选择性必修第一册2.2直线的方程同步练习（Word含答案解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．方程表示的直线可能是（ ）
A． B． C． D．
5．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线l经过点A(1，－2)，B(－3，2)，则直线l的方程（ ）
A．x＋y＋1＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
7．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．过点，倾斜角为150°的直线方程为（ ）
A．y－2＝－ (x＋4)
B．y－(－2)＝－ (x－4)
C．y－(－2)＝ (x－4)
D．y－2＝ (x＋4)
12．已知过点的直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别交于A，B两点，当最小时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若直线过点A(1，3)，且斜率是直线y＝－4x的斜率的，则该直线的方程为________．
14．已知直线过点，并且倾斜角是直线的倾斜角的倍，则直线的方程是_______.
15．下列说法不正确的是______（填序号）．
①点斜式适用于不垂直于轴的任何直线；
②斜截式适用于不垂直于轴的任何直线；
③两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线；
④截距式适用于不过原点的任何直线
16．下列命题：
①当直线经过两点，，时，直线的斜率为
②直线与轴交于一点，则直线在轴上的截距为
③在轴和轴上截距相等的直线方程为
④方程表示过点和的直线．
其中说法中正确的命题番号是______．
17．过且与和距离相等的直线方程为___________.
三、解答题
18．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；
(1)若，求的直线方程；
(2)若，求的直线方程．
19．已知直线的倾斜角为.
（1）若直线过点，求直线的方程.
（2）若直线在轴上的截距为3，求直线的方程.
20．如图，一载着重危病人的火车从地出发，沿北偏东射线行驶，其中，在距离地10公里北偏东角的处住有一位医学专家（其中），现有紧急征调离地正东公里的处的救护车赶往处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在处相遇，经计算当两车行驶的路线与围成的三角形面积最小时，抢救最及时．
（1）求关于的函数关系；
（2）当为何值时，抢救最及时．
21．已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
求出直线的两点式方程，再化为一般方程可得答案.
【详解】
经过两点、的直线的方程为，即.
故选：D.
2．B
根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】
由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
3．D
先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.
【详解】
依题意，直线的斜率为，对应的倾斜角为.
故选：D
本小题主要考查直线倾斜角，属于基础题.
4．B
直接判断出直线经过点，对照四个选项，即可求解.
【详解】
因为，所以，代入直线方程，可得，即．
所以直线过点，故选：B．
5．B
求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程，化简即可.
【详解】
所求直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.
故选：B.
6．A
由两点式方程即可求出.
【详解】
直线l经过点A(1，－2)，B(－3，2)，
直线l的方程为，整理得.
故选：A.
7．D
由倾斜角为求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程
【详解】
解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
故选：D
8．A
把坐标代入两条直线和得,,求出,再用两点式方程求过点,的直线的方程．
【详解】
把坐标代入两条直线和,得
,,
,
过点,的直线的方程是：,
,则,
,,
所求直线方程为：．
故选 ：A.
9．B
先求得线段的斜率，由点斜式求得正确答案.
【详解】
因为，，，
所以，
则所求直线的斜率为，
所以过点且与线段平行的直线方程为，即．
故选：B
10．C
根据且，得，则直线方程可化为斜截式，再根据的符号，即可得出结论.
【详解】
因为，所以，所以直线方程可化为．
因为且，所以同号，异号，从而有，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
故选：C．
11．B
求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可
【详解】
由直线的倾斜角为，得到直线的斜率
又直线过点
则直线的方程为
故选：B
12．B
由题意结合三角函数的知识可得，，结合正弦的二倍角公式可得，求出后即可得直线的斜率，再由点斜式即可得解.
【详解】
设，如图：
则，，
所以，
所以当即时，最小，
此时，直线的倾斜角为，斜率，
所以直线l的方程为即.
故选：B.
本题考查了三角函数、三角恒等变换的应用，考查了直线方程的求解，关键是合理转化条件，属于中档题.
13．
由条件可得所求直线的斜率为，然后利用点斜式写出答案即可.
【详解】
设所求直线的斜率为k，依题意
又直线经过点A(1，3)，因此所求直线的方程为，即
故答案为：
14．
求出直线的倾斜角，即可求得直线的倾斜角，从而可得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程，即可求出直线的方程．
【详解】
∵直线的斜率为
∴直线的倾斜角为
∵直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍
∴直线的倾斜角为，即直线的斜率为
∵直线过点
∴直线的方程为，即.
故答案为：.
15．④
根据垂直于坐标轴的直线、过原点的直线的性质，判断各直线表达式能否适用.
【详解】
①②垂直于轴的直线不存在斜率，故不适用点斜式、斜截式，正确；
③垂直于轴和轴的直线或，故不适用两点式，正确；
④过原点的直线、垂直于坐标轴的直线，其截距或中的一个 不存在，故不适用截距式，错误.
故答案为：④
16．①④
分别由直线的斜率公式、直线在轴上的截距、直线的截距式方程、两点式方程的变形式逐一核对得出答案．
【详解】
对于①，因为直线经过两点，，时，所以直线的斜率为，故①正确；
对于②，截距不是距离，是点的纵坐标，其值可正可负．故②不正确；
对于③，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为，故③不正确；
对于④，此方程即直线的两点式方程变形，即，故④正确．
故答案为：①④.
17．或
分所求直线与直线平行或所求直线过线段的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】
直线的斜率为，线段的中点坐标为.
①若所求直线与直线平行时，则所求直线的方程为，即；
②若所求直线过的中点时，则所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即.
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或.
思路点睛：过点且与点、距离相等的直线的方程的求解，要注意分以下两种情况讨论：
（1）所求直线与直线平行；
（2）所求直线过线段的中点.
18．(1) ； (2)
(1)先求出与的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线l
(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线l
【详解】
（1）由，得，
∴与的交点为.
设与直线平行的直线为，
则，∴.
∴所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线为，
则，解得．
∴所求直线方程为.
两直线平行斜率相等，两直线垂直斜率乘积等于-1．
19．（1）；（2）.
（1）利用点斜式方程，即可得答案；
（2）利用斜截式方程，即可得答案；
【详解】
解：∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率为.
（1）∵直线过点，∴由点斜式方程，得直线的方程为，即.
（2）∵直线在轴上的截距为3，∴由斜截式方程，得直线的方程为.
本题考查点斜式方程与斜截式方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
20．（1）当时，，当且时，，（2）
（1）根据题意可建立如图所示的直角坐标系，分别求出直线的方程和点的坐标，进而可以关于的函数关系；
（2）将问题转化为求函数的最小值，根据（1）中的函数解析式，利用基本不等式，可求出函数的最小值，进而可得答案
【详解】
解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以射线的方程为，
因为，所以直线的斜率为（），
所以直线的方程为（），
当时，点，则，
当时，由，得（），
所以点（），
所以（），
综上，当时，，当且时，
（2）由（1）得当且时，
，
当且仅当，即时取等号，
而当时，，
所以当时，有最小值，即抢救最及时
21．(1)证明见解析，定点；
(2)存在，且直线方程为.
（1）将直线方程变形为，解方程组，可得定点的坐标；
（2）设点A的坐标为，根据求出的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程，可求出该直线与轴的交点的坐标，即可求得的周长，即可得解.
(1)
证明：将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
(2)
解：设点A的坐标为，若，则，
则、，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
此时直线与轴的交点为，则，，，
此时的周长为.
所以，存在直线满足题意.
答案第1页，共2页
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