选择性必修第一册3.3抛物线同步练习（Word含答案解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3抛物线 同步练习
一、单选题
1．若抛物线上的一点到其焦点的距离为1，则点的纵坐标是（ ）
A．1 B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）．
A． B． C． D．
3．已知抛物线（是正常数）上有两点，，焦点，
甲：
乙：
丙：.
丁：以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线
5．直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，点在抛物线上，则抛物线的方程为
A． B． C． D．或
7．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
9．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
11．设为坐标原点，点，动点在抛物线上，且位于第一象限，是线段的中点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．， B． C． D．，
12．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
13．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点，且经过点，若点到该抛物线焦点的距离为，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，设A和B是C上的两点，且M是线段AB的中点，若|AB|＝6，则M到y轴的距离的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
15．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
16．已知抛物线的焦点是圆的圆心，则抛物线的准线方程是__________ ．
17．抛物线的焦点为F，过抛物线上一点P作x轴的平行线交y轴于M点，抛物线的准线交x轴于点N，四边形PMNF为平行四边形，则点P到x轴的距离为___________.（用含P的代数式表示）
18．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
三、解答题
19．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为且.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围.
20．在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，的最小值为4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若，求面积的最小值.
21．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
22．在平面直角坐标系中，动点到点的距离比到直线的距离小2．
(1)求的轨迹的方程；
(2)设动点的轨迹为曲线，过点作斜率为，的两条直线分别交于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段和的中点分别为A，B，过点作，垂足为．试问：是否存在定点，使得线段的长度为定值．若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
由题意可知：焦点坐标为，准线方程为：，由抛物线的定义可知：，即，解得：，即可求得的纵坐标．
【详解】
解：抛物线焦点在轴上，焦点坐标为，准线方程为：，
设，由抛物线的定义可知：，解得：，
故选：D．
2．A
根据抛物线的标准方程即可求解.
【详解】
由抛物线，
则其准线方程为.
故选：A
3．B
先证明必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，代入抛物线方程得：，计算、、、即可判断甲、乙、丙、丁都是必要条件，再设直线的方程为：，代入抛物线方程得：，由韦达定理验证四个结论成立时，实数的值，即可判断充分性，进而可得正确答案.
【详解】
必要性：设过抛物线：的焦点的直线为：，
代入抛物线方程得：；
由直线上两点，，
则有，
，
，
由
＝，
故：甲、乙、丙、丁都是必要条件，
充分性：设直线方程为：，则直线交轴于点，
抛物线焦点将直线的方程与抛物线方程得：，
由直线上两点，，
对于甲：
若
，
可得，直线不一定经过焦点.所以甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于乙：若，则，直线经过焦点，所以乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；
对于丙：，可得或，直线不一定经过焦点，所以丙条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
对于丁：
可得，直线不一定经过焦点.所以丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；
综上，只有乙正确，正确的结论有1个.
故选：B
结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则：
（1），；
（2）若点在第一象限，点在第四象限，则，，
弦长，（为直线的倾斜角）；
（3）；
（4）以为直径的圆与准线相切；
（5）以或为直径的圆与轴相切.
4．D
由抛物线的定义可得，圆心的轨迹为抛物线 。
【详解】
设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上.
故选：D.
本题考查了抛物线的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于基础题目.
5．A
设点、，将直线与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得出，利用平面向量的数量积结合韦达定理可求得实数的值.
【详解】
设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
6．B
首先根据题意设出抛物线的方程，利用点在曲线上的条件为点的坐标满足曲线的方程，代入求得参数的值，最后得到答案.
【详解】
根据题意设出抛物线的方程，
因为点在抛物线上，
所以有，解得，
所以抛物线的方程是：，
故选B.
该题考查的是有关抛物线的方程的求解问题，涉及到的知识点有根据抛物线所过的一个点，以及抛物线的对称轴求抛物线的方程的问题，注意开口方向不明确时抛物线方程的设法，属于简单题目.
7．A
由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积.
【详解】
抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
8．B
首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
9．A
计算抛物线方程为，设，计算，得到答案.
【详解】
由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，
则点到焦点的距离为，则，∴抛物线方程为.
设，圆：，圆心为，半径为1，
则，
当时，有最小值，故最小值为.
故选：.
本题考查了抛物线方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．B
先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.
【详解】
解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
11．A
根据点P在抛物线上设出其坐标，进而得到点M的坐标，求出OM的斜率，最后结合对勾函数的图象求得答案.
【详解】
由题意，设点的坐标为，则，设，图象如图所示：
所以，即，所以.
故选：A.
12．B
由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
13．D
首先根据已知条件求出抛物线方程，然后将点带入，求出，进而根据两点间的距离公式即可求出.
【详解】
由题意设抛物线的方程为，抛物线的准线方程为，由抛物线的性质可得，即，所以抛物线的的方程为，将点带入抛物线的方程可得，所以.
故选：D.
14．A
利用数形结合，结合抛物线的定义，建立不等关系，求得M到y轴的距离的最小值.
【详解】
解：因为C的方程为y2＝4x，所以F（1，0），
过A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为E，过B作准线的垂线，垂足为D，过M作准线的垂线，垂足为K，
根据抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝|AE|+|BD|≥|AB|＝6，
则|MK|＝（|AE|+|BD|）≥3，
所以，线段MN的中点M到C的准线x＝﹣1的距离最小值为3，
故点M到y轴的距离最小值为3﹣1＝2.
故选：A.
15．C
由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为；
当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为，
所以所求抛物线的方程为.
故选：C.
16．
由圆的一般式方程得圆的圆心为,进而得准线方程是．
【详解】
将圆的一般式方程化为标准方程得
所以圆心是,
于是抛物线的焦点是故
故其准线方程是．
故答案为: ．
17．
可设，由已知可得即计算即可得出结果.
【详解】
由題意可知，，准线方程为，，不妨设，
四边形PMNF为平行四边形，
点P到x轴的距离为.
故答案为：
18．
设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.
【详解】
如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，
而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
19．（1）；（2）.
由抛物线的定义可得，再代入可求得，可得抛物线的标准方程为.
由直线垂直的条件建立关于点A、B的坐标的方程，由根的判别式可求得范围.
【详解】
解：依题意得设，
又点是上一点，所以，得，即，
所以抛物线的标准方程为.
由题意知， 设
则，因为，所以，
所在直线方程为，联立.
因为，得，即，
因为，即，故或
经检验，当时，不满足题意.
所以点B的横坐标的取值范围是.
关键点点睛：解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围.
20．(1)；
(2)4.
（1）由题可得，即求；
（2）分类讨论，利用条件可得，然后利用韦达定理、弦长公式及面积公式可表示，即求；
(1)
当垂直于x轴时，最小，
其最小值为，∴，
∴抛物线C的标准方程为.
(2)
解法一：取，
则点M在直线上，且点O为线段的中点.
∴.
当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
，
当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为.
则点O到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
由，得点P的坐标为，
则点P到直线的距离为2，
又，所以的面积为，
当不垂直于x轴时，设其斜率为，
则直线的方程为，
设P，A，B的坐标分别为，，，
则，，
由，得，
，
即，故点P在直线上，且此直线平行于直线.
则点P到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
解法三：取，
则点M在直线上，且点O为线段的中点.
∴，
设直线的方程为，则点O到直线的距离.
联立方程，消去x整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
21．（1）；（2）.
（1）设，求得的坐标，结合，化简、整理，即可求得抛物线的方程；
（2）设，不妨设，由，求得，设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，求得，，进而求得，利用弦长公式，即可求解.
【详解】
（1）设，因为，，
则，，．
由，可得，化简得，
即动点的轨迹的方程为．
（2）设，，
由题意知，，
易知，不妨设，
因为，所以，所以． ①
设直线的方程为，
联立消去，得，则，
可得， ②
由①②联立，解得，
所以．
本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
22．(1)
(2)存在定点，使得线段的长度为定值2；理由见解析
（1）根据动点G到点的距离比它到直线的距离小2和抛物线的定义可知点G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，进而得出结果；
（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A，B的坐标，从而表示出AB的方程，说明其过定点，由可说明点D点在一个圆上，由此可得结论.
(1)
由题意可得动点到点的距离比到直线的距离小2，
则动点到点的距离与到直线的距离相等，
故G的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
设抛物线方程为 ，
则焦准距 ，故的轨迹的方程为： ；
(2)
由题意，直线MN的方程为 ，由题意可知 ，
由 ，消去y得： ，
，
设 ，则，
故 ，同理可求得，
所以直线AB的斜率，
故直线AB的方程为：
，
故直线AB过定点 ，设该点为,
又因为，所以点D在以EF为直径的圆上，
由于 , ,
故以EF为直径的圆的方程为，
故存在定点，使得线段的长度为定值2.
本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出错.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页