22.2二次函数与一元二次方程 课件（共31张PPT）

(共31张PPT)
22.2二次函数与一元二次方程
人教版九年级上册
教学目标
教学目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
2.通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一 元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
教学重点: 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系.
教学难点：2.能运用二次函数的图象与性质确定方程的解.
新知导入
情境引入
一元二次方程根的判别式：
式子b -4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
合作学习
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标是什么？
思考：
二次函数y=x2-4x与x轴的交点是 .
(0,0) (4,0)
求二次函数y＝x2-4x与x轴的交点坐标？
就是解一元二次方程x2-4x=0
就是二次函数y＝x2-4x的函数值为0，求x的值
解一元二次方程x2-4x=0
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
O
h
t
15
1
3
当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.
解：解方程
15=20t-5t2
t2-4t+3=0
t1=1，t2=3.
结合图形，说一说为什么在两个时间小球的高度为 15 m？
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
(2)小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
解方程：
20=20t-5t2
t2-4t+4=0
t1=t2=2.
当小球飞行2s时，它的高度为20 m.
结合图形，说一说为什么只在一个时间小球的高度为20m？
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？
O
h
t
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2
t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根.
即球的飞行高度达不到20.5 m.
结合图形，说明原因？
(4)小球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
解方程
0=20t-5t2
t2-4t=0
t1=0，t2=4.
当小球飞行0 s和4 s时，它的高度为0 m.这表明小球从飞出到
到落地要用4 s，即0 s时小球从地面飞出，4 s时小球落回地面.
小球飞出时和落地时的高度都为0 m.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
为一个常数
（定值）
所以二次函数与一元二次方程联系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
思考
下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
提炼概念
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
★二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次
方程ax2+bx+c=0根的关系
典例精讲
x
y
O
　－2
2
2
4
6
4
－4
8
－2
－4
y = x2－2x－2
解：画出函数y=x2-2x-2的图象(如右图所示)，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈-0.7，x2≈2.7.
利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
例
我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.
观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴上方）.因为抛物线是一条连续的曲线，所以在2我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2、3的平均数2.5，用计算器算出对应地函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 取2.5、3的平均数2.75，用计算器算出对应地函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间.
重复上述步骤，得出：在这个根在2.625、2.75之间，要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值不小于0.1，由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将2.6875作为根的近似值.
用同样的方法估计方程的另外一个根的近似值.
这种求根的近似值的方法也适合用于更高次的一元方程.
归纳概念
小结：
利用二次函数的图象求一元二次方程根的解题步骤：
1.画：在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.找：在图象中找出抛物线与 x 轴的公共点（交点）的个数及坐标；
3.定：根据公共点（交点）的横坐标确定对应一元二次方程的根.
课堂练习
1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
2.若一元二次方程 无实根，则抛物线 图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限
C.x轴下方 D.第二、三、四象限
A
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a、b、c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
3.根据下列表格的对应值:
4.函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
C
5. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两个相等的实数根，则m=＿＿＿，此时抛物线 y=x2－2x+m与x轴有 个交点.
1
1
6.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答:
(1)方程x2-2x-3=0的解是多少；
(2) x取什么值时，函数值大于0；
(3) x取什么值时，函数值小于0.
解：图象如图所示.
(1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3.
(2) x>3或x<-1时，函数值大于0.
(3) -17. （1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象；
（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；
（3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）
解：（1）如下图，
y=x2-2x=（x-1）2-1，
作出顶点，作出与x轴的交点，连线平滑．
（2）正确作出点M，N；
（3）写出方程的根为-0.4，2.4．
课堂总结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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