选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.3直线的交点坐标与距离公式（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 562.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-15 12:29:46 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ）
A．8 B．－8
C．9 D．－9
4．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．已知点点，则为
A．4 B．2 C． D．
7．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
11．已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何,总是无解 B．无论如何,总有唯一解
C．存在使之恰有两解 D．存在使之有无穷多解
12．设，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点（异于点，），则周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．直线与直线之间的距离为__________．
14．直线关于点对称的直线的方程为_________.
15．两平行直线与间的距离为3，则___________.
16．x轴上的点到，两点的距离和的最小值为__________．
三、解答题
17．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
18．已知直线
(1)若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
19．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离．
20．已知，，，，，六个点，线段AB，MN，PQ能围成一个三角形吗？为什么？
21．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
2．D
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
3．A
由x=－1，y=－2是方程2x＋3y＋a＝0与方程bx－y－1＝0的公共解求解.
【详解】
由题意得，
解得，
所以ab＝8.
故选：A
4．C
由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值.
【详解】
由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即.
故选：C
本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.
5．C
求出关于的对称点,根据题意，为最短距离，求出即可.
【详解】
设点关于的对称点，设军营所在区域为的圆心为,
根据题意，为最短距离，
的中点为，，直线的斜率为1,
解得：,
，
故选: C.
本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.
6．C
直接利用两点间距离公式求解即可．
【详解】
解：点点，
则．
故选C．
本题考查两点间距离公式的应用，是基本知识的考查．
7．C
分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．
【详解】
当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得 ，
则抛物线的标准方程为，
当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，
则抛物线的标准方程为.
故选：C．
本题主要考查抛物线的标准方程．解题时注意分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情形讨论．属基础题．
8．C
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
9．D
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
10．C
直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】
直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
11．B
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，点与是直线(为常数)上两个不同的点，
直线的斜率存在，所以，即，
且，所以，
由方程组，
可得：，即，
所以方程组有唯一的解．
故选B．
本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
12．D
根据，得到与始终垂直，即，则，由基本不等式，得到求解.
【详解】
直线：过定点，直线：过定点，
因为，
所以与始终垂直，又是两条直线的交点，
∴，
∴.
由，可得，
则，
即有，当且仅当时，上式取得等号，
∴周长的最大值为.
故选：D
本题主要考查两直线的位置关系的应用以及基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
13．
化简直线为，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】
化简直线为，
根据平行线间的距离公式，可得，
即直线与直线之间的距离为.
故答案为：.
14．
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点，根据中点坐标公式，点在直线，可得所求直线方程，即可求得答案.
【详解】
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为
根据坐标中点公式可得：
解得：①
点在直线
②
将①代入②可得：
整理可得：.
故答案为：.
本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.
15．或48
根据两条直线平行求出b,进而通过两条平行线间的距离求出c，最后求出答案.
【详解】
∵，∴，
∴.
∴，解得或.
∴或.
故答案为：-12或48.
16．5
根据图形的对称可知A′B=A′C+BC=AC+BC最小，利用对称求出A′的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出．
【详解】
作出关于轴的对称点，然后连接，与轴交于点，易得所求距离和的最小值即为的长.根据与关于轴对称得到，根据两点间的距离公式，得.
故答案为5.
考查学生会根据对称找出最短线段的能力，灵活运用两点间的距离公式求值，会找一个点关于x轴的对称点的坐标．同时考查了学生会利用数形结合的数学思想解决实际问题．
17．（1）；（2）；（3）.
(1)求得直线AA′的方程，再求直线l与与直线AA′的交点，进而即可求出A′的坐标；
(2)取直线l上任一点(x，y)，根据题意得到关于点的对称点在直线上，进而求出直线方程；
(3)求出已知两直线的交点坐标，进而根据对称的性质，结合两点式方程即可解答.
【详解】
（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.
18．(1)
(2)
（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
(1)
直线，令，，则
(2)
直线与直线平行，则，得
当时，直线，即满足条件
此时直线与之间的距离为
19．
利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程，然后利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】
由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.
由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,
则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:
即;
所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:，
综上，直线l与CD所在直线的距离为.
20．不能，原因见解析.
分别计算出，，，从而可得，进而可得结果.
【详解】
依题意得，，，因为，所以线段，，不能围成一个三角形.
21．
设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解.
【详解】
设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．经过两条直线和的交点，并且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
3．若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ）
A．8 B．－8
C．9 D．－9
4．在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．已知点点，则为
A．4 B．2 C． D．
7．已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．在平面直角坐标系中，已知点满足，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，从点射出的光线经x轴反射到直线上，又经过直线反射到P点，则光线所经过的路程为（ ）
A． B．6 C． D．
11．已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A．无论如何,总是无解 B．无论如何,总有唯一解
C．存在使之恰有两解 D．存在使之有无穷多解
12．设，动直线：过定点，动直线：过定点，若直线与相交于点（异于点，），则周长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．直线与直线之间的距离为__________．
14．直线关于点对称的直线的方程为_________.
15．两平行直线与间的距离为3，则___________.
16．x轴上的点到，两点的距离和的最小值为__________．
三、解答题
17．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
18．已知直线
(1)若直线在x轴上的截距为，求实数a的值；
(2)直线与直线平行，求与之间的距离．
19．的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是与，过的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离．
20．已知，，，，，六个点，线段AB，MN，PQ能围成一个三角形吗？为什么？
21．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.
【详解】
联立得，所以两直线交点坐标为，
所求直线为，整理得.
故选：A.
2．D
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
3．A
由x=－1，y=－2是方程2x＋3y＋a＝0与方程bx－y－1＝0的公共解求解.
【详解】
由题意得，
解得，
所以ab＝8.
故选：A
4．C
由点到直线的距离表示出，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得，即可求出的最大值.
【详解】
由题意，点到直线的距离为，
则，
其中，，
所以当且仅当，时，取得最大值，
即.
故选：C
本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题.
5．C
求出关于的对称点,根据题意，为最短距离，求出即可.
【详解】
设点关于的对称点，设军营所在区域为的圆心为,
根据题意，为最短距离，
的中点为，，直线的斜率为1,
解得：,
，
故选: C.
本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.
6．C
直接利用两点间距离公式求解即可．
【详解】
解：点点，
则．
故选C．
本题考查两点间距离公式的应用，是基本知识的考查．
7．C
分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案．
【详解】
当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得 ，
则抛物线的标准方程为，
当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，
则抛物线的标准方程为.
故选：C．
本题主要考查抛物线的标准方程．解题时注意分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情形讨论．属基础题．
8．C
根据直线过定点确定出对于给定的一点，取最大值时且，然后根据点为正方形上任意一点求解出，由此可知.
【详解】
直线过定点，
对于任意确定的点，
当时，此时，
当不垂直时，过点作，此时，如图所示：
因为，所以，所以，
由上可知：当确定时，即为，且此时；
又因为在如图所示的正方形上运动，所以，
当取最大值时，点与重合，此时，
所以，
故选：C.
关键点点睛：解答本题的关键在于利用图像分析取最大值时与直线的位置关系，通过位置关系的分析可将问题转化为点到点的距离问题，根据图像可直观求解.
9．D
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
10．C
直线AB的方程为：，点关于x轴的对称点，根据对称性特征求得点关于直线AB的对称点， 再根据反射对称性可得光线所经过的路程为，即得结果.
【详解】
直线AB的方程为：，如图所示，
点关于x轴的对称点，
设点关于直线AB的对称点，如图，
则，且中点在直线上，
即联立解得，即，
所以根据反射原理的对称性，光线所经过的路程为：
．
故选：C.
本题考查了直线的方程、点关于直线的对称点的求法、两点之间的距离公式和光线反射的性质，考查了推理能力与计算能力，属中档题．
11．B
判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，点与是直线(为常数)上两个不同的点，
直线的斜率存在，所以，即，
且，所以，
由方程组，
可得：，即，
所以方程组有唯一的解．
故选B．
本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
12．D
根据，得到与始终垂直，即，则，由基本不等式，得到求解.
【详解】
直线：过定点，直线：过定点，
因为，
所以与始终垂直，又是两条直线的交点，
∴，
∴.
由，可得，
则，
即有，当且仅当时，上式取得等号，
∴周长的最大值为.
故选：D
本题主要考查两直线的位置关系的应用以及基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
13．
化简直线为，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
【详解】
化简直线为，
根据平行线间的距离公式，可得，
即直线与直线之间的距离为.
故答案为：.
14．
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点，根据中点坐标公式，点在直线，可得所求直线方程，即可求得答案.
【详解】
设所求直线上任一点坐标为，点关于点对称的点为
根据坐标中点公式可得：
解得：①
点在直线
②
将①代入②可得：
整理可得：.
故答案为：.
本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.
15．或48
根据两条直线平行求出b,进而通过两条平行线间的距离求出c，最后求出答案.
【详解】
∵，∴，
∴.
∴，解得或.
∴或.
故答案为：-12或48.
16．5
根据图形的对称可知A′B=A′C+BC=AC+BC最小，利用对称求出A′的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出．
【详解】
作出关于轴的对称点，然后连接，与轴交于点，易得所求距离和的最小值即为的长.根据与关于轴对称得到，根据两点间的距离公式，得.
故答案为5.
考查学生会根据对称找出最短线段的能力，灵活运用两点间的距离公式求值，会找一个点关于x轴的对称点的坐标．同时考查了学生会利用数形结合的数学思想解决实际问题．
17．（1）；（2）；（3）.
(1)求得直线AA′的方程，再求直线l与与直线AA′的交点，进而即可求出A′的坐标；
(2)取直线l上任一点(x，y)，根据题意得到关于点的对称点在直线上，进而求出直线方程；
(3)求出已知两直线的交点坐标，进而根据对称的性质，结合两点式方程即可解答.
【详解】
（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.
18．(1)
(2)
（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得的值．
（2）利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．
(1)
直线，令，，则
(2)
直线与直线平行，则，得
当时，直线，即满足条件
此时直线与之间的距离为
19．
利用平行求得过点O且与AB所在直线平行的直线l方程，然后利用平行线间距离公式求解即可.
【详解】
由题意，设平行四边形ABCD两对角线的交点为点O.
由平行四边形性质，点O到这组对边AB和CD所在直线的距离相同,
则过点O且与AB所在直线平行的直线l方程为:
即;
所以由两平行线距离公式可得直线l与CD所在直线的距离为:，
综上，直线l与CD所在直线的距离为.
20．不能，原因见解析.
分别计算出，，，从而可得，进而可得结果.
【详解】
依题意得，，，因为，所以线段，，不能围成一个三角形.
21．
设其中一个交点坐标，结合对称性可得方程，即可得解.
【详解】
设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，
代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
答案第1页，共2页
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