高一数学第17周周测题（含解析）

2020-2021学年度高一数学第17周周末测试
一、单选题
1．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率．先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4，5表示击中目标，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，所以每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了以下20组随机数：169 966 151 525 271 937 592 408 569 683
471 257 333 027 554 488 730 863 537 039据此估计的值为（ ）
A．0.6 B．0.65 C．0.7 D．0.75
2．甲、乙、丙和丁四个人站成一排，下列事件互斥的是（ ）
A．“甲站排头”与“乙站排尾” B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲站排头”与“乙站排头” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”
3．下列命题正确的是（ ）
A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面
C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面
4．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5． “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位某小区居民，他们的幸福感指数分别为6，7，7，8，9，8，则这组数据的第80百分位数是（ ）A．7 B．8 C．8.5 D．9
6．如图①所示，在平面四边形中，，，，．现将沿折起，并连接，如图②，只当三棱锥的体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A． B．C． D．
7．已知是面积为的等边三角形，其顶点均在球的表面上，当点在球的表面上运动时，三棱锥的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）A． B． C． D．
8．在区域病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的指标的预报簇为（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
二、多选题
9．某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况（该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾、可回收物、其他垃圾为主），随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据（单位：千克）统计如下：
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾的投放质量 400 200 100
可回收物的投放质量 30 140 30
其他垃圾的投放质量 20 20 60
根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（ ）A．“厨余垃圾”投放正确的概率约为
B．“可回收物”投放错误的概率约为
C．该小区这三类垃圾中，“厨余垃圾”投放正确的概率最低
D．该小区这三类垃圾中，“其他垃圾”投放错误的概率最高
10．已知圆锥的顶点为，底面半径为，高为1，，是底面圆周上两个动点，下列说法正确的是（ ）A．圆锥的侧面积是 B．与底面所成的角是
C．面积的最大值是 D．该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为
11．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则下列结论正确的为（ ）
A．两人都中靶的概率为0.72 B．恰好有一人中靶的概率为0.18
C．两人都脱靶的概率为0.14 D．恰好有一人脱靶的概率为0.26
12．给出以下26个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 159.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项正确的为（ ）
A．众数为163.0 B．第25百分位数为155.0
C．中位数为160.0 D．80%位数为164.0
三、填空题
13．圆台上、下底面半径分别为1和2，母线长2，为则该圆台的体积为________．
14．甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为______．
15．在中，，，，若将绕边所在的直线旋转一周，则所形成的面围成的旋转体的体积是______．
16．一个三位数，百位、十位、个位上的数字依次记为，，(，，互不相同)，当且仅当，，中有两个数字的和等于剩下一个数字时，称这个三位数为“等和数”(如358等).现从1，2，3，4这四个数字中任取三个组成无重复数字的三位数，则这个三位数为“等和数”的概率为__________.
四、解答题
17．如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，分别为，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面．
18．一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数表示为个正整数的和，叫做正整数的拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数的无序拆分.例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}．
（1）写出9的所有无序2拆分；
（2）从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率.
19．2021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某学校为学生组织了系列学党史活动．为了解学生的学习情况，从全校学生中随机抽取了1名同学进行党史知识测试，满分100分，并将这名同学的测试成绩按，，，，分成5组，绘制成了如图所示的频率分布直方图．已知测试成绩在的学生为70人．
（1）求的值及频率分布直方图中值；
（2）为奖励优胜者，学校将对本次测试成绩排在前40%的学生发放奖品，若某学生获得了奖品，请估算一下该学生的成绩至少达到多少分；
（3）学校组织党史知识测试设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若学生的平均成绩不低于80分，只需发放下一步学习资料，否则要举办党史知识大讲堂加强学习．请根据所学的统计知识，估计该校是否需要举办党史知识大讲堂，并说明理由．（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
20．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
（1）求二面角的大小；
（2）求三棱锥的体积；
21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点，为边上的一个点．
（1）求证：平面平面；
（2）记平面平面，求直线与直线所成的角；
22．某消费者协会在3月15号举行了以“携手共治，畅享消费”为主题的大型宣传咨询服务活动，着力提升消费者维权意识，组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按年龄将这120名群众分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）若电视台记者要从抽取的群众中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第4组的概率；
（2）估算这120名群众的年龄的中位数（写出计算过程，结果精确到1）；
（3）已知第1组群众中男性有2人，组织方要从第1组中随机抽取3名群众组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
由20组随机数中找出至少2次击中目标的包含的随机数的组数，即可求概率的值.
【详解】
20组随机数中至少2次击中目标的包含的随机数为：
151 525 271 592 408 471 257 333 027 554 730 537 039
一个有组，
所以其3次射击至少2次击中目标的概率，
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义判断．
【详解】
甲站排头与乙站排尾可以同时发生，不互斥，4人站队，甲站排头与乙不站排尾可以同时发生，不互斥，甲站排头与乙站排头不可能同时发生，4人站队，甲不站排头与乙不站排尾可以同时发生，因此只有C是互斥事件，
故选：C．
3．C
【解析】
【分析】
根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.
对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.
对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.
对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
利用，将异面直线与所成角转化为相交直线与所成角，即可求解.
【详解】
如图，连结，，，是异面直线与所成角，设棱长为，，，
所以,
即
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
把指数数据按从小到大顺序排列，计算，然后对照排列数据可得．
【详解】
已知幸福感指数按从小到大顺序排列为，，这组数据的第80百分位数是8．
故选：B．
6．C
【解析】
【分析】
沿边折起，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大，然后求出外接球的半径，即可求解外接球的体积．
【详解】
解：由题意，当平面平面时，三棱锥的高最大，此时体积最大，
，，
的高为，的投影在的中点，
平面平面，
三棱锥的高为，，，，
又，，
平面外接圆半径，
设球心到圆心的距离为，
可得，①
，②
联立①②解得．
外接球的体积．
故选：．
7．A
【解析】
【分析】
作出图形，结合图形知，当点P与球心O以及△ABC外接圆圆心M三点共线且P与△ABC外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥的高h，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用,求出球O的半径R，最后利用球体的表面积公式可求出答案．
【详解】
如图所示，
设点M为外接圆的圆心，当点三点共线时，且分别位于点的异侧时，三棱锥的体积取得最大值.
因为的面积为，所以边长为3，
由于三棱锥的体积的最大值为，得，
易知SM⊥平面ABC，则三棱锥为正三棱锥，
的外接圆直径为，所以,
设球O的半径为R，则,
解得,
所以球的表面积为.
故选：A
8．C
【解析】
【分析】
通过举反例说明命题不符合题意，或通过根据平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项即可.
【详解】
①错，举反倒：0，0，0, 0，2， 6，6；其平均数，不符合题意;
②错，举反倒：；其平均数且,不符合题意;
③对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人，即x≥6,
则极差大于故假设不成立，故一定符合上述指标；
④对，若7天中某一天新增感染人数x超过5人,即x≥6, 则极差不小于,与极差小于或等于4相矛盾,故假设不成立,故一定符合上述指标.
故选：C
9．AC
【解析】
【分析】
通过表格数据计算相应的频率，并进行大小比较．
【详解】
解：选项，“厨余垃圾”共有，其中投放正确，概率为，所以选项说法正确；
选项，“可回收物”共有，其中投放错误，概率为，所以选项说法错误；
选项，“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放正确的概率依次为，最小，所以选项说法正确；
选项，“厨余垃圾”、“可回收物”、“其他垃圾”投放错误的概率依次为，最大，所以选项说法错误．
故选：．
10．ABD
【解析】
【分析】
根据圆锥的性质，计算基本量，判断AB选项，根据的面积公式，计算顶角的取值范围，计算面积的最值，利用圆锥和内接圆柱的轴截面，计算侧面积的最大值.
【详解】
圆锥的母线，则圆锥的侧面积，故A正确；
设与底面所成的角是，，即，故B正确；
轴截面的顶角是，当顶角等于时，面积的最大值是，故C错误；
下图是圆锥和圆柱的截面图，设圆柱底面半径，则高是，则圆锥内接圆柱的侧面积，当时，侧面积取得最大值，故D正确.
故选：ABD
11．AD
【解析】
【分析】
由积事件的概率判断A，由和事件及互斥事件的概率判断B；由对立事件的概率判断C，由互斥事件的和判断D.
【详解】
记“甲中靶”，“乙中靶”，“甲不中靶”，“乙不中靶”，则两两独立.
因为，，所以，.
对于选项A：“两人都中靶”，，故A正确；
对于选项B：“恰好有一人中靶”，，故B不正确；
对于选项C：“两人不都中靶”与“两人都中靶”是对立事件，由选项A可知，“两人不都中靶”的概率是，故C错误；
对于选项D：“恰好有一人脱靶”，由B知，概率为0.26，故D正确.
故选：AD
12．ACD
【解析】
【分析】
将数据从小到大排列，根据众数，中位数，25，80百分位数的定义，确定所求数据，即可求解.
【详解】
把26个样本数据按从小到大排序，可得
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0
158.0 158.0 159.0 159.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0
163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0
可知众数为163.0，中位数为
由，，
可知样本数据的第25， 80百分位数为第7， 21项数据，分别为155.5， 164.0.
故ACD正确，B不正确.
故选：ACD
13．
【解析】
【分析】
由圆台的特征知：若补全为锥体则圆台体积为大锥体的体积减去小椎体的体积，画出其轴截面示意图，结合已知条件求出两个锥体的高，利用圆锥的体积公式及即可求圆台的体积.
【详解】
圆台轴截面，而面为补全该圆台为锥体的轴截面，如下图所示，
∴圆台体积为大锥体的体积减去小椎体的体积，
∵，，，即可得，
∴，
∴.
故答案为：
14．
【解析】
【分析】
根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式可得密码没有被破译的概率，进而由对立事件的概率性质分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
根据题意结合图形旋转体的体积可以看作以为底面半径，分别以为母线的圆锥体积之差.
【详解】
依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
所以，，
所以旋转体的体积:
故答案为：．
16．##0.5
【解析】
【分析】
求出从1，2，3，4中任取三个组成无重复数字的三位数试验的基本事件总数，再求出“等和数”的个数，利用古典概率公式计算作答.
【详解】
从1，2，3，4中任取三个组成无重复数字的三位数试验有：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，
241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，共24个基本事件，它们等可能，
三位数为“等和数”的事件A有：123，132，134，143，213，231，312，314，321，341，413，431，共有12个基本事件，
所以三位数为“等和数”的概率.
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由底面为菱形，得，由四棱柱为直四棱柱，得平面，，从而平面，由此能证明平面平面．
（2）设交于点，连接，，推导出为中点，从而，，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
【详解】
（1）因为底面为菱形，所以．
因为四棱柱为直四棱柱，所以平面．
因为平面，
所以．
因为，平面．
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
（2）设交于点，连接，．
因为底面为菱形，
所以为中点．
因为为中点，
所以，．
又因为为的中点，，，
所以，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
18．（1）{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用列举法能求出9的所有无序2拆分．
（2）求出9的所有无序3拆分共7个．用表示“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”，求出中含有3个样本点，由此能求出“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率．
【详解】
（1）9的所有无序2拆分为：{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}，共4个.
（2）9的所有无序3拆分为：
{1，1，7}，{1，2，6），{1，3，5}，{1，4，4}，{2，2，5}，{2，3，4}，{3，3，3}，共7个.
把每个“9的无序3拆分”看作一个样本点，用表示“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”，则中含有{1，4，4}，{2，3，4}和{3，3，3}，共3个样本点．
由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，所以“所取拆分中的3个数可以作为的三边长”的概率．
19．（1）200，；（2）86分；（3）按照学校的预案，只需要发放学习资料即可，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）频数除以频率等于样本容量求出，利用频率和为1列方程计算的值；
（2）转化为求第60百分位数；
（3）估计平均数，并与80进行比较．
【详解】
（1）由已知条件可得，
由频率和为1得，
解得．
（2）因为，所以问题转化为估计样本数据的第60百分位数，
因为，
，
所以第60百分位数在区间内，
设该生得分最低为，则，
解得，所以估计该生的得分至少达到86分.
（3）由频率分布直方图可得
，
因为，
所以按照学校的预案，只需要发放学习资料即可.
20．（1）；（2）；
【解析】
【分析】
根据二面角的定义，过点分别作，，则为二面角的平面角，即可求解；（2）利用等体积转化，再求解点到平面的距离，即可求解体积；
【详解】
（1）过点分别作，，分别交，于，，连接，
则为二面角的平面角，
因为四边形为正方形，，
所以，，
由已知得，
所以．
（2）过点作，垂足为．
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，，
所以．
因为，
所以平面．
因为平面，
所以．
因为，，平面，
所以平面，
所以为三棱锥的高，．
因为，
所以．
21．（1）证明见解析；（2）；
【解析】
【分析】
（1）证明平面后可证得面面垂直；
（2）由线面平行判定定理和性质定理证得，即为与的夹角，易得；
【详解】
（1）证明：菱形中，则是等边三角形，是中点，所以，而，所以，
平面，平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）平面平面，显然，
，平面，平面，所以平面，
平面平面，平面，所以，
所以与所成的角就是（或其补角），而等边三角形中，
所以与所成的角是；
22．（1）；（2）43；（3）．
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求出，然后把两组概率（频率即概率）相加可得；
（2）求出概率对应的值即为中位数；
（3）求出第一组中总人数，得女性人数，然后求得至少有两名女生的方法数和总的方法数后可得概率．
【详解】
（1）由频率分布直方图，，，
所以被采访人恰好在第2组或第4组的概率是．
（2）前2组频率和为，前3组频率和为，
所以中位数在第3组，设中位数为，则，；
（3）第一组总人数为，男性人2人，则女性有4人，
从中任取3人的方法数为，至少有两名女性的方法数是，概率为．
答案第1页，共2页
答案第15页，共15页