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必考点02 直线与平面平行
题型一 直线与平面平行的判定与性质
例题1设l，m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中不正确的有（ ）
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则．
A．②③ B．②④ C．①③ D．②
【答案】B
【解析】因，，由平行公理知，，①正确；
三棱柱的一底面的两条棱都平行于另一底面，显然这两条棱所在直线相交，②不正确；
因，，，由线面平行的性质知，，③正确；
，，此时，直线n可以在平面内，④不正确，
所以给出的命题中，不正确的是②④.故选：B
例题2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.
(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；
(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.
【解析】 (1)如图所示，VB1－A1BE＝VE－A1B1B＝S△A1B1B· DA＝××2×2×2＝.
(2)B1F∥平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线.证明如下：
因为BA1∥平面CDD1C1，平面A1BH∩平面CDD1C1＝GE，所以A1B∥GE.
又A1B∥CD1，所以GE∥CD1.
又E为DD1的中点，则G为CD的中点.
故BG∥B1F，BG就是所求直线.
【解题技巧提炼】
1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
题型二 异面直线所成的角
例题1（2021·湖北华中师大一附中高三模拟）在三棱锥中，，，平面，，是线段的中点，则异面直线和所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将三棱锥还原成长方体,
取的中点，又因为E为AC的中点，则，
所以异面直线和所成的角即直线和所成的夹角，设所成角为，则.
由勾股定理，，则，
，
连接，则，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，，所以直线和所成的夹角为.
故选：C.
【解题技巧提炼】
（1）平移其中一条或两条使其相交。
（2）连接端点，使角在一个三角形中。（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中）
（3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。
（4）若余弦值为负，则取其相反数。
题型三 面面品行的判定与性质
例题1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【解析】 (1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
例题2在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】如图所示，连接A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连接MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B 平面A1BD1，
DM 平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1，
又由三棱柱的性质知，D1C1綉BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又DC1∩DM＝D，DC1，DM 平面AC1D，
因此平面A1BD1∥平面AC1D.
【解题技巧提炼】
1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
1．（2021·山东济南市·济南一中高三期中）设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．，则
B．是两条异面直线，若则
C．若，则
D．若则
【答案】B
【解析】对于A：若，则或，故选项A不正确；
对于B：设直线，且，则直线和确定平面，因为，，
所以，因为，，所以平面，同理可证，所以，
故选项B正确；
对于C：当与相交时，和都平行于与的交线时，也满足
，但与不平行，故选项C不正确；
对于D：若则或，故选项D不正确；故选：B.
2．(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
【证明】(1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
∵AB 平面ABC，EF 平面ABC，
∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC 平面BCD，
∴BC⊥平面ABD.
∵AD 平面ABD，∴BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC，AB 平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，
又因为AC 平面ABC，∴AD⊥AC.
题型二 异面直线所成的角
1.（2021·长丰县凤麟中学高三期中）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是的中点.由以下论断：
①与是异面直线；
②平面；
③与为异面直线，且；
④平面．
则这些论断正确的序号是（ ）
A．③ B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【解析】对于①，都在平面内，故错误；
对于②，上底面是一个正三角形，不可能存在平面，故错误；
对于③，为在两个平行平面中且不平行的两条直线，
底面三角形是正三角形，是中点，故与是异面直线，且，故正确；
对于④，所在的平面与平面相交，且与交线有公共点，故错误．故选：A
2.已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，则异面直线A1C1与B1C所成角为 ．
【答案】60°.
【解析】如图所示，连接A1D和C1D，
∵B1C∥A1D，
∴∠DA1C1即为异面直线A1C1与B1C所成的角．
∵A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，
∴A1D＝A1C1＝C1D，
∴△A1C1D为等边三角形．即∠C1A1D＝60°.
∴异面直线A1C1与B1C所成的角为60°.
题型三 直线与平面平行
1. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.
(1)确定点E，F的位置，并说明理由；
(2)求三棱锥F－DCE的体积.
【解析】(1)因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面ABCD＝CE，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以CE∥AD，又AB∥DC，
所以四边形AECD是平行四边形，
所以DC＝AE＝AB，
即点E是AB的中点.
因为平面CEF∥平面PAD，平面CEF∩平面PAB＝EF，平面PAD∩平面PAB＝PA，
所以EF∥PA，又点E是AB的中点，
所以点F是PB的中点.
综上，E，F分别是AB，PB的中点.
(2)连接PE，由题意及(1)知PA＝PB，AE＝EB，
所以PE⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以PE⊥平面ABCD.
又AB∥CD，AB⊥AD，
所以VF－DEC＝VP－DEC＝S△DEC×PE＝××2×2×2＝.
∴CE＝1.
2. （2021·山东济南市·济南一中高三期中）设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．，则
B．是两条异面直线，若则
C．若，则
D．若则
【答案】B
【解析】对于A：若，则或，故选项A不正确；
对于B：设直线，且，则直线和确定平面，因为，，
所以，因为，，所以平面，同理可证，所以，
故选项B正确；
对于C：当与相交时，和都平行于与的交线时，也满足
，但与不平行，故选项C不正确；
对于D：若则或，故选项D不正确；故选：B.
一、单选题
1．已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m α，n β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【解析】若α//β，则内的直线与内的直线没有交点，
所以当m α，n β，则直线m与n的关系是平行或异面.故选：D
2．已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不对
【答案】B
【解析】设点在同一个平面内，若，则五点共面，若，且，这种情况五点不共面，故选：B
3．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥中，底面，，
所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：
连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.
而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.故选：.
4．已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
其中假命题是
A．① B．② C．③ D．③④
【答案】D
【解析】①若，，则根据公理4可知成立；
②若，，则成立；
③若，，则可能平行、相交或异面，故③错误；
④若，，则或，故④错误；
故③④是假命题．故选：D．
5．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，故选：B
6．如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在三棱柱中，，
异面直线与所成的角为或其补角，
连接，底面，平面，
，又，，
平面，
又平面，，
由，可得，
，，
又，，
在△中，，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A．
7．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取AB中点E，连接，，如图，
分别是,中点，
,
（或其补角）即为异面直线与直线所成的角,
直三棱柱中，，
，,,
，
，
故异面直线与直线所成的角大小为，故选：C
8．如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
【答案】D
【解析】对于选项A，交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
故A错误；
观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交，
故B错误；
四条体对角线全部与面都相交，
故C错误.
如下图，取中点为，易得，
取中点为，连接，易得，
再取中点为，连接，则，
，
是平面与正方体底面的交线，
延长，与的延长线交于，连接，交于，
则可得五边形即为平面交正方体的截面，
故D正确；故选：D.
二、多选题
9．设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【解析】在选项A中，，由线面平行判定定理得，，故A项正确；在选项B中，，则a与b平行或异面，故B项错误；
在选项C中，，则与相交或平行，故C项错误；
在选项D中，由面面平行的性质定理得D项正确．
故选：AD﹒
10．如图一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将，沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（ ）
A．当平面平面CDF时，
B．当平面平面CDF时，平面BFDE
C．当A，C重合于点P时，
D．当A，C重合于点P时，三棱锥外接球的表面积为150.
【答案】BD
【解析】A：当平面平面CDF，如图1所示，假设，则四边形AEDC为平面图形，
由，得，所以四边形GHDE为平行四边形，所以，
这与矛盾，所以假设不成立，故A不正确；
B：在矩形ABCD中，AB=10，AD=，E、F分别为AD、BC的中点，则，
且，所以平面AGH，平面CHG.
由，可得平面AGH与平面CHG重合，即四边形AGHC为平面四边形，
又平面平面CDF，所以，又，故四边形AGHC为平行四边形，
所以，所以平面BFDE，故B正确；
C：当A、C重合于点P时，如图2所示，，
不满足，所以PG与PD不垂直，故C错误；
D：在三棱锥中，，所以为直角三角形，
，所以为直角三角形，又为直角三角形，
由补形法可知，三棱锥外接球的直径为，
则三棱锥外接球的表面积为，故D正确.
故选：BD
11．在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是的中点.给出下列结论正确的是（ ）
A．若是上的动点，则与异面 B．平面
C．若该三棱柱有内切球，则 D．平面平面
【答案】BC
【解析】
A.如图，若是的中点，则,所以，则与不异面，所以该选项错误；
B. 如图，连接,则平面,不在平面内，所以平面.所以该选项正确；
C. 设内切圆的半径为，则,所以该选项正确；
D. 前面已经证明平面. 假设平面平面，则平面,但是实际上不在平面内，所以该选项错误.故选：BC
12．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线所成的角的正切值为
B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
【答案】ABD
【解析】如图所示：
.因为，所以直线与直线所成的角，，故正确；
.取中点，连接，，
在正方体中，，，
平面，平面，
所以平面，同理可证平面，，
所以平面平面，
平面，所以平面，故正确；
.假设与到平面的距离相等，即平面将平分，
则平面必过的中点，连接交于，而不是中点，
则假设不成立，故错误；
.在正方体中，，
把截面补形为等腰梯形，易知，
之间的距离为，
所以其面积为，故正确，
故选：ABD
三、填空题
13．如图是一个正方体的展开图，则在该正方体中直线AB与直线CD所成角的大小为___________.
【答案】60°##
【解析】将展开图还原后如图，因为该几何体为正方体，易知，为正三角形，所以直线AB与直线CD所成角等于60°.
故答案为：60°
14．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，，则∥；
②若∥，，则；
③若，，则∥；
④若a⊥b，，，则．
其中，真命题的序号是______．
【答案】④
【解析】对于①，当a⊥b，时，∥或，所以①错误，
对于②，当∥，时，直线与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，所以②错误，
对于③，当，时，∥或，所以③错误，
对于④，当a⊥b，时，∥或，因为时，所以，所以④正确 ，
故答案为：④
15．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的大小是_______.
【答案】；
【解析】因为，
所以异面直线与所成的角，
在正四棱柱的底面边长为2，高为3，
所以，
因为，
所以，
故答案为：
16．如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为、的中点.若平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为______.
【答案】
【解析】连接，则，即四点共面，
设平面与分别交于，连接，
因为平面BPQD，所以，
则四边形为平行四边形，则，
又因为，所以，即.
故答案为：.
四、解答题
17．如图所示，在三棱柱ABC 中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
【解析】（1）∵G，H分别是，的中点，
∴，而，
∴，即B，C，H，G四点共面.
（2）∵E，G分别是AB，的中点，
∴平行且相等，所以四边形为平行四边形，即，又面，面，∴面，
18．如图，在长方体中，，，，求异面直线与所成角的大小．
【答案】
【解析】连接，，
，，四边形为平行四边形，，
则异面直线与即为或其补角，
，，，，，，
在中，由余弦定理得：，
，则异面直线与所成角的大小为．
19．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点.
（1）证明：四边形EFD1C是梯形；
（2）求异面直线EF与BC1所成角.
【解析】（1）证明：连接，
因为、分别是AB、AA1的中点，
所以∥，，
因为在正方体中，∥，，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，，
所以∥，，
所以四边形EFD1C是梯形；
（2）连接，
由（1）得∥，
所以异面直线EF与BC1所成角，
因为为等边三角形，
所以，
所以异面直线EF与BC1所成角为
20．如图，直四棱柱的底面是菱形，，分别是，，的中点.证明：平面.
【答案】证明见解析
【解析】连结，如图，
∵分别为的中点，
∴，且.
又∵为的中点，
∴.
由题设知，可得，故，
因此四边形为平行四边形，.
又平面，平面，
∴平面.
21．在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，，，为与的交点，点H为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求该几何体的体积.
【解析】 (1)如图，连接，因为四边形是矩形，，
所以是的中点.
因为H是的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
(2)因为四边形是矩形，所以，
因为平面，所以，
因为，所以平面.
由，可知平面.
因为，，
所以.
在四棱锥中，
，，
所以.
所以该几何体的体积.
22．如图，是正方体的棱的延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出：
(1)过点，，的平面与正方体表面的交线；
(2)过点，，的平面与正方体表面的交线.
【解析】 (1)连接，交于点，连接，交于点，连接，则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，.
(2)
延长，交的延长线于点Q，延长，交的延长线于点，连接交于点，连接交于点，连接，
则过点，，的平面为平面，
过点，，的平面与正方体表面的交线分别为：，，，，.
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必考点02 直线与平面平行
题型一 直线与平面平行的判定与性质
例题1设l，m，n为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中不正确的有（ ）
①若，，则；
②若，，则；
③若，，，则；
④若，，则．
A．②③ B．②④ C．①③ D．②
例题2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.
(1)求三棱锥B1－A1BE的体积；
(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.
【解题技巧提炼】
1.利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
题型二 异面直线所成的角
例题1（2021·湖北华中师大一附中高三模拟）在三棱锥中，，，平面，，是线段的中点，则异面直线和所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，将三棱锥还原成长方体,
取的中点，又因为E为AC的中点，则，
所以异面直线和所成的角即直线和所成的夹角，设所成角为，则.
由勾股定理，，则，
，
连接，则，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，，所以直线和所成的夹角为.
故选：C.
【解题技巧提炼】
（1）平移其中一条或两条使其相交。
（2）连接端点，使角在一个三角形中。（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中）
（3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。
（4）若余弦值为负，则取其相反数。
题型三 面面品行的判定与性质
例题1如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
例题2在本例中，若将条件“E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点”变为“D1，D分别为B1C1，BC的中点”，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【解题技巧提炼】
1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行.
(2)两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒 利用面面平行的判定定理证明两平面平行，需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
题型一 直线与平面平行的判定与性质
1．（2021·山东济南市·济南一中高三期中）设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．，则
B．是两条异面直线，若则
C．若，则
D．若则
2．(2020·江苏卷)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
题型二 异面直线所成的角
1.（2021·长丰县凤麟中学高三期中）如图，三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面三角形是正三角形，E是的中点.由以下论断：
①与是异面直线；
②平面；
③与为异面直线，且；
④平面．
则这些论断正确的序号是（ ）
A．③ B．③④ C．①②③ D．②③④
2.已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，则异面直线A1C1与B1C所成角为 ．
题型三 直线与平面平行
1. 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝2AD＝4，侧面PAB是等腰直角三角形，PA＝PB，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF∥平面PAD.
(1)确定点E，F的位置，并说明理由；
(2)求三棱锥F－DCE的体积.
2. （2021·山东济南市·济南一中高三期中）设表示不同直线，表示不同平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．，则
B．是两条异面直线，若则
C．若，则
D．若则
一、单选题
1．已知直线m，n，平面α，β，若α//β，m α，n β，则直线m与n的关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
2．已知空间中有五个点，如果点在同一个平面内，点在同一个平面内，那么这五个点（ ）
A．一定共面 B．不一定共面 C．一定不共面 D．以上都不对
3．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线、、与平面、，给出下列四个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
其中假命题是
A．① B．② C．③ D．③④
5．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．在直三棱柱中，，，，点D是侧棱的中点，则异面直线与直线所成的角大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
二、多选题
9．设a，b是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．如图一张矩形白纸ABCD，，，E，F分别为AD，BC的中点，现分别将，沿BE，DF折起，且A，C在平面BFDE的同侧，下列命题正确的是（ ）
A．当平面平面CDF时，
B．当平面平面CDF时，平面BFDE
C．当A，C重合于点P时，
D．当A，C重合于点P时，三棱锥外接球的表面积为150.
11．在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是的中点.给出下列结论正确的是（ ）
A．若是上的动点，则与异面 B．平面
C．若该三棱柱有内切球，则 D．平面平面
12．如图，正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．直线与直线所成的角的正切值为
B．直线与平面平行
C．点与点到平面的距离相等
D．平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题
13．如图是一个正方体的展开图，则在该正方体中直线AB与直线CD所成角的大小为___________.
14．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，，则∥；
②若∥，，则；
③若，，则∥；
④若a⊥b，，，则．
其中，真命题的序号是______．
15．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则异面直线与所成角的大小是_______.
16．如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为、的中点.若平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为______.
四、解答题
17．如图所示，在三棱柱ABC 中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点，求证：
（1）B，C，H，G四点共面；
（2）E∥平面BCHG.
18．如图，在长方体中，，，，求异面直线与所成角的大小．
19．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点.
（1）证明：四边形EFD1C是梯形；
（2）求异面直线EF与BC1所成角.
20．如图，直四棱柱的底面是菱形，，分别是，，的中点.证明：平面.
21．在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，，，为与的交点，点H为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求该几何体的体积.
22．如图，是正方体的棱的延长线上的一点，，是棱，的中点，试分别画出：
(1)过点，，的平面与正方体表面的交线；
(2)过点，，的平面与正方体表面的交线.
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