沪科版数学七年级上册同步课时练习：3.2　第1课时　等积变形与行程问题(word版含答案)

3.2　第1课时　等积变形与行程问题
知识点 1　等积变形问题
1.根据图给出的信息,可得正确的方程是 (　　)
A.π·2x=π·2·(x+5) B.π·2x=π·2·(x-5)
C.π·82x=π·62·(x-5) D.π·82x=π·62×5
2.一个密封的瓶子里装着一些水(如图示),已知瓶子的底面积为10 cm2,根据图中标明的数据,计算可得瓶子的容积为 (　　)
A.80 cm3 B.70 cm3
C.60 cm3 D.50 cm3
3.[教材例1变式] 将一个长、宽、高分别为20 cm,10 cm,8 cm的长方体水槽装满水,然后将水全部倒入内部底面积为25 cm2的圆柱体容器中,则圆柱体容器中水的高度是　　　　cm.
知识点 2　行程问题——相遇
4.A,B两地相距240千米,甲、乙二人分别从A,B两地同时出发相向而行,2小时后相遇.已知乙每小时比甲多行驶10千米,设甲每小时行驶x千米,则乙每小时行驶　　　　　千米,甲2小时行驶　　　　千米,乙2小时行驶　　　　　千米.根据题意,可列方程:　　　　　　　　　.
5.甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出,已知甲车的速度是60千米/时,乙车的速度是40千米/时.若甲车先开出1小时,则乙车开出多长时间后两车相遇
知识点 3　行程问题——追及
6.A,B两地相距4 km,甲、乙二人分别从A,B两地同时出发,同向而行,开始时乙在前、甲在后,已知甲每小时行驶5 km,甲2 h追上乙,设乙每小时行驶x km,根据图的线段示意图可列方程:　　　　　　　　.
7.已知A,B两地相距48千米,甲骑自行车每小时走18千米,乙步行每小时走6千米,甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,同向而行,开始时乙在前,经过多少小时甲追上乙
8.如图示,在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,容器内部底面积分别为80 cm2,100 cm2,且甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲容器中的水全部倒入乙容器中,则乙容器中的水位高度比原来甲容器中的水位高度低了8 cm,则甲容器的容积为 (　　)
A.1280 cm3 B.2560 cm3
C.3200 cm3 D.4000 cm3
9.小明骑自行车到学校上学,若每小时骑15千米,则早到10分钟,若每小时骑13千米,则迟到5分钟,设他家到学校的路程为x千米,下列方程正确的是 (　　)
A.+=- B.+10=-5
C.+=+ D.-=-
10.[2019·芜湖二模] 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地.请你求出此人第六天走的路程.
11.在一条直的河流中有甲、乙两条船,现同时由A地顺流而下.乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务,甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都为7.5 km/h,水流速度为2.5 km/h,A,C两地间的距离为10 km.如果乙船由A地经B地到达C地共用了4 h,那么乙船从B地到达C地时,甲船离B地多远
12.一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面的半径为10 cm,容器内水的高度为12 cm,把一根半径为2 cm 的玻璃棒垂直插入水中后,则容器内的水将升高多少厘米
13.某中学租用两辆小汽车(速度相同)同时送1名带队老师及7名七年级学生去参加数学竞赛,每辆车限坐4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距离考场15 km的地方出现故障,此时离截止进考场的时间还有42 min,这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,且这辆车的平均速度是60 km/h,人步行的速度是5 km/h(上、下车时间忽略不计).
(1)若另一辆小汽车先送4人到达考场,然后再回到出故障处接其他人,请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场;
(2)假如你是带队老师,请你设计一种方案,使他们能在截止进考场的时间前到达考场,并通过计算说明方案的可行性.
答案
1.A　 大量筒中的水的体积为π·2x cm3,小量筒中的水的体积为π·2(x+5)cm3,根据等量关系列方程,得π·2x=π·2(x+5).
2.C　 根据瓶子及瓶子内水的容量固定可得到,瓶子的容积-题图②中除水外空余的容积=题图①中水的容积,列式即可得解.
解题过程:设瓶子的容积为V cm3,则V-10×2=10×4,
解得V=60.即瓶子的容积为60 cm3.
故选C.
3.64
4.(x+10)　2x　2(x+10)　2x+2(x+10)=240
5.解:设乙车开出x小时后两车相遇.
根据题意,得60(x+1)+40x=360,
解得x=3.
答:乙车开出3小时后两车相遇.
6.2×5-2x=4
7.解:设经过x小时甲追上乙.
根据题意,
得18x-6x=48,
解得x=4.
答:经过4小时甲追上乙.
8.C　 设甲容器中水的高度为x cm,则乙容器中水的高度为(x-8)cm.根据题意,得80x=100(x-8),解得x=40.所以甲容器的容积是80×40=3200(cm3).
9.A　 小明家到学校的路程为x千米,根据时间=路程÷速度,结合“若每小时骑15千米,则早到10分钟,若每小时骑13千米,则迟到5分钟”,即可得出关于x的一元一次方程+=-.
10.解:设此人第六天走的路程为x里,则第五天走的路程为2x里,依此往前推,第一天走的路程为32x里.
根据题意,得x+2x+4x+8x+16x+32x=378,　
解得x=6.
答:此人第六天走的路程为6里.
11.解:设乙船由B地到C地用了x h,则甲船离开B地的距离为(7.5+2.5)x km.
(1)当C地在A,B两地之间时,根据题意,得(7.5+2.5)×(.5-2.5)x=10,
解得x=2.
所以(7.5+2.5)x=10×2=20(km);
(2)当C地不在A,B两地之间时,
根据题意,得(7.5-2.5)(7.5+2.5)=10,
解得x=,
所以(7.5+2.5)x=10×=(km).
答:乙船从B地到达C地时,甲船离B地20 km或 km.
12.解:设容器内的水将升高x cm.
根据题意,得π×102×12+π×22(12+x)=π×102(12+x),
解得x=0.5.
答:容器内的水将升高0.5 cm.
13.解:(1)所需要的时间是
×3=(h)=45 min.
因为45 min>42 min,
所以他们不能在截止进考场的时间前到达考场.
(2)答案不唯一,如方案:让另一辆小汽车先送4名学生走,同时其他4名师生步行前往,小汽车到达考场之后立刻返回途中接送其他人.
先将4人用车送到考场所需的时间为=0.25(h)=15(min).
而这0.25 h其他4人步行了5×0.25=1.25(km),此时他们与考场的距离为15-1.25=13.75(km).
设车送4人到达考场之后立刻返回,再经过x h后碰到另外步行的4人.根据题意,得
60x+5x=13.75,
解得x=.
汽车由相遇点再去考场所需时间也是 h.
所以用这一方案送这8人到考场共需15+×60×2≈40.4(min).
因为40.4<42,
所以他们能在截止进考场的时间前到达考场.