22.2二次函数与一元二次方程 教案
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22.2二次函数与一元二次方程 教案
课题 22.2二次函数与一元二次方程 单元 第22单元 学科 数学 年级 九年级（上）
学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.4.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点 观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况.
难点 理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题复习回顾：1.一元二次方程的根的判别式 △=b2-4ac△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根△=b2-4ac<0，方程无实数根2.二次函数y=x2-4x与x轴的交点是(0,0)(4,0)x2-4x=0的解是多少？环节一：推导公式问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？分析 由于小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：(1)解方程 15=20t-5t2 t2-4t+3=0 t1=1，t2=3.当球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.结合图形，说一说为什么在两个时间下球的高度为 15 m？纵坐标为15的点有两个，分别对应两个点的横坐标.(2)解方程： 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1=t2=2.当球飞行2 s时，它的高度为20 m.结合图形，说一说为什么只在一个时间小球的高度为20 m？图象中只有一个最高点，对应地自变量只有一个值.(3)解方程： 20.5=20t-5t2 t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4 ×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5 m.(4)小球飞出时和落地时的高度都为0 m.解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0，t2=4.当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．例如，已知二次函数 y=-x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作是解一元二次方程 -x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量 x 的值．思考 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) y=x2-x+1； (2) y=x2-6x+9； (3) y=x2+x-2.图象如图所示：可以看出：（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值为0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.（2）抛物线y = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，它们的横坐标是3. 当x=3时，函数值为0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根是3.（3）抛物线y = x2－x＋1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系（即与 x 轴交点个数及交点坐标）. 思考自议自主探究，合作交流，同构具体问题理解二次函数图象与一元二次方程的联系. 利用图象求出方程的根，体会知识间的联系，形成知识网络.
讲授新课 提炼概念 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0没有交点 没有实数根 b2-4ac<0三、典例精讲例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).分析 1.画出图象，利用函数图象与方程的关系进行分析；2.结果保留小数点后一位即精确到0.1.解：画出y=x2-2x-2的图象它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈ -0.7，x2≈2.7.你还有其他方法吗？我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）.因为抛物线是一条连续的曲线，所以在2课堂检测 四、巩固训练1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 ( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定A2.若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ）A.x轴上方 B.第一、二、三象限C.x轴下方 D.第二、三、四象限A3.根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( ) A.3＜x＜3.23 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26C4.函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根C 5. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m= ，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有 个交点.1,16.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；(2) x取什么值时，函数值大于0；(3) x取什么值时，函数值小于0.解：图象如图所示.(1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.(3) -1课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有两个交点有两个不相等的实数根b2-4ac>0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac<0
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y = x2－6x＋9
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课题 22.2二次函数与一元二次方程 单元 第22单元 学科 数学 年级 九年级（上）
学习目标 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.4.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
重点 观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况.
难点 理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题复习回顾：1.一元二次方程的根的判别式 △=b2-4ac△=b2-4ac>0，方程有两个不等的实数根△=b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根△=b2-4ac<0，方程无实数根2.二次函数y=x2-4x与x轴的交点是(0,0)(4,0)x2-4x=0的解是多少？环节一：推导公式问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2，考虑以下问题： (1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？分析 由于小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：(1)解方程 15=20t-5t2 t2-4t+3=0 t1=1，t2=3.当球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.结合图形，说一说为什么在两个时间下球的高度为 15 m？纵坐标为15的点有两个，分别对应两个点的横坐标.(2)解方程： 20=20t-5t2 t2-4t+4=0 t1=t2=2.当球飞行2 s时，它的高度为20 m.结合图形，说一说为什么只在一个时间小球的高度为20 m？图象中只有一个最高点，对应地自变量只有一个值.(3)解方程： 20.5=20t-5t2 t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4 ×4.1<0，所以方程无实数根.即球的飞行高度达不到20.5 m.(4)小球飞出时和落地时的高度都为0 m.解方程 0=20t-5t2 t2-4t=0 t1=0，t2=4.当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切．例如，已知二次函数 y=-x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作是解一元二次方程 -x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量 x 的值．思考 下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) y=x2-x+1； (2) y=x2-6x+9； (3) y=x2+x-2.图象如图所示：可以看出：（1）抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值为0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.（2）抛物线y = x2－6x＋9与x轴有一个公共点，它们的横坐标是3. 当x=3时，函数值为0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根是3.（3）抛物线y = x2－x＋1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与 x 轴的位置关系（即与 x 轴交点个数及交点坐标）. 思考自议自主探究，合作交流，同构具体问题理解二次函数图象与一元二次方程的联系. 利用图象求出方程的根，体会知识间的联系，形成知识网络.
讲授新课 提炼概念 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0没有交点 没有实数根 b2-4ac<0三、典例精讲例1 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).分析 1.画出图象，利用函数图象与方程的关系进行分析；2.结果保留小数点后一位即精确到0.1.解：画出y=x2-2x-2的图象它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈ -0.7，x2≈2.7.你还有其他方法吗？我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）.因为抛物线是一条连续的曲线，所以在2
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