选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-15 12:34:20 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何
一、单选题
1．已知平面内的两个向量，且．若为平面的法向量，则的值分别为（ ）
A． B． C．1，2 D．
2．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点
7．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9．在正方体中，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（ ）
A．与异面但不互相垂直 B．与异面且互相垂直
C．与相交但不互相垂直 D．与相交且互相垂直
二、填空题
13．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，，则VA与平面PMN的位置关系是_________．
14．如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________．
15．已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM ⊥平面，则下列说法正确的是________．
①若N为中点，当AM＋MN最小时，；
②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；
③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；
④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；
⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．
16．如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是______.
三、解答题
17．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.
18．已知四边形ABCD为菱形（如图1），，，将沿BD折起到处，使得平面平面BCD（如图2），为的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)若点在BC上且满足，求二面角的平面角的正弦值.
19．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
20．如图所示，在平行六面体中，设，分别是，，的中点，试用表示以下各向量：
（1）；
（2）；
（3）.
21．在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）假设在线段上存在一点，使，，求直线与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
由空间向量线性关系的坐标运算求坐标，再根据为平面的法向量有，即可求.
【详解】
．
由为平面的法向量，得，即，解得．
故选：A
2．C
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
3．A
分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，
此时，即的最小值为，
故选：A．
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.
4．C
利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：C.
5．C
建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面平面PEF的法向量，代入即可得解.
【详解】
以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
，
设平面PEF的法向量，
则，取得，
设平面与平面所成角为，则
故选：C
本题考查线面角的求法，建立适当坐标系用空间向量法进行求解，属于基础题.
6．B
将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】
设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
7．D
由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】
解：因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：D
8．A
先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】
如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
9．B
利用空间向量的加法法则和数乘运算可得．
【详解】
．
故选：B．
10．D
求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】
依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
11．B
根据题意得到，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
因为，所以，
根据空间向量的运算法则，可得
，
又因为，，，所以.
故选：B.
12．A
根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.
【详解】
解：因为，，所以，
所以与确定一个平面，
所以，
因为，所以与异面，
因为正方形与正方形互相垂直，平面平面，
平面且，所以平面，又，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，
所以，
因为，
所以与不垂直，即与不互相垂直，
故选：A.
13．平行
利用图形，设，再结合比例关系代换出，通过运算可得，由此判断共面，从而得出结论
【详解】
如图，设，则
由题意知
因此
共面．
又VA 平面PMN，
∴VA∥平面PMN.
故答案为：平行
本题考查空间坐标系中关于线面平行的判断，属于中档题
14．
建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可.
【详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，，所以，，
因为，所以，
，
因为，所以令，代入上式得：
其中，
所以，
因此的最小值为，
故答案为：
方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法.
15．①④⑤
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；
通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；
利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定④正确．利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.
【详解】
对于①：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），
若最小，则、、三点共线，
因为，
所以，
所以，
即，故①正确；
对于②：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），
在正方体中，平面，
平面，
所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可证，
因为，
所以平面，
易知△是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设、、、，，分别是，、，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即②错误；
对于③：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，设，4，，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
且，4，，，4，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，，
则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，，故③错误；
对于④，连接、，
设平面交棱于点，0，，，4，，
所以，4，，
因为平面，平面，
所以，
即，得，
所以，0，，
即点是的中点，
同理点是的中点，
则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，0，，，，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离，为，
所以梯形的面积为，故④正确；
对于⑤，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，
棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为
故答案为：①④⑤．
解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.
16．
易证得，引入辅助角变量，设，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.
【详解】
解：因为，，
所以，
所以，
又因为为的中点，
所以，
又，所以平面，
设，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面与平面重合，
不妨设，
则，
则，
，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
因为直线与平面所成角为，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
（1）根据题意得出可证；
（2）通过证明可得；
（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.
【详解】
（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
，，，
又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；
（2）E，H分别是AB，AD的中点，
，，，
平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；
（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，
E，G分别是AB，CD的中点，
.
18．(1)
(2)
（1）证得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出异面直线成角；
（2）利用空间向量的夹角坐标公式求出二面角的余弦值，再利用同角的平方关系即可求出结果.
(1)
取的中点，连接,因为为菱形，所以,,且，故平面，又因为平面平面BCD，所以平面BCD，因此两两垂直，从而以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以,
所以，
所以直线与所成角的余弦值为
，
故直线与所成角的余弦值为.
(2)
由（1）中过程知，
设平面和平面的法向量分别为，
则，令，则，
则，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知
则，
故，
所以二面角的平面角的正弦值为.
19．（1）（2）
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则
从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
因此
本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
20．（1）；（2）；（3）.
（1）（2）根据向量加法的三角形法则表示即可；
（3）根据空间向量的线性表示，用和分别表示出和，再进行求和即可.
【详解】
解：（1）∵是的中点，
∴.
（2）∵是的中点，
∴.
（3）∵是的中点，
∴，
又，
∴.
本题考查空间向量的线性运算的应用，涉及向量的加法运算，属于基础题.
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）先证明，，可以得到平面，利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）以B为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】
（1）证明：因为平面，平面，所以.
又，，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以△为等腰直角三角形，G为斜边中点，所以.
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）以B为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则,.
设点，由，得：，即，
所以，则.
此时，.
又，，
设平面PBN的一个法向量，
由，不妨取y=-2.得：.
设线与平面所成角为，则
,
即线与平面所成角的正弦值为
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知平面内的两个向量，且．若为平面的法向量，则的值分别为（ ）
A． B． C．1，2 D．
2．已知 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
3．已知圆，圆，，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在对角线上运动.当的面积取得最小值时，点的位置是（ ）
A．线段的三等分点，且靠近点 B．线段的中点
C．线段的三等分点，且靠近点 D．线段的四等分点，且靠近点
7．已知，，若，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．8
8．如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9．在正方体中，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知空间四点，，，共面，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（ ）
A．与异面但不互相垂直 B．与异面且互相垂直
C．与相交但不互相垂直 D．与相交且互相垂直
二、填空题
13．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，，则VA与平面PMN的位置关系是_________．
14．如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________．
15．已知正方体棱长为4，M棱上的动点，AM ⊥平面，则下列说法正确的是________．
①若N为中点，当AM＋MN最小时，；
②当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大；
③直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为；
④若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为18；
⑤当点M与点C重合时，四面体内切球表面积为．
16．如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是______.
三、解答题
17．如图，在四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面；
（2）求证：平面EFGH；
（3）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有.
18．已知四边形ABCD为菱形（如图1），，，将沿BD折起到处，使得平面平面BCD（如图2），为的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)若点在BC上且满足，求二面角的平面角的正弦值.
19．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
20．如图所示，在平行六面体中，设，分别是，，的中点，试用表示以下各向量：
（1）；
（2）；
（3）.
21．在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）假设在线段上存在一点，使，，求直线与平面所成角的正弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
由空间向量线性关系的坐标运算求坐标，再根据为平面的法向量有，即可求.
【详解】
．
由为平面的法向量，得，即，解得．
故选：A
2．C
逐一判断选项中的向量是否共面，可得选项.
【详解】
对于A，有，则，，共面，不能作为基底，故A不正确；
对于B，因为，所以，，共面，不能作为基底，故B不正确；
对于D，因为，所以 ，，共面，不能作为基底，故D不正确，
对于C，设（为不同时为0的实数），解得与题意不符，所以，，不共面，可以作为基底，故C正确，
故选：C.
3．A
分析圆与圆的圆心和半径，求出与圆关于直线对称的圆，再设圆上的点与圆上点对称，分析可得原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，据此分析可得答案．
【详解】
圆，即，圆心为，半径，
圆，即，圆心为，半径，
设点关于直线对称的点为
则 ，解得：，
圆关于直线对称的圆为圆，其圆心为，半径，则其方程为，
设圆上的点与圆上点对称，则有，
原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题，
连接，与直线交于点，此时点是满足最小的点，
此时，即的最小值为，
故选：A．
关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆与圆关于直线的对称问题，解答本题的关键是求出圆直线对称的圆的方程，原问题可以转化为到圆和圆上的动点距离之和最小值问题.
4．C
利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：C.
5．C
建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面平面PEF的法向量，代入即可得解.
【详解】
以点P为原点，PA为x轴，PB为y轴，PC为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，
，
设平面PEF的法向量，
则，取得，
设平面与平面所成角为，则
故选：C
本题考查线面角的求法，建立适当坐标系用空间向量法进行求解，属于基础题.
6．B
将问题转化为动点到直线的距离最小时，确定点的位置，建立空间直角坐标系，取的中点，通过坐标运算可知，即是动点到直线的距离，再由空间两点间的距离公式求出后，利用二次函数配方可解决问题.
【详解】
设正方体的棱长为1，以 为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，的中点，
，，则，
设，，
由与共线，可得，所以，所以，其中，
因为，
，
所以，所以，即是动点到直线的距离，
由空间两点间的距离公式可得，
所以当时，取得最小值，此时为线段的中点，
由于为定值，所以当的面积取得最小值时，为线段的中点.
故选：B
本题考查了空间向量的坐标运算，考查了空间两点间的距离公式，考查了数形结合法，考查了二次函数求最值，属于基础题.
7．D
由，可得，则有，从而可求出的值，
【详解】
解：因为，所以，
因为，，
所以，解得，
故选：D
8．A
先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可.
【详解】
如图，设正方体棱长为1，，则，
以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，故，，又，则，所以．
在正方体中，可知体对角线平面，
所以是平面的一个法向量，
所以．
所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值．
所以.
故选：A．
方法点睛：
求空间中直线与平面所成角的常见方法为：
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.
9．B
利用空间向量的加法法则和数乘运算可得．
【详解】
．
故选：B．
10．D
求得、、的坐标，根据题意可知存在实数、，使得，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，进而可求得实数的值.
【详解】
依题意得，，，
、、、四点共面，、、共面，
存在实数、，使得，
即，所以，解得.
故选：D.
本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题.
11．B
根据题意得到，结合空间向量的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】
因为，所以，
根据空间向量的运算法则，可得
，
又因为，，，所以.
故选：B.
12．A
根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.
【详解】
解：因为，，所以，
所以与确定一个平面，
所以，
因为，所以与异面，
因为正方形与正方形互相垂直，平面平面，
平面且，所以平面，又，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，，，，
所以，
因为，
所以与不垂直，即与不互相垂直，
故选：A.
13．平行
利用图形，设，再结合比例关系代换出，通过运算可得，由此判断共面，从而得出结论
【详解】
如图，设，则
由题意知
因此
共面．
又VA 平面PMN，
∴VA∥平面PMN.
故答案为：平行
本题考查空间坐标系中关于线面平行的判断，属于中档题
14．
建立空间直角坐标系，根据空间向量互相垂直的性质，结合空间两点间距离公式、三角换元、辅助角公式进行求解即可.
【详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，，，所以，，
因为，所以，
，
因为，所以令，代入上式得：
其中，
所以，
因此的最小值为，
故答案为：
方法点睛：对于正方体中关于线段长度最值问题可以利用解析法.
15．①④⑤
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项①正确；
通过两个截面的面积不相等且周长相等判定②错误；
建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定③错误；
利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定④正确．利用正四面体内切球半径为其正四面体高的，可得内切球的表面积.
【详解】
对于①：将矩形与正方形展开成一个平面（如图所示），
若最小，则、、三点共线，
因为，
所以，
所以，
即，故①正确；
对于②：当点与点重合时，连接、、、、，（如图所示），
在正方体中，平面，
平面，
所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，
所以，
同理可证，
因为，
所以平面，
易知△是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设、、、，，分别是，、，，，的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，面积为，
则△的面积小于正六边形的面积，它们的周长相等，即②错误；
对于③：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，4，，设，4，，
因为平面，
所以是平面的一个法向量，
且，4，，，4，，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，，
则直线与平面所成角的余弦值的取值范围为，，故③错误；
对于④，连接、，
设平面交棱于点，0，，，4，，
所以，4，，
因为平面，平面，
所以，
即，得，
所以，0，，
即点是的中点，
同理点是的中点，
则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，0，，，，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离，为，
所以梯形的面积为，故④正确；
对于⑤，当点M与点C重合时，四面体即为为正四面体，
棱长，由正四面体的性质可得，其内切球半径，
所以表面积为
故答案为：①④⑤．
解决本题的关键在于熟悉正方体的常见截面形状，及正四面体的内切外接球的性质特征，涉及动直线与平面的夹角问题一般用空间向量法.
16．
易证得，引入辅助角变量，设，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求得线面角的正弦值，从而可判断所求角的范围.
【详解】
解：因为，，
所以，
所以，
又因为为的中点，
所以，
又，所以平面，
设，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则平面与平面重合，
不妨设，
则，
则，
，
则，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
因为直线与平面所成角为，，
所以
，
因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
（1）根据题意得出可证；
（2）通过证明可得；
（3）可得四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，即可证明.
【详解】
（1）E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
，，，
又E，F，G，H四点不共线，故E，F，G，H四点共面；
（2）E，H分别是AB，AD的中点，
，，，
平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；
（3）由（1）知四边形EFGH为平行四边形，为EG中点，
E，G分别是AB，CD的中点，
.
18．(1)
(2)
（1）证得两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出异面直线成角；
（2）利用空间向量的夹角坐标公式求出二面角的余弦值，再利用同角的平方关系即可求出结果.
(1)
取的中点，连接,因为为菱形，所以,,且，故平面，又因为平面平面BCD，所以平面BCD，因此两两垂直，从而以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以,
所以，
所以直线与所成角的余弦值为
，
故直线与所成角的余弦值为.
(2)
由（1）中过程知，
设平面和平面的法向量分别为，
则，令，则，
则，令，则，
设二面角的平面角为，由图可知
则，
故，
所以二面角的平面角的正弦值为.
19．（1）（2）
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则
从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
因此
本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
20．（1）；（2）；（3）.
（1）（2）根据向量加法的三角形法则表示即可；
（3）根据空间向量的线性表示，用和分别表示出和，再进行求和即可.
【详解】
解：（1）∵是的中点，
∴.
（2）∵是的中点，
∴.
（3）∵是的中点，
∴，
又，
∴.
本题考查空间向量的线性运算的应用，涉及向量的加法运算，属于基础题.
21．（1）证明见解析；（2）.
（1）先证明，，可以得到平面，利用面面垂直的判定定理即可证明平面平面；
（2）以B为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】
（1）证明：因为平面，平面，所以.
又，，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以△为等腰直角三角形，G为斜边中点，所以.
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）以B为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，
则,.
设点，由，得：，即，
所以，则.
此时，.
又，，
设平面PBN的一个法向量，
由，不妨取y=-2.得：.
设线与平面所成角为，则
,
即线与平面所成角的正弦值为
答案第1页，共2页
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