选择性必修第一册2.4圆的方程同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.4圆的方程同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 603.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-15 12:30:33 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4 圆的方程 同步练习
一、单选题
1．已知圆的方程为，则圆的半径为（ ）
A．3 B． C． D．4
2．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
3．在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
4．点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的半径为（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
9．圆关于对称的圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
14．已知圆心在第一象限的圆经过点，圆心在直线上，且半径为5，则此圆的标准方程为___________．
15．圆关于对称的圆的方程为________.
16．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．
17．已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
三、解答题
18．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
19．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上.
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点.
20．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
21．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径.
【详解】
将一般方程化为标准方程得，
∴ 圆的半径为：.
故选：B.
本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径.
2．D
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
3．C
根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】
由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.
4．B
根据点,在圆上且关于直线对称,可知直线经过圆心.即可求得参数的值,配成圆的标准方程即可求得半径.
【详解】
点,在圆上,且点,关于直线对称
可知直线经过圆心
圆心坐标为
代入直线方程可得
解得
所以圆的方程为
化成标准方程为
所以圆的半径为
故选:B
本题考查了直线与圆的位置关系,圆的一般方程与标准方程的转化,属于基础题.
5．D
设圆的方程为，解方程组即得解.
【详解】
设圆的方程为，
由题意得，
解得，，．
圆的方程是．
故选：D．
方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.
6．A
根据圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，将问题转化为点关于线对称问题，即可求解.
【详解】
将圆化为标准式为，可得圆心，半径为3.设关于直线对称的点为，则 解得 所以圆C关于直线对称的圆的圆心为，半径为3，所以所求圆的方程是.
故选：A
7．A
将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】
整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：A.
8．C
讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.
【详解】
①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
9．A
先求出关于直线的对称点，即对称圆的圆心，即可得出方程.
【详解】
设关于直线的对称点为，
则，解得，
故对称的圆的圆心为，半径为1，故方程为.
故选：A.
方法点睛：关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
10．A
由得出直线的斜率，进而写出直线方程.
【详解】
圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.
故选：A
11．B
圆可化为，由题意可得圆心，半径是1，又因为是圆的切线且，可得，从而得出P点的轨迹方程．
【详解】
圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．
故选：B．
本题考查圆的切线性质，圆的标准方程及圆的定义，属于基础题．
12．C
由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：由题意得，解得，
故选：C．
13．
由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程．
【详解】
解：如图所示，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
14．
由圆心在直线上，可设圆心为，因为圆经过点，半径为，结合圆心在第一象限，可求出的值，从而写出圆的方程.
【详解】
解：因为圆心在直线上，所以设圆心为，
又此圆经过点，半径为，
所以有
因为圆心在第一象限
所以.
所以圆心为.
故答案为：.
15．
先求圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，又两圆半径相等，根据圆心和半径写出圆的方程.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
又圆心关于对称的点为，则，得，
故所求圆的方程为.
故答案为：
本题考查了圆关于点的对称圆的求法，确定圆心和半径即可写出圆的方程，属于容易题.
16．
设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.
【详解】
设点，如图连接交于，
由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点的轨迹方程是
故答案为：
关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
17．
根据题意,求出直线经过定点，以及由圆的方程分析圆的圆心与半径,结合直线与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】
直线恒过点，
圆的圆心，半径为，
直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.
故答案为：.
本题考查了直线与圆的弦长问题.对于这类问题,一般有两种方法,一是联立直线和圆的方程,利用弦长公式 进行求解；另外还可利用几何的方法,求出圆心到直线的距离,求出圆的半径,根据勾股定理可求出弦长.
18．（1）；；（2）
（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.
（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.
【详解】
（1）由圆的方程为
则
所以可知圆心，半径
（2）由弦的中垂线为,则
所以可得，
故直线AB的方程为：
即
本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.
19．（1）；（2）证明见解析.
（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程；
（2）设定点坐标，，表示出圆的方程，当为变量时，，能使该等式恒成立，即且，解方程组可得定点坐标．
【详解】
（1）因为圆心在直线上，
所以设圆心的坐标为.
又因为动圆经过坐标原点，
所以动圆的半径，所以半径的最小值为.
并且此时圆的方程为：.
（2）设定点坐标，，因为圆的方程为：
所以，
即，
因为当为变量时，，却能使该等式恒成立，
所以只可能且
即解方程组可得：，或者，（舍去）
所以圆恒过一定点，.
20．（1）；（2）.
（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】
（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
21．(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【详解】
（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知圆的方程为，则圆的半径为（ ）
A．3 B． C． D．4
2．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
3．在平面直角坐标系中，已知圆：，若直线：上有且只有一个点满足：过点作圆C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，且使得四边形PMCN为正方形，则正实数m的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．7
4．点，在圆上，且点，关于直线对称，则该圆的半径为（ ）
A． B． C．1 D．
5．已知圆过，，三点，则圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
9．圆关于对称的圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．若为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．设A为圆上的动点，是圆的切线且，则P点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为___________.
14．已知圆心在第一象限的圆经过点，圆心在直线上，且半径为5，则此圆的标准方程为___________．
15．圆关于对称的圆的方程为________.
16．如图，已知圆是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是___________．
17．已知直线与圆相交于A，B两点，则线段的长为___________.
三、解答题
18．设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
19．已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上.
（1）求半径最小时的圆的方程；
（2）求证：动圆恒过一个异于点的定点.
20．直线过点且与直线垂直.
（1）求直线的方程；
（2）求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
21．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径.
【详解】
将一般方程化为标准方程得，
∴ 圆的半径为：.
故选：B.
本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径.
2．D
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
3．C
根据四边形PMCN为正方形可得，转化为圆心到直线的距离为可求得结果.
【详解】
由可知圆心，半径为，
因为四边形PMCN为正方形，且边长为圆的半径，所以，
所以直线：上有且只有一个点，使得，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或（舍）.
故选：C
关键点点睛：将题意转化为圆心到直线的距离为是解题关键.
4．B
根据点,在圆上且关于直线对称,可知直线经过圆心.即可求得参数的值,配成圆的标准方程即可求得半径.
【详解】
点,在圆上,且点,关于直线对称
可知直线经过圆心
圆心坐标为
代入直线方程可得
解得
所以圆的方程为
化成标准方程为
所以圆的半径为
故选:B
本题考查了直线与圆的位置关系,圆的一般方程与标准方程的转化,属于基础题.
5．D
设圆的方程为，解方程组即得解.
【详解】
设圆的方程为，
由题意得，
解得，，．
圆的方程是．
故选：D．
方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.
6．A
根据圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，将问题转化为点关于线对称问题，即可求解.
【详解】
将圆化为标准式为，可得圆心，半径为3.设关于直线对称的点为，则 解得 所以圆C关于直线对称的圆的圆心为，半径为3，所以所求圆的方程是.
故选：A
7．A
将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】
整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：A.
8．C
讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.
【详解】
①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．
若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．
②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，
连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，
所以．
因为∠MOK＝∠AOM，
所以△MOK∽△AOM，则，
所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
＝|BK|＝．
又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．
故选：C
9．A
先求出关于直线的对称点，即对称圆的圆心，即可得出方程.
【详解】
设关于直线的对称点为，
则，解得，
故对称的圆的圆心为，半径为1，故方程为.
故选：A.
方法点睛：关于轴对称问题：（1）点关于直线的对称点，则有；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
10．A
由得出直线的斜率，进而写出直线方程.
【详解】
圆的圆心为，则.因为，所以，故直线的方程为.
故选：A
11．B
圆可化为，由题意可得圆心，半径是1，又因为是圆的切线且，可得，从而得出P点的轨迹方程．
【详解】
圆可化为，由题意可得圆心到P点的距离为，所以点P在以为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是．
故选：B．
本题考查圆的切线性质，圆的标准方程及圆的定义，属于基础题．
12．C
由于点在圆的外部，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：由题意得，解得，
故选：C．
13．
由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程．
【详解】
解：如图所示，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.
所以圆心为，半径为.
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
14．
由圆心在直线上，可设圆心为，因为圆经过点，半径为，结合圆心在第一象限，可求出的值，从而写出圆的方程.
【详解】
解：因为圆心在直线上，所以设圆心为，
又此圆经过点，半径为，
所以有
因为圆心在第一象限
所以.
所以圆心为.
故答案为：.
15．
先求圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，又两圆半径相等，根据圆心和半径写出圆的方程.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
又圆心关于对称的点为，则，得，
故所求圆的方程为.
故答案为：
本题考查了圆关于点的对称圆的求法，确定圆心和半径即可写出圆的方程，属于容易题.
16．
设点，连接交于，可写出的坐标，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x, y的关系式，即顶点的轨迹方程.
【详解】
设点，如图连接交于，
由矩形可知为的中点，，
连接，在直角中，，则
即，整理得，
所以顶点的轨迹方程是
故答案为：
关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点，然后再利用图像的几何关系找到x, y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
17．
根据题意,求出直线经过定点，以及由圆的方程分析圆的圆心与半径,结合直线与圆的位置关系分析可得答案.
【详解】
直线恒过点，
圆的圆心，半径为，
直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段的长为.
故答案为：.
本题考查了直线与圆的弦长问题.对于这类问题,一般有两种方法,一是联立直线和圆的方程,利用弦长公式 进行求解；另外还可利用几何的方法,求出圆心到直线的距离,求出圆的半径,根据勾股定理可求出弦长.
18．（1）；；（2）
（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.
（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.
【详解】
（1）由圆的方程为
则
所以可知圆心，半径
（2）由弦的中垂线为,则
所以可得，
故直线AB的方程为：
即
本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.
19．（1）；（2）证明见解析.
（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程；
（2）设定点坐标，，表示出圆的方程，当为变量时，，能使该等式恒成立，即且，解方程组可得定点坐标．
【详解】
（1）因为圆心在直线上，
所以设圆心的坐标为.
又因为动圆经过坐标原点，
所以动圆的半径，所以半径的最小值为.
并且此时圆的方程为：.
（2）设定点坐标，，因为圆的方程为：
所以，
即，
因为当为变量时，，却能使该等式恒成立，
所以只可能且
即解方程组可得：，或者，（舍去）
所以圆恒过一定点，.
20．（1）；（2）.
（1）设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；
（2）设圆心的坐标为，根据已知条件可得出关于实数的等式，求出的值，可得出圆心坐标以及圆的半径，进而可得出所求圆的方程.
【详解】
（1）因为直线与直线垂直，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，即，
所以直线的方程为；
（2）因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
21．(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【详解】
（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
答案第1页，共2页
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