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必考点03 空间直线、平面的垂直
题型一 线面垂直的判定与性质
例题1在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直
C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】垂直于同一直线的两条直线的位置关系有：平行、相交和异面，A、B不正确；
平行于同一平面的两条直线平行的位置关系有：平行、相交和异面，C不正确；
根据线面垂直的性质可知：D正确；故选：D．
例题2如图，已知是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，
(1)求证：平面ABC；
(2)求证：平面EDB；
【解析】 (1)取AB的中点M，连FM，MC，
∵F、M分别是BE、BA的中点，∴，，
∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴，∴，
又，∴，∴四边形FMCD是平行四边形，
∴，又平面ABC，平面ABC，
∴平面ABC；
(2)∵AE⊥平面ABC，平面ABC，∴MC⊥AE
∵M是AB的中点，是正三角形，
∴MC⊥AB，又MC⊥AE，，平面EAB，∴MC⊥平面EAB，
又平面EAB，∴MC⊥AF，又，∴FD⊥AF，
又F是BE的中点，，∴，
又，平面EDB，∴AF⊥平面EDB．
【解题技巧提炼】
看个性 证明线面垂直的问题. (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 证明线线垂直的问题. 证明线线垂直的基本方法： (1)证明一条直线垂直于经 过另一直线的平面，称之为 线面垂直法． (2)计算两条直线所成角等于 90°，称之为计算角度法
找共性 证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为：
题型二 面面垂直的判定与性质
例题1如图，在四棱锥P ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：
(1)CE∥平面PAD；
(2)平面EFG⊥平面EMN.
【解析】(1)法一：取PA的中点H，连接EH，DH.
因为E为PB的中点，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，
所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH 平面PAD，CE 平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
法二：连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.又CD＝AB，
所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD，又CF 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF 平面PAD，PA 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
【解题技巧提炼】
1．面面垂直判定的2种方法与1个转化
(1)2种方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
(2)1个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．面面垂直性质的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
题型三 垂直关系中的探索性问题
例题1如图，在三棱台ABC DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：在三棱台ABC DEF中，
AC∥DF，AC 平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.
又∵DF 平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.
(2)线段BE上存在点G，且BG＝BE 时，使得平面DFG⊥平面CDE.
证明如下：
取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，交CB的延长线于点H，
连接GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.
在三棱台ABC DEF中，AB⊥BC DE⊥EF.
由CF⊥平面DEF CF⊥DE.
又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，
∵GF 平面CBEF，∴DE⊥GF.
∵CE∩DE＝E，CE 平面CDE，DE 平面CDE，
∴GF⊥平面CDE.
又GF 平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.
∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，
由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，
∴HB＝BC＝EF.
由△HGB∽△FGE，可知＝＝，即BG＝BE.
【解题技巧提炼】
(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．
(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．
题型四 线面角与二面角
例题1正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O1、O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，
cos∠O1OD1＝＝＝.
【例2】如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为.则与平面所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
过A作AC垂直平面β于C，在β内过C作l的垂线CD，垂足为D，连接AD.由三垂线定理可知AD⊥l故∠ADC为二面角的平面角，∠ADC =60°.
又由已知,∠ABD=30°.连接CB,则∠ABC为AB与平面β所成的角.
不妨设AD=2,则，
∴直线AB与平面所成的角的正弦值.故选：A.
【解题技巧提炼】
1.线面角是直线与平面所成的角即直线在平面上的投影与直线所成的角，需要借助于投影，垂线勾股定理解三角形
2.二面角是平面与平面所成的角，需要对两个平面的交线上做垂线，则垂线之间的夹角为二面角，需要注意角度取值范围.
题型一 线面垂直的判定与性质
1．（2022·深圳科学高中高一）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论中错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】对于A，符合直线和平面垂直的判定定理，A正确；
对于B，平面，可能相交，B错误；
对于C，符合直线和平面垂直的性质，C正确；
对于D，符合平面和平面垂直的判断定理，D正确；故选：B．
2．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
【证明】(1)∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD.
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，
又∵AB⊥AD，∴AB⊥PD.
又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
3．[创新题型]如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝.
【解析】(1)证明：∵ABC A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又D是A1B1的中点，
∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF.
连接DF，A1B，∴DF∥A1B，
在△ABC中，AC＝BC＝1，
∠ACB＝90°，则AB＝，又AA1＝，
则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1.
∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
题型二 面面垂直的判定与性质
1.如图，在四面体P ABC 中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝4，线段AC，PA的中点分别为O，Q.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求四面体P OBQ的体积．
【解析】(1)证明：∵PA＝PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC.
在Rt△PAO中，∵PA＝5，OA＝3，
∴由勾股定理，得PO＝4.
∵AB＝BC，O是AC的中点，∴BO⊥AC.
在Rt△BAO中，∵AB＝5，OA＝3，
∴由勾股定理，得BO＝4.
∵PO＝4，BO＝4，PB＝4，
∴PO2＋BO2＝PB2，∴PO⊥BO.
∵BO∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC.
∵PO 平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)由(1)，可知平面PAC⊥平面ABC.
∵平面ABC∩平面PAC＝AC，BO⊥AC，BO 平面ABC，
∴BO⊥平面PAC，
∴VB POQ＝S△PQO·BO＝×S△PAO×4＝×3×4＝4.
∵VP OBQ＝VB POQ，∴四面体P OBQ的体积为4.
2.如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：
(1)BE∥平面PAD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
【解析】(1)∵AB∥CD，CD＝2AB，E是CD的中点，
∴AB∥DE且AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AD∥BE，又BE 平面PAD，AD 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
(2)∵AB⊥AD，∴四边形ABED为矩形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD，
∴PA⊥底面ABCD.
∵CD 底面ABCD，
∴PA⊥CD，
又PA∩AD＝A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，∴CD⊥PD.
∵E，F分别是CD，PC的中点，
∴PD∥EF，∴CD⊥EF，
又EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，
∵CD 平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
题型三 垂直关系中的探索性问题
1.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．
(1)证明：AE∥平面BDF；
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF.
∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点．
又F为EC的中点，∴OF∥AE.
又OF 平面BDF，
AE 平面BDF，
∴AE∥平面BDF.
(2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：
取BE的中点H，连接DP，PH，CH.
∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.
又AB∥CD，∴PH∥CD，
∴P，H，C，D四点共面．
∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，
CD 平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.
又BE 平面BCE，∴CD⊥BE，
∵BC＝CE，且H为BE的中点，∴CH⊥BE.
又CH∩CD＝C，且CH，CD 平面DPHC，
∴BE⊥平面DPHC.又PM 平面DPHC，∴PM⊥BE.
题型四 线面角与二面角
1.在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（ ）
A．45° B．90°
C．正切值为2 D．正切值为
【答案】A
【解析】
长方体中，直线平面，
所以就是直线与平面所成的角，
在中，，，
所以，所以.故选：A.
一、单选题
1．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确. 故选：D
2．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】对于A选项，因为，，则，所以，故A选项正确；
对于B选项，由条件得，故B选项错误；
对于C选项，由条件得，故C选项错误；
对于D选项，由条件得或，故D选项错误，故选：A.
3．如果，表示空间中两条不同直线，，，表示三个不同平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】对于A选项，若，，则或者与异面，故错误；
对于B选项，，，则，可以相交，故错误；
对于C选项，若，，，，则，若与不相交则不成立，故错误；对于D选项，，，则，即垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确.故选：D.
4．如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为
D．三棱锥体积为
【答案】D
【解析】A选项，在正方体中，，又平面，平面，所以平面，即A正确；
B选项，连接，，在正方体中，，，平面，平面，
因为平面，平面，
所以，，
又，平面，平面，所以平面，
因此；
同理，
又，平面，平面，
所以平面；即B正确；
C选项，因为，所以即等于异面直线与所成角，
又，即为等边三角形，即异面直线与所成角为，故C正确；
D选项，三棱锥的体积为.故D错；
故选：D.
5．已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出如下图形，令，则，，
取中点，连接，则即为与平面所成的角的补角，
在中，，
在中，，
，，
与平面所成的角的余弦值是. 故选：B.
6．如图，在正方体中，点P是线段上的一个动点，有下列三个结论：①面；
②；
③面面．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】对于①. 在正方体连结
可得，又平面,平面, 所以平面
,又平面,平面, 所以平面
又，所以平面平面
又平面，所以面，故①正确.
对于②. 连结
在正方体中，平面，则
又,且，所以平面
而平面,所以
又, 平面,平面,则
由，所以平面
而平面，所以,有
所以平面,平面,所以，故②正确.
对于③. 由②可知平面，又平面
所以面面，即面面，故③正确.故选：A
7．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为定值
C．平面平面 D．的最小值为
【答案】D
【解析】对于A：连接，在正方体中易知：，，,
所以平面，
又因为平面，
所以，故正确；
对于B：由等体积得为定值，故B正确；
对于C：由平面，得由平面，
又因为平面，
所以平面平面，故正确；
对于D：将等边与等边展开到一个平面上，
可知当，，三点共线时，有最小值，最小值为，故不正确．
故选：．
8．为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A． B．若平面PAC，则
C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形
【答案】C
【解析】如图（1）所示：
对于A中，正方体中，连接，
因为平面，且平面，所以，
又由且，所以平面，
因为，所以平面，所以，所以A正确；
对于B中，正方体中，连接，
可得，且，所以平面，
若平面，可得点在平面中，可得，
又由，所以，所以B正确；
对于C中，设正方体的棱长为，
当为的中点时，即时，可得，，
由余弦定理可得，可得，
所以若为钝角三角形，则是不正确的，故C不正确；
对于D中，建立如图所示的空间直角坐标系，如图（2）所示不妨设正方体的棱长为1，
则，
可得，
,
由，
令，解得或（舍去），
又由，所以，
即当时，，即为锐角，
又因为中，，所以为锐角三角形，所以D正确.故选：C.
二、多选题
9．如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（ ）
A．平面； B．平面；
C．平面 D．平面平面
【答案】AD
【解析】因为为圆O的直径，M是线段的中点，
所以；又平面，平面，所以平面；即A正确；又平面，即平面，故B错；
因为点C在圆O的圆周上，所以，故不与垂直，所以不可能与平面垂直，即C错；
由直线垂直于圆O所在的平面，所以；
又，，平面、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即D正确.故选：AD.
10．如图，在正方体中，点在线段运动，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成的角的取值范围为
C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D．过作直线，则
【答案】ACD
【解析】如图，
对于选项A，,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故A正确；
对于选项B，当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为, 故B错误；
对于选项C，因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故C正确;
对于选项D，连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故，过作直线，则,所以；故D正确.
故选：ACD
11．正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．α截得的截面形状可能为正三角形 B．与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形
【答案】ABC
【解析】如图
因为正方体
∴，，又∵
∴平面
又∵平面
∴
同理：
又∵
∴平面
∴平面可以是平面，又因为
∴为等边三角形，故A正确
取的中点并依次连接
易知，因为平面，平面
∴平面
同理：平面
又因为且平面，平面
∴平面平面
∴平面可以是平面
∵
∴六边形是正六边形，故C正确
以平面是平面为例计算：设A到平面的距离为
等体积法求距离
∵，∴
又因为，
∴
则与平面所成角的正弦值为
∴余弦值等于，故B正确
对于D选项：由于直线，在正方体上任取点但异于，与可构成平面，但是截面的形状都不是正方形，故D错误故选：ABC
12．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积为4
C．存在点，使得
D．线段的长度的取值范围为
【答案】ACD
【解析】平面平面，平面，平面，故正确；，故错误；
连接，作交于，连接，
平面，为与平面所成的角，
平面，为与平面所成角．
直线，与平面所成角的大小相等，，
所以，
又，，所以点在的中垂线上，即点在线段上运动，
当点与点重合时，，故正确；
，为棱上靠近的三等分点，，，，
，，
当点在点或点处时，线段的长度取得最大值，最大值为；
当点在点处时，线段的长度取得最小值，最小值为，
线段的长度的取值范围为，故正确．故选：．
三、填空题
13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．
【答案】AB，A1B1
【解析】由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．
故答案为：AB，A1B1.
14．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）
【答案】(答案不唯一)
【解析】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.故答案为：.
15．正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最大值为_________．
【答案】
【解析】取中点，连接，
平面，平面，，
又四边形为正方形，，又，平面，
平面，又平面，；
由题意得：，，，
，；
平面，，平面，
，在侧面的边界及其内部运动，点轨迹为线段；
平面，平面，，
，即当最大时，面积取得最大值；
，为锐角，的最大值为，
面积的最大值为.
故答案为：.
16．如图，平面平面，，，AB与两平面、所成的角分别为45°和30°，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB＝12，则______．
【答案】6
【解析】在中,,则，
在中,,则，
所以在中,，
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，AB⊥AC.
(1)求证：AB⊥平面；
(2)若线段与的中点分别为E F，求证：平面ABC；
(3)已知AB=3，AC=4，且异面直线与所成的角为45°，求三棱柱的体积.
【解析】 (1)证明： 底面，平面，，
又，且，平面；
平面；
(2)证明：如图，连接并延长，交AB的延长线于点G，连接CG.
因为E是的中点，所以E是的中点；又因为F是的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
(3)，为异面直线与所成的角为，即，
在中，可得，．
18．如图，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，且.
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)求平面FAB与平面FCB夹角的余弦值.
【解析】 (1)在梯形中，∥，，
∴梯形为等腰梯形，∵，，，
，∴，即.
∵EF∥AC，∴EF⊥BC，又∵EF⊥CF，，
平面；
(2)取BF中点为G，连接CG、AG，
∵BC＝FC，∴CG⊥BF，
∵BC＝FC，∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴，
∴AF＝AB，∴AG⊥BF，
∴∠AGC为平面FAB与平面FCB夹角或其补角，
在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，FC⊥AC，FC平面ACFE，
∴FC⊥平面ABCD，∵BC平面ABCD，∴FC⊥BC，
∴在Rt△BCF中，BF＝，CG＝，
∴在Rt△AGB中，，
∴在△ACG中，根据余弦定理得，.
∴平面FAB与平面FCB夹角的余弦值为.
19．如图所示的几何体中，平面平面，是直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【解析】 (1)，，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面．
(2)
，，
四边形是直角梯形，，，
平面平面，平面平面
平面，，
，，，
，平面．
(3)
存在．
由（2）可知平面,作，交于，
可知，，
所以平面，平面，．
，，，
．
20．正三棱柱底边长为2，E，F分别为，AB的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若与平面所成的角的正弦值为，求的值．
【解析】 (1)因为三棱柱为正三棱柱，故是等边三角形且底面⊥侧面，交线为，因为是中点，所以，所以平面，又因为平面，所以平面平面；
(2)过点E作EG⊥于点G，
因为平面平面，交线为，所以EG⊥平面，故即为与平面所成的角，
所以，所以，设，由勾股定理得：，，，
由余弦定理得：，解得：，
故
21．如图，四棱柱所有的棱长均为，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
【解析】 (1)证明：如图，取中点，连结，，
由题可知是边长为的正三角形，
所以且，
在中，由余弦定理得：
，
从而，于是，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
(2)
设点到平面的距离为，
在中，，
所以，
，，
由，得.
22．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
【解析】（1）因为在长方体中，平面；
平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面；
（2）设长方体侧棱长为，则，
由（1）可得；所以，即，
又，所以，即，解得；
取中点，连结，因为，则；
所以平面，
所以四棱锥的体积为.
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必考点03 空间直线、平面的垂直
题型一 线面垂直的判定与性质
例题1在空间中，下列说法正确的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．垂直于同一直线的两条直线垂直
C．平行于同一平面的两条直线平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行
例题2如图，已知是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且，，F是BE的中点，
(1)求证：平面ABC；
(2)求证：平面EDB；
【解题技巧提炼】
看个性 证明线面垂直的问题. (1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β a⊥β)；④面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 证明线线垂直的问题. 证明线线垂直的基本方法： (1)证明一条直线垂直于经 过另一直线的平面，称之为 线面垂直法． (2)计算两条直线所成角等于 90°，称之为计算角度法
找共性 证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为：
题型二 面面垂直的判定与性质
例题1如图，在四棱锥P ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：
(1)CE∥平面PAD；
(2)平面EFG⊥平面EMN.
【解题技巧提炼】
1．面面垂直判定的2种方法与1个转化
(1)2种方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a α α⊥β)．
(2)1个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．面面垂直性质的应用
(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
题型三 垂直关系中的探索性问题
例题1如图，在三棱台ABC DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.
(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；
(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．
【解题技巧提炼】
(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．
(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．
题型四 线面角与二面角
例题1正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【例2】如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为.则与平面所成的角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【解题技巧提炼】
1.线面角是直线与平面所成的角即直线在平面上的投影与直线所成的角，需要借助于投影，垂线勾股定理解三角形
2.二面角是平面与平面所成的角，需要对两个平面的交线上做垂线，则垂线之间的夹角为二面角，需要注意角度取值范围.
题型一 线面垂直的判定与性质
1．（2022·深圳科学高中高一）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论中错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
2．如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
3．[创新题型]如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列给出三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝.
题型二 面面垂直的判定与性质
1.如图，在四面体P ABC 中，PA＝PC＝AB＝BC＝5，AC＝6，PB＝4，线段AC，PA的中点分别为O，Q.
(1)求证：平面PAC⊥平面ABC；
(2)求四面体P OBQ的体积．
2.如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F分别是CD，PC的中点．求证：
(1)BE∥平面PAD；
(2)平面BEF⊥平面PCD.
题型三 垂直关系中的探索性问题
1.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．
(1)证明：AE∥平面BDF；
(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
题型四 线面角与二面角
1.在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（ ）
A．45° B．90°
C．正切值为2 D．正切值为
【答案】A
【解析】
长方体中，直线平面，
所以就是直线与平面所成的角，
在中，，，
所以，所以.故选：A.
一、单选题
1．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．如果，表示空间中两条不同直线，，，表示三个不同平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，则
4．如图，正方体的棱长为，下面结论错误的是（ ）
A．平面
B．平面
C．异面直线与所成角为
D．三棱锥体积为
5．已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体中，点P是线段上的一个动点，有下列三个结论：①面；
②；
③面面．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②
7．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．三棱锥的体积为定值
C．平面平面 D．的最小值为
8．为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A． B．若平面PAC，则
C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形
二、多选题
9．如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（ ）
A．平面； B．平面；
C．平面 D．平面平面
10．如图，在正方体中，点在线段运动，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．异面直线与所成的角的取值范围为
C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D．过作直线，则
11．正方体，的棱长为4，已知平面α，，则关于α β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）
A．α截得的截面形状可能为正三角形 B．与截面α所成角的余弦值为
C．α截得的截面形状可能为正六边形 D．β截得的截面形状可能为正方形
12．在长方体中，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则（ ）
A．平面
B．三棱锥的体积为4
C．存在点，使得
D．线段的长度的取值范围为
三、填空题
13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有______．
14．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）
15．正方体的棱长为，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动，若，则面积的最大值为_________．
16．如图，平面平面，，，AB与两平面、所成的角分别为45°和30°，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB＝12，则______．
四、解答题
17．如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，AB⊥AC.
(1)求证：AB⊥平面；
(2)若线段与的中点分别为E F，求证：平面ABC；
(3)已知AB=3，AC=4，且异面直线与所成的角为45°，求三棱柱的体积.
18．如图，在梯形ABCD中，，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，且.
(1)求证：EF⊥平面BCF；
(2)求平面FAB与平面FCB夹角的余弦值.
19．如图所示的几何体中，平面平面，是直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．正三棱柱底边长为2，E，F分别为，AB的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若与平面所成的角的正弦值为，求的值．
21．如图，四棱柱所有的棱长均为，，.
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.
22．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
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