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必考点01 简单几何体的表面积与体积
题型一 空间几何体的结构特征
例题1下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的轴垂直于底面 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．球面上不同的三点可能在一条直线上 D．棱台的侧面是等腰梯形
【答案】A
【解析】对于A，由圆锥的结构特征可知：圆锥的轴垂直于底面，A正确；
对于B，六棱柱的两个相对侧面也是互相平行的面，B错误；
对于C，球面上不同三点可构造出一个球的截面圆，可知三点不共线，C错误；
对于D，棱台的侧棱长可以不相等，则侧面不是等腰梯形，D错误.故选：A.
例题2 下列叙述中，正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；
③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球，故④正确．故选：B.
【解题技巧提炼】
辨别空间几何体的2种方法
定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定
反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可
题型二 空间几何体的表面积
例题1在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．(5＋)π B．(4＋)π
C．(5＋2)π D.(3＋)π
【答案】A
【解析】∵在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，∴该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.故选A.
例题2如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D.8＋4
【答案】A
【解析】连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.
【解题技巧提炼】
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
题型三 空间几何体的体积
例题1已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D BB1C1的体积为________．
[【答案】
[【解析】如图，取BC中点O，连接AO.∵正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，∴AC＝2，OC＝1，则AO＝.
∵AA1∥平面BCC1B1，∴点D到平面BCC1B1的距离为.
又S＝×2×2＝2，∴V＝×2×＝.
例题2（1）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体【答案】(1)118.8 (2)的体积为________．
【解析】(1)由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
(2)如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，BF，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，则△BHC中BC边的高h＝.∴S△AGD＝S△BHC＝××1＝，∴V多面体＝VE ADG＋VF BHC＋VAGD BHC＝2VE ADG＋VAGD BHC＝×××2＋×1＝.
[
例题3如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】知三棱锥B1 ABC1的体积等于三棱锥A B1BC1的体积，又三棱锥A B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
【解题技巧提炼】
求空间几何体的体积的常用方法
公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积
题型四 与球有关的切、接问题
例题4已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D.π
【答案】D
【解析】法一：∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB.
∵∠CEF＝90°，∴EF⊥EC，∴PB⊥EC，
又∵三棱锥P ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，从而PB⊥平面PAC，∴三条侧棱PA，PB，PC两两垂直．
∵△ABC是边长为2的正三角形，∴PA＝PB＝PC＝，
则球O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R，
则2R＝×，R＝，∴球O的体积V＝πR3＝π.故选D.
法二：令PA＝PB＝PC＝2x(x>0)，则EF＝x，连接FC，由题意可得FC＝.在△PAC中，cos∠APC＝＝.
在△PEC中，EC2＝PC2＋PE2－2PC·PEcos∠EPC＝4x2＋x2－2×2x·x·＝x2＋2，在△FEC中，∵∠CEF＝90°，∴FC2＝EF2＋EC2，即x2＋2＋x2＝3，∴x＝，∴PA＝PB＝PC＝2x＝.
∵AB＝BC＝CA＝2，∴三棱锥P ABC的三个侧面为等腰直角三角形，∴PA，PB，PC两两垂直，故球O是棱长为的正方体的外接球，设球O的半径为R，则2R＝×，R＝，∴球O的体积V＝πR3＝π.故选D.
例题2(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
【答案】(1) (2)－1
【解析】(1)设圆柱内切球的半径为R，
则由题设可得圆柱O1O2的底面圆的半径为R，高为2R，
故＝＝.
(2)如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，
∵△ABC是正三角形，
∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
∵AB＝2，∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.
∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.
∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则r＝＝－1.
【解题技巧提炼】
[规律探求]
看个性 考向(一)是几何体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 考向(二)是几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径
找共性 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
题型五 直观图
例题5（2021·浙江高三期末）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形
【答案】B
【解析】在轴上，在轴，因此，在原图形中，，三角形为等边三角形．故选：B．
（2）（2021·河南高一月考）如图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体是（ ）
A．一个圆柱
B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C．一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体
D．两个同底的圆锥的组合体
【答案】C
【解析】由直观图画出原图，如下图所示，
因为所以，
则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱(里面挖去一个圆锥)．
故选：C．
【解题技巧提炼】
[1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
题型一 空间几何体的结构特征
1．(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
【答案】BCD
【解析】A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；C正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；D正确，如图，正方体ABCD A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC，四个面都是直角三角形．
2．(一题两空)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
【答案】26 －1
【解析】先求面数有如下两种方法．
由“半正多面体”的结构特征及棱数为48可知，其上部分有9个面，中间部分有8个面，下部分有9个面，共有2×9＋8＝26(个)面．
一般地，对于凸多面体
顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2.(欧拉公式)
由题图知，棱数为48的半正多面体的顶点数为24.
故由V＋F－E＝2，得面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱长．作中间部分的横截面，由题意知该截面为各顶点都在边长为1的正方形上的正八边形ABCDEFGH，如图，设其边长为x，则正八边形的边长即为棱长．
连接AF，过H，G分别作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分别为M，N，则AM＝MH＝NG＝NF＝x.又AM＋MN＋NF＝1，∴ x＋x＋x＝1.
∴ x＝－1，即半正多面体的棱长为－1.
题型二 空间几何体的表面积
1.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
【答案】2 600π
【解析】将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．
2．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
【答案】40π
【解析】如图，∵SA与底面成45°角，
∴△SAO为等腰直角三角形．
设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝r.
在△SAB中，cos ∠ASB＝，
∴sin ∠ASB＝，∴S△SAB＝SA·SB·sin ∠ASB＝×(r)2×＝5，解得r＝2，
∴SA＝r＝4，即母线长l＝4，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2×4＝40π.
题型三 空间几何体的体积
1.如图，正四棱锥P ABCD的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为________cm3.
【答案】4
【解析】记正四棱锥P ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连接PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8 cm2，所以8＝4××2×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝，所以PO＝1，所以VP ABCD＝·S正方形ABCD·PO＝4 cm3.
2.如图，已知体积为V的三棱柱ABC A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P AA1C1C的体积为________．
【答案】
【解析】如图，把三棱柱ABC A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1 ADBC.设P到平面AA1C1C的距离为h，则V＝S·h＝V＝·2V＝.
题型四 与球有关的切、接问题
1.如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )
A．24π B．6π
C.π D.π
【答案】C
【解析】由题意可知，折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱，底面等边三角形外接圆的半径为×＝.因为三棱柱的高为BC＝2，所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1，则三棱柱外接球的半径为R＝＝，所以三棱柱外接球的表面积S＝4πR2＝.故选C.
2．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
【答案】(2－)a
【解析】由题意知，当球与四棱锥各面均相切，即内切于四棱锥时球的半径最大．作出其侧视图，如图所示．易知球的半径r＝(2－)a.
题型五 直观图
1．如图，在水平放置的三角形的直观图中，是中边上的点，且，，，那么，，三条线段对应原图形中线段，，中（ ）
A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是
【答案】B
【解析】直观图还原原图形如图，
因为A'D'//y'轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，且
所以，
故中线段，，中最长的是 ，最短的是，
故选：B
2如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中（ ）
A．AB与AC相等 B．AD的长度大于AC的长度
C．AB的长度大于AD的长度 D．BC的长度大于AD的长度
【答案】AC
【解析】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系，轴，并且，点是的中点，并且作轴，即，且，连结，所以是等腰三角形，,的长度大于的长度，由图可知，，由图观察，，所以,即.故选：AC
一、单选题
1．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】B
【解析】，（米）
故选：B
2．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ）
A．12 B．24 C．4 D．30
【答案】C
【解析】所求的体积为，故选：C.
3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴，DC=4，
∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为的直角梯形，
∴该平面图形的面积为.故选：C
4．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径，外径，试估计该仿古玉琮的体积约为（ ）（单位：）
A．3300 B．3700 C．3900 D．4500
【答案】A
【解析】根据题中条件可得：该玉琮的体积为底面边长为、高为的长方体的体积减去底面直径为、高为的圆柱的体积，
因此.
结合该玉琮外面方形偏低且去掉雕刻的部分，可估计该玉琮的体积约为3300.故选：A.
5．已知四棱锥底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为（ ）
A．8 B．12 C． D．20
【答案】B
【解析】如图，设底面中心为，
则，可得，
因为底面为正方形，则，，
则的边边上的高为，
则该四棱锥的表面积为.故选：B.
6．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
【答案】D
【解析】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，
因为上、下底面面积分别为36π和49π，
所以
因为l2＝h2＋(R－r)2，
所以，解得h＝2，即两底面之间的距离为2.故选：D
7．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体的棱长为，则，
由于三棱锥的表面积为，
所以
所以
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的体积为故选：．
8．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，，，连接．因为，，所以，，所以平面．因为，所以．因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为．故选：B.
二、多选题
9．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为
【答案】BC
【解析】因为，，所以，即，又因为，所以圆柱的侧面积是，
圆柱的表面积是，故选：BC
10．某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥的体积为
C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8
D．圆锥轴截面的面积为
【答案】AC
【解析】因为圆锥的底面半径为3，母线长为4，所以圆锥的高.
A：因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为，又因为圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为，因此本选项说法正确；
B：因为圆锥的体积为，所以本选项说法不正确；
C：设圆锥的两条母线的夹角为，过这两条母线作截面的面积为，
当时，面积有最大值，最大值为，所以本选项说法正确；
D：因为圆锥轴截面的面积为，所以本选项说法不正确，故选：AC
11．（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】设圆柱底面半径为，
若高是，则，，，
若高是，则，，．故选：AB．
12．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4
B．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是
C．勒洛四面体ABCD的体积是
D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是
【答案】ABD
【解析】由勒洛四面体的定义可知勒洛四面体表面上的任意两点间的距离的最大值是4，则A正确.
勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面如图1所示，其面积为，则B正确.
如图2，由对称性可知勒洛四面体内切球的球心O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BO，并延长交勒洛四面体的曲面于点E，则OE就是勒洛四面体内切球的半径.如图3，在正四面体ABCD中，M为的中心，O是正四面体ABCD外接球的球心，连接BM，BO，AM，由正四面体的性质可知O在AM上.因为，所以，则.因为
，即，解得，则正四面体ABCD外接球的体积是.因为勒洛四面体的体积小于正四面体ABCD外接球的体积，则C错误.
因为，所以，则D正确.
图1 图2 图3
三、填空题
13．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．
【答案】
【解析】圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，故圆柱的底面半径，高，
则圆柱的体积.故答案为：.
14．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
【答案】4
【解析】设圆柱的高为，有，得．故答案为：4.
15．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．
【答案】8
【解析】由题意得半球的半径和圆锥底面圆的半径，
如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则半球的体积等于圆锥的体积
所以故答案为：8
16．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】把三棱锥放置在一个长方体中，如图：
则长方体的外接球即三棱锥的外接球，
其外接球的半径为．
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成角，求该圆柱的体积.
【答案】
【解析】设圆柱的底面半径为，则侧面展开图是一个长为，宽为的矩形，
依题意，即，所以该圆柱的体积为：.
18．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，.
(1)求该几何体的表面积；
(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值.
【解析】 (1)，，，，
三棱柱的上下底面面积之和为；
又三棱柱为直三棱柱，侧面均为矩形，
三棱柱的侧面积为；
三棱柱的表面积.
(2)若要拼接而成的大棱柱表面积最小，则需面积最大的侧面相接，即侧面；
大棱柱表面积的最小值为
19．已知一圆锥的母线长为，底面半径为.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积和体积.
【解析】（1）如图所示，三角形ABC是圆锥沿中心轴垂直底面的切面，则，，
则圆锥的高
（2）设内切球半径为r，则，，
易知，则，即，解得，
则球的表面积为；球的体积为；
20．一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.
（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.
（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.
【解析】（1）球的表面积为，
圆锥的底面积为，解得，
由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形；
由此可以求得球心到圆锥底面的距离是：，
所以小圆锥的高为：，母线长为：；
同理可得大圆锥的高为：，母线长为：；
又由这两个圆锥的底面半径相同，
∴较大圆锥与较小圆锥的侧面积之比等于它们母线长之比，即.
（2）由（1）可得两个圆锥的体积和为：，
球的体积为：，
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：.
21．设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．，
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围．
【解析】（1）由题意，设正四棱锥的棱长为，则，
，
（2）设，则，由，可得，
从而，其中，
∴
22．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．
（1）说明所得几何体的结构特征；
（2）求所得几何体的表面积和体积．
【解析】（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体.
（2）该几何体的表面积为：
该几何体的体积为：.
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必考点01 简单几何体的表面积与体积
题型一 空间几何体的结构特征
例题1下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的轴垂直于底面 B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．球面上不同的三点可能在一条直线上 D．棱台的侧面是等腰梯形
例题2 下列叙述中，正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题技巧提炼】
辨别空间几何体的2种方法
定义法 紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定
反例法 通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可
题型二 空间几何体的表面积
例题1在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．(5＋)π B．(4＋)π
C．(5＋2)π D.(3＋)π
例题2如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D.8＋4
【解题技巧提炼】
求解几何体表面积的类型及求法
求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积
题型三 空间几何体的体积
例题1已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D BB1C1的体积为________．
例题2（1）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD A1B1C1D1挖去四棱锥O EFGH后所得的几何体．其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体例题3如图所示，已知三棱柱ABC A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 ABC1的体积为( )
A. B.
C. D.
【解题技巧提炼】
求空间几何体的体积的常用方法
公式法 对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解
割补法 把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积
等体积法 一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积
题型四 与球有关的切、接问题
例题4已知三棱锥P ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D.π
例题2(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
【解题技巧提炼】
[规律探求]
看个性 考向(一)是几何体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径． 考向(二)是几何体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径
找共性 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
题型五 直观图
例题5（2021·浙江高三期末）已知水平放置的按斜二测画法，得到如图所示的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形
（2）（2021·河南高一月考）如图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体是（ ）
A．一个圆柱
B．一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C．一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体
D．两个同底的圆锥的组合体
【解题技巧提炼】
[1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
2．画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
题型一 空间几何体的结构特征
1．(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
2．(一题两空)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图②是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．
题型二 空间几何体的表面积
1.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
2．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．
题型三 空间几何体的体积
1.如图，正四棱锥P ABCD的底面边长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为________cm3.
2.如图，已知体积为V的三棱柱ABC A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P AA1C1C的体积为________．
题型四 与球有关的切、接问题
1.如图，在矩形ABCD中，EF∥AD，GH∥BC，BC＝2，AF＝FG＝BG＝1.现分别沿EF，GH将矩形折叠使得AD与BC重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )
A．24π B．6π
C.π D.π
2．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝2a.若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径为________．
题型五 直观图
1．如图，在水平放置的三角形的直观图中，是中边上的点，且，，，那么，，三条线段对应原图形中线段，，中（ ）
A．最长的是，最短的是 B．最长的是，最短的是
C．最长的是，最短的是 D．最长的是，最短的是
2如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D′为B′C′的中点，且A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，那么在原平面图形ABC中（ ）
A．AB与AC相等 B．AD的长度大于AC的长度
C．AB的长度大于AD的长度 D．BC的长度大于AD的长度
一、单选题
1．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
2．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（ ）
A．12 B．24 C．4 D．30
3．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径，外径，试估计该仿古玉琮的体积约为（ ）（单位：）
A．3300 B．3700 C．3900 D．4500
5．已知四棱锥底面为边长为2的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为（ ）
A．8 B．12 C． D．20
6．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
7．在正方体中，三棱锥的表面积为，则正方体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为
10．某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A．圆锥的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥的体积为
C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8
D．圆锥轴截面的面积为
11．（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则下列结论正确的是（ ）
A．若P，Q是勒洛四面体ABCD表面上的任意两点，则PQ的最大值是4
B．勒洛四面体ABCD被平面ABC截得的截面面积是
C．勒洛四面体ABCD的体积是
D．勒洛四面体ABCD内切球的半径是
2 图3
三、填空题
13．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．
14．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
15．如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高_______．
16．在三棱锥中，已知，，两两垂直，且，，，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
四、解答题
17．已知圆柱高为4，母线与侧面展开图的对角线成角，求该圆柱的体积.
18．如图，已知直三棱柱，其底面是等腰直角三角形，且，.
(1)求该几何体的表面积；
(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值.
19．已知一圆锥的母线长为，底面半径为.
（1）求圆锥的高；
（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积和体积.
20．一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知圆锥底面面积是这个球的表面积的，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.
（1）试确定R与r的关系，并求出大圆锥与小圆锥的侧面积的比值.
（2）求出两个圆锥的总体积(即体积之和)与球的体积之比.
21．设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．，
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围．
22．在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．
（1）说明所得几何体的结构特征；
（2）求所得几何体的表面积和体积．
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