选择性必修第一册1.4空间向量的应用同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册1.4空间向量的应用同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-15 12:24:03 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
3．如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝( )
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
6．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B．
C．2 D．
7．若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
8．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
9．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．若平面，的法向量分别为，，则
A． B．与相交但不垂直
C． D．或与重合
11．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
12．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在正方体中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当__________时，平面．
14．已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM ⊥平面，则下列说法正确的是________．
①若N为中点，当AM＋MN最小时，；
②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；
③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；
④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；
⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．
15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是__________________．
16．如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得；
②的面积越来越小；
③四面体的体积不变.
所有正确的结论的序号是_____________.
17．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为______.
三、解答题
18．如图，在直四棱柱中，
（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
19．在中，，，，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.
(1)当时，证明：平面；
(2)是否存在实数，使三棱锥的体积为？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并求出与平面所成角的正弦值.
20．如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值.
21．如图，在直四棱柱中，．
（1）证明：；
（2）已知，，，求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
2．D
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
3．D
取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.
【详解】
如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形与正三角形中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面⊥面，面面，所以BE⊥面ADC,
以E为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
,
平面ACD的一个法向量为
而，设为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角的平面角为θ，则θ为锐角，
所以.
故选：D
向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
4．B
直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
5．C
先求出，由题得，即，解方程即得解.
【详解】
，而，
即，解得或－11.
故选：C
本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
6．D
先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.
【详解】
因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
由 ∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴
故选:D.
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求值；
（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.
7．C
根据两个法向量共线可得的值.
【详解】
因为，共线，故，故，
故选：C.
8．A
根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解》
【详解】
因为，，
所以，
所以，
故选：A
9．B
取的中点，连接，根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质证明两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点坐标以及和的坐标，由空间向量夹角公式计算即可求解.
【详解】
取的中点，连接，因为，所以
又因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，
又因为，，可得两两垂直，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为是等腰直角三角形，，为等边三角形，
可得，，，，
所以，，
所以，
设异面直线与所成角为，则
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B.
10．A
可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．
【详解】
解：因为平面，的法向量分别为，
即，所以
所以
故选：A
本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．
11．C
由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】
平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
12．C
建立空间直角坐标系，
【详解】
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
13．
首先如图建立空间直角坐标系，利用垂直关系，转化为坐标运算求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设棱长为，，，，
，，，，
若平面，则，即，
解得：，
所以
故答案为：
14．①④⑤
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；
通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；
利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定④正确．利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.
【详解】
对于①：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），
若最小，则、、三点共线，
因为，
所以，
所以，
即，故①正确；
对于②：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），
在正方体中，平面，
平面，
所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可证，
因为，
所以平面，
易知△是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设、、、，，分别是，、，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即②错误；
对于③：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，设，4，，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
且，4，，，4，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，，
则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，，故③错误；
对于④，连接、，
设平面交棱于点，0，，，4，，
所以，4，，
因为平面，平面，
所以，
即，得，
所以，0，，
即点是的中点，
同理点是的中点，
则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，0，，，，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离，为，
所以梯形的面积为，故④正确；
对于⑤，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，
棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为
故答案为：①④⑤．
解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.
15．
建立空间直角坐标系，表示所需点的坐标，求出平面D1EF的一个法向量，结合线面平行的向量表示可得动点M的坐标满足的条件，即可得解.
【详解】
因为ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），
因为，所以F是CC1四等分点（靠近C），
所以F（0,2,1），所以，
设平面D1EF的一个法向量为，
则，即，
令c＝2，则，故，
又，平面D1EF，
所以，即，
所以，所以，
故，
因为0≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，
因为，所以|MD|在上单调递减，
所以当x＝时，|MD|取最大值，
所以|MD|的最大值为，
当x＝2时，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值为，
所以|MD|的取值范围是．
故答案为：.
16．①②③
建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出（），选项①，列出方程，求出m的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而得到答案；③把作为底，高为点P到上底面的距离，可以判断四面体的体积不变.
【详解】
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，设（），则，，令，解得：，存在点P，使得，①正确；
，，，，设点P到直线距离为，则
所以，因为，动点沿着棱DC从点D向点C移动，即从0逐渐变到2，随着的变大，变小，的面积越来越小，②正确；
以为底，高为点P到上底面的距离，因为∥底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，③正确.
故答案为：①②③
17．
以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，
则,则,.设平面ABC1的一个法向量为,则有，不妨设z=1，解得,
则所求距离为
故答案为：.
18．（1），（2）
（1）推导出，以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
（2）设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出的长
【详解】
解（1）在直四棱柱中，
因为平面，平面，平面，
所以
因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以,
所以，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以二面角的余弦值为
（2）设，则，
因为点为的中点，所以，
则，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角的大小为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍去）
所以
关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题
19．(1)证明见解析
(2)存在，，
（1）依题意可得，取的中点，连接交于点，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；
（2）取的中点，连接，即可得到平面，根据锥体的体积求出到的距离为1，即可得到为的中点，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
(1)
解：在中，，即，则，
取的中点，连接交于点，
当时，是的中点，而是的中点，
是的中位线，
在中，是的中点，是的中点，
在中，，，则，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面
，而，，平面
平面
(2)
解：取的中点，连接，则，而平面平面，平面平面，平面，
平面，且，
，又，所以
到的距离为1，
为的中点，此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，
，
设与平面所成的角为，则
与平面所成的角的正弦值为.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）要证平面平面，只要证平面，即证且，前者可以由为等边三角形得到，后者由平面得到.
（2）建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.
【详解】
（1）由题，为的中点，可得，
∵平面平面，，∴平面.又∵平面，
∴. ∴平面.∴平面平面.
（2）取的中点，的中点，连接，
∵，∴
∵平面平面平面，
∴平面
分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则.即.可取
同理，可得平面的法向量
所以二面角所成角的余弦值为
21．（1）证明见解析；（2）．
（1）先证明平面，即可证明．
（2）记，过作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，用向量法求与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）直四棱柱中，
平面，平面，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以．
（2）记，过作，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由已知易得，，
所以，，
又，所以，
所以，，，，
，，
设平面的法向量为，则，即
不妨令，
所以与平面所成角的正弦值为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
3．如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝( )
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
6．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A．2 B．
C．2 D．
7．若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
8．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
9．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．若平面，的法向量分别为，，则
A． B．与相交但不垂直
C． D．或与重合
11．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
12．已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在正方体中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当__________时，平面．
14．已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM ⊥平面，则下列说法正确的是________．
①若N为中点，当AM＋MN最小时，；
②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；
③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；
④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；
⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．
15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是__________________．
16．如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得；
②的面积越来越小；
③四面体的体积不变.
所有正确的结论的序号是_____________.
17．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，且底面，则点到平面的距离为______.
三、解答题
18．如图，在直四棱柱中，
（1）求二面角的余弦值；
（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
19．在中，，，，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面.
(1)当时，证明：平面；
(2)是否存在实数，使三棱锥的体积为？若不存在，请说明理由；若存在，求出的值，并求出与平面所成角的正弦值.
20．如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值.
21．如图，在直四棱柱中，．
（1）证明：；
（2）已知，，，求直线与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
取的中点为，连接，证明平面，，然后建立空间直角坐标系，利用向量求解即可.
【详解】
取的中点为，连接
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，
所以
如图建立空间直角坐标系，则
所以
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：A
2．D
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
3．D
取AC的中点E，连接BE,DE,证明BE垂直于平面ACD，以点E为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面CDA的法向量，利用空间向量公式即可求出所求二面角的余弦.
【详解】
如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形与正三角形中，
BE⊥AC，DE⊥AC，因为面⊥面，面面，所以BE⊥面ADC,
以E为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则
,
平面ACD的一个法向量为
而，设为面BCD的一个法向量，则：
即 ，不妨令x=1，则
设二面角的平面角为θ，则θ为锐角，
所以.
故选：D
向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
4．B
直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
5．C
先求出，由题得，即，解方程即得解.
【详解】
，而，
即，解得或－11.
故选：C
本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
6．D
先作出P到AB的距离PE,再解三角形求出PE.
【详解】
因为ABCD为正方形，所以AD⊥DC.
由 ∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.
∵,∴AD⊥面PDC.,∴AD⊥面PH.
又PH⊥DC, ,∴PH⊥面ABCD,
在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
所以线段PE即为所求．
以H为坐标原点建立空间直角坐标系，
则
所以,∴
故选:D.
方法点睛：
距离的计算方法有两类：
（1）几何法：利用几何图形求值；
（2）向量法：把距离用向量表示出来，转化为代数计算.
7．C
根据两个法向量共线可得的值.
【详解】
因为，共线，故，故，
故选：C.
8．A
根据两直线方向向量平行两直线平行即可求解》
【详解】
因为，，
所以，
所以，
故选：A
9．B
取的中点，连接，根据等腰三角形的性质以及面面垂直的性质证明两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各点坐标以及和的坐标，由空间向量夹角公式计算即可求解.
【详解】
取的中点，连接，因为，所以
又因为平面平面，平面平面，面，
所以平面，
又因为，，可得两两垂直，
所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为是等腰直角三角形，，为等边三角形，
可得，，，，
所以，，
所以，
设异面直线与所成角为，则
所以异面直线与所成角的余弦值为，
故选：B.
10．A
可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．
【详解】
解：因为平面，的法向量分别为，
即，所以
所以
故选：A
本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．
11．C
由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.
【详解】
平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
12．C
建立空间直角坐标系，
【详解】
由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.
设正方体的棱长为1，
则有
∴，∴设，
∴，
，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴，
∴，
解得
∴的取值范围是
故选：C.
13．
首先如图建立空间直角坐标系，利用垂直关系，转化为坐标运算求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，设棱长为，，，，
，，，，
若平面，则，即，
解得：，
所以
故答案为：
14．①④⑤
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；
通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；
利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定④正确．利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.
【详解】
对于①：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），
若最小，则、、三点共线，
因为，
所以，
所以，
即，故①正确；
对于②：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），
在正方体中，平面，
平面，
所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可证，
因为，
所以平面，
易知△是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设、、、，，分别是，、，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即②错误；
对于③：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，设，4，，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
且，4，，，4，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，，
则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，，故③错误；
对于④，连接、，
设平面交棱于点，0，，，4，，
所以，4，，
因为平面，平面，
所以，
即，得，
所以，0，，
即点是的中点，
同理点是的中点，
则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，0，，，，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离，为，
所以梯形的面积为，故④正确；
对于⑤，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，
棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为
故答案为：①④⑤．
解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.
15．
建立空间直角坐标系，表示所需点的坐标，求出平面D1EF的一个法向量，结合线面平行的向量表示可得动点M的坐标满足的条件，即可得解.
【详解】
因为ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，
以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），
因为，所以F是CC1四等分点（靠近C），
所以F（0,2,1），所以，
设平面D1EF的一个法向量为，
则，即，
令c＝2，则，故，
又，平面D1EF，
所以，即，
所以，所以，
故，
因为0≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，
因为，所以|MD|在上单调递减，
所以当x＝时，|MD|取最大值，
所以|MD|的最大值为，
当x＝2时，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值为，
所以|MD|的取值范围是．
故答案为：.
16．①②③
建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，设出（），选项①，列出方程，求出m的值；选项②，利用点到直线距离的向量公式表达出P到直线距离，表达出的面积，进而得到答案；③把作为底，高为点P到上底面的距离，可以判断四面体的体积不变.
【详解】
以D为坐标原点，DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，设（），则，，令，解得：，存在点P，使得，①正确；
，，，，设点P到直线距离为，则
所以，因为，动点沿着棱DC从点D向点C移动，即从0逐渐变到2，随着的变大，变小，的面积越来越小，②正确；
以为底，高为点P到上底面的距离，因为∥底面，所以h不变，所以四面体的体积不变，③正确.
故答案为：①②③
17．
以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【详解】
以C为原点，分别为y、z轴正方向，建立如图示的空间直角坐标系，
则,则,.设平面ABC1的一个法向量为,则有，不妨设z=1，解得,
则所求距离为
故答案为：.
18．（1），（2）
（1）推导出，以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；
（2）设，则，求出平面的法向量，利用空间向量求出的长
【详解】
解（1）在直四棱柱中，
因为平面，平面，平面，
所以
因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以,
所以，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
所以二面角的余弦值为
（2）设，则，
因为点为的中点，所以，
则，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角的大小为，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍去）
所以
关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题
19．(1)证明见解析
(2)存在，，
（1）依题意可得，取的中点，连接交于点，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；
（2）取的中点，连接，即可得到平面，根据锥体的体积求出到的距离为1，即可得到为的中点，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
(1)
解：在中，，即，则，
取的中点，连接交于点，
当时，是的中点，而是的中点，
是的中位线，
在中，是的中点，是的中点，
在中，，，则，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面
，而，，平面
平面
(2)
解：取的中点，连接，则，而平面平面，平面平面，平面，
平面，且，
，又，所以
到的距离为1，
为的中点，此时，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，，
，
设与平面所成的角为，则
与平面所成的角的正弦值为.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）要证平面平面，只要证平面，即证且，前者可以由为等边三角形得到，后者由平面得到.
（2）建立空间直角坐标系计算两个半平面的法向量的夹角.
【详解】
（1）由题，为的中点，可得，
∵平面平面，，∴平面.又∵平面，
∴. ∴平面.∴平面平面.
（2）取的中点，的中点，连接，
∵，∴
∵平面平面平面，
∴平面
分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则.即.可取
同理，可得平面的法向量
所以二面角所成角的余弦值为
21．（1）证明见解析；（2）．
（1）先证明平面，即可证明．
（2）记，过作，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，用向量法求与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）直四棱柱中，
平面，平面，所以，
又，，所以平面，
又平面，所以．
（2）记，过作，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
由已知易得，，
所以，，
又，所以，
所以，，，，
，，
设平面的法向量为，则，即
不妨令，
所以与平面所成角的正弦值为
答案第1页，共2页
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