式： （一）
教学内容分析
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题同样重要。本章通过对不等式的学习，使学生体会到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中普遍存在，进而理解不等关系的重要性。两个基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，它们在解决数学问题和实际问题中应用广泛。本单元内容分为3个课时，第一课时学习两个基本不等式，第二课时学习它们的简单应用，第三课时学习它们的灵活实际应用。
二、教学目标
1．知识与技能
探究基本不等式的证明过程，初步理解基本不等式
2．过程与方法
通过对基本不等式的不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想．
3．情感、态度与价值观：
通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，形成积极探索的学习风气．
三、教学重点
用数形结合的思想理解基本不等式，从不同角度探索不等式的证明
教学难点
对基本不等式的探究
四、教学方法与手段
启发学生探究，多媒体辅助教学
五、教学过程
（一）创设情境：
如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客．
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫
（二）新知探究： 图1
将风车抽象成图2
设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形 的边长为.这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的 面积，我们就得到了一个不等式
当直角三角形变为等腰直角三角形, 图2
即时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
此时，a、b代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数a、b，上述不等式还成立吗？
设计意图：使学生经历发现重要不等式的过程，同时体会由特殊到一般的数学思想方法
[问题1]：你能给出它的证明吗
所以，即
设计意图：体会作差法证明不等式，温故而知新
重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,我们有
当且仅当时，等号成立
你能将不等式中的二次降为一次吗？此时a、b应满足什么条件呢？
得到：（a>0,b>0），通常我们将它写作
２．基本不等式：
[问题2]：你还能用其它方法推导不等式吗？
要证：， ①
只要证： ②
要证②，只要证
③
要证③，只要证 ④
显然，④是成立的．当且仅当时，④中的等号成立
设计意图：让学生在探究的基础上体会分析法的证明思路，加大基本不等式的探究力度
[问题3]：上述两个不等式的区别与联系是什么？
联系：当且仅当时等号成立
区别：
设计意图：从背景、结构、成立的条件方面比较异同，此处旨在让学生对两个不等式加以区别，并明确基本不等式的结构、成立的条件，以及两者 之间的代换关系。
3．算术平均数：我们常把叫做正数a,b的算术平均数
几何平均数：把叫做正数a,b的几何平均数
文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
前面我们从“数”的角度给基本不等式作出了严格的证明，下面我们能否再从“形”的角度给基本不等式作出合理的几何解释呢？
设计意图：旨在让学生体会由形到数，又由数回到形的过程，通过两个角度的反复印证，加深对基本不等式的认识
思考：
（1）在直角三角形ADB中，我们用线段AC,CB分别表示 ,你能找出表示和的线段吗？那么基本不等式又说明了什么几何事实呢？
结论：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高
（2）如果把上述直角三角形放到圆中，你能在圆中找出表示和的线段吗？
给出Rt△ABD，由于△ACD∽△BCD,因而，由于小于OD，OD为圆的半径，长为，用不等式表示为．
显然，上述不等式当且仅当点Ｃ与圆心重合，即当时，等号成立
结论：半弦不大于半径
（此处通过动态演示，从图的角度再次明确和强调基本不等式等号成立的条件。）
（3）前面，我们刚刚学习了数列，和在数列中代表什么？
结论：从数列的角度看,基本不等式说明两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
设计意图：从不同角度探究基本不等式的几何解释，启发学生认识形与数不是一对一的，对于一个代数表达式，也可以从不同的“形”去理解和解释
[问题4]：你能将基本不等式进行其它的变形吗？
(1)(2) (3)
设计意图：再次从结构上理解基本不等式，同时强调不等式中的a,b可以用任何的大于零的数或者代数式去代换
例１：已知x>0, 求证：
注：例题讲解后提问学生思考：若条件改为x>0且，则结论是否发生变化？
设计意图：旨在强调“基本不等式”的使用条件：一正、二定、三相等。
巩固练习：
已知x,y都是正数，（1）求证：
（2）不等式中“=”何时成立？
设计意图：此处设计旨在通过练习，强化理解基本不等式成立的条件
（三）课堂小结：
1．通过本节课，你在知识方面方面有哪些收获？
（重要不等式、基本不等式）
2．学习过程中，你体会到了哪些数学思想方法？
（由特殊到一般、数形结合的数学思想方法）
教学内容分析
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题同样重要。本章通过对不等式的学习，使学生体会到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中普遍存在，进而理解不等关系的重要性。两个基本不等式是证明不等式、求某些函数的最大值及最小值的理论依据，它们在解决数学问题和实际问题中应用广泛。本单元内容分为3个课时，第一课时学习两个基本不等式，第二课时学习它们的简单应用，第三课时学习它们的灵活实际应用。
二、教学目标
1．知识与技能
探究基本不等式的证明过程，初步理解基本不等式
2．过程与方法
通过对基本不等式的不同角度的探究，渗透数形结合及转化的数学思想．
3．情感、态度与价值观：
通过本节学习，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，形成积极探索的学习风气．
三、教学重点
用数形结合的思想理解基本不等式，从不同角度探索不等式的证明
教学难点
对基本不等式的探究
四、教学方法与手段
启发学生探究，多媒体辅助教学
五、教学过程
（一）创设情境：
如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表着中国人民的热情好客．
你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
设计意图：创设问题情境，为问题的引出做铺垫
（二）新知探究： 图1
将风车抽象成图2
设直角三角形的两条边长为a、b,那么正方形 的边长为.这样,4个直角三角形的面积和为2ab,正方形面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的 面积，我们就得到了一个不等式
当直角三角形变为等腰直角三角形, 图2
即时,正方形EFGH缩为一个点,这时有
此时，a、b代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数a、b，上述不等式还成立吗？
设计意图：使学生经历发现重要不等式的过程，同时体会由特殊到一般的数学思想方法
[问题1]：你能给出它的证明吗
所以，即
设计意图：体会作差法证明不等式，温故而知新
重要不等式:一般地,对于任意实数a、b,我们有
当且仅当时，等号成立
你能将不等式中的二次降为一次吗？此时a、b应满足什么条件呢？
得到：（a>0,b>0），通常我们将它写作
２．基本不等式：
[问题2]：你还能用其它方法推导不等式吗？
要证：， ①
只要证： ②
要证②，只要证
③
要证③，只要证 ④
显然，④是成立的．当且仅当时，④中的等号成立
设计意图：让学生在探究的基础上体会分析法的证明思路，加大基本不等式的探究力度
[问题3]：上述两个不等式的区别与联系是什么？
联系：当且仅当时等号成立
区别：
设计意图：从背景、结构、成立的条件方面比较异同，此处旨在让学生对两个不等式加以区别，并明确基本不等式的结构、成立的条件，以及两者 之间的代换关系。
3．算术平均数：我们常把叫做正数a,b的算术平均数
几何平均数：把叫做正数a,b的几何平均数
文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
前面我们从“数”的角度给基本不等式作出了严格的证明，下面我们能否再从“形”的角度给基本不等式作出合理的几何解释呢？
设计意图：旨在让学生体会由形到数，又由数回到形的过程，通过两个角度的反复印证，加深对基本不等式的认识
思考：
（1）在直角三角形ADB中，我们用线段AC,CB分别表示 ,你能找出表示和的线段吗？那么基本不等式又说明了什么几何事实呢？
结论：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高
（2）如果把上述直角三角形放到圆中，你能在圆中找出表示和的线段吗？
给出Rt△ABD，由于△ACD∽△BCD,因而，由于小于OD，OD为圆的半径，长为，用不等式表示为．
显然，上述不等式当且仅当点Ｃ与圆心重合，即当时，等号成立
结论：半弦不大于半径
（此处通过动态演示，从图的角度再次明确和强调基本不等式等号成立的条件。）
（3）前面，我们刚刚学习了数列，和在数列中代表什么？
结论：从数列的角度看,基本不等式说明两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
设计意图：从不同角度探究基本不等式的几何解释，启发学生认识形与数不是一对一的，对于一个代数表达式，也可以从不同的“形”去理解和解释
[问题4]：你能将基本不等式进行其它的变形吗？
(1)(2) (3)
设计意图：再次从结构上理解基本不等式，同时强调不等式中的a,b可以用任何的大于零的数或者代数式去代换
例１：已知x>0, 求证：
注：例题讲解后提问学生思考：若条件改为x>0且，则结论是否发生变化？
设计意图：旨在强调“基本不等式”的使用条件：一正、二定、三相等。
巩固练习：
已知x,y都是正数，（1）求证：
（2）不等式中“=”何时成立？
设计意图：此处设计旨在通过练习，强化理解基本不等式成立的条件
（三）课堂小结：
1．通过本节课，你在知识方面方面有哪些收获？
（重要不等式、基本不等式）
2．学习过程中，你体会到了哪些数学思想方法？
（由特殊到一般、数形结合的数学思想方法）