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必考点05 用样本估计总体
题型一 众数、中位数、平均数的计算
例题1 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京市和张家口市成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会的时长情况（单位：分钟），并将样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，这七组），则估计全校学生观看北京冬奥会时长的中位数为（ ）
A．136.8 B．141.6 C．157.6 D．160
例题2抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则（ ）
A．E与G相互独立 B．E与H相互独立
C．F与G相互独立 D．G与H相互独立
【解题技巧提炼】
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
题型二 总体集中趋势的估计
例题1某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数、中位数、平均分；
(2)估计该校参加高二年级学业水平测试的学生的众数、中位数和平均数．
【解题技巧提炼】
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
题型三 标准差、方差、极差的计算
例题1某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
【解析】甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝ ＝≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝ ＝≈8.67(分)．
【解题技巧提炼】
计算标准差的5步骤
(1)求出样本数据的平均数.
(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)．
(3)求出xi－(i＝1,2，…，n)的平方值．
(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．
(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．
题型四 总体的离散程度的估计
例题1甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
【解题技巧提炼】
研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准，若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．
题型一 众数、中位数、平均数的计算
如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
题型二 总体集中趋势的估计
1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，
则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________．
题型三 标准差、方差、极差的计算
1．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
2．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．
题型四 总体的离散程度的估计
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
一、单选题
1．有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．收入最高值与收入最低值的比是
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
3．如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：
则下列结论中不正确的是（ ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙
6．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该次课外知识测试及格率为
B．该次课外知识测试得满分的同学有名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名
8．已知某班男女同学人数之比为，该班所有同学进行毽球（踢毽子）比赛，比赛规则如下：每个同学用脚踢起毽球，在毽球落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽球则比赛结束．现记录了每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（ ）
A．16，38 B．16，37 C．17，38 D．17，37
二、多选题
9．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（ ）
A．高三年级学生平均学习时间最长
B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
10．某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（ ）
A．平均数为3，极差是3 B．中位数是3，极差是3
C．平均数为3，方差是0.8 D．中位数是3，方差是0.56
11．小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（ ）
A．
B．该组数据的均值一定为90
C．该组数据的众数一定为84和96
D．若要使该总体的标准差最小，则
12．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．众数为2和3
C．方差为 D．第85百分位数为4.5
三、填空题
13．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.
由图判断从___________日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
14．若样本数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为_______.
15．为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是______．
16．绘制频率分布表的步骤一般是：（1）______；（2）确定组距与组数；（3）统计每组的频数与频率；（4）绘制频率分布表．
四、解答题
17．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值及众数 中位数；
(2)若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗 合格树苗分别应抽取多少株？
18．某个学校抽100名学生，进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如下，满分100分.
分数段 频率
0.1
0.3
m
0.13
0.07
(1)求表格中的m的数值；
(2)分数段的学生成绩如下：86 80 81 80 81 82 84 87 87 89 84 83 85；求100名学生成绩的86百分位数；
(3)的学生成绩的方差为2.2，平均分为67，的学生成绩的方差为3.1，平均分为76，求分数段的学生的总体方差.（结果精确到0.01）
19．“水是生命之源”，但是据科学界统计，可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：t）：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过随机抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数，并说明理由；
(2)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x的值，并说明理由．
20．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下．
0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.68
1.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31
(1)完成下面的频率分布表，并绘制频率分布直方图；
分组 频数 频率
合计
(2)根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．
21．为了考查某校高三年级的教学水平，将抽查这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩.已知该校高三年级共有14个班，假定该校每班人数都相同.为了全面地反映实际情况，采取以下两种方法进行抽查：①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的成绩；②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分层，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名）.根据上面的叙述，试回答下列问题：
（1）以上调查各自采用的是什么抽样方法？
（2）试分别写出上面两种抽样方法各自抽取样本的步骤.
22．为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：
分组 频数 频率
[60.5，70.5) a 0.26
[70.5，80.5) 15 c
[80.5，90.5) 18 0.36
[90.5，100.5] b d
合计 50 e
（1）求a，b，c，d，e的值；
（2）作出频率分布直方图．
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必考点05 用样本估计总体
题型一 众数、中位数、平均数的计算
例题1 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京市和张家口市成功举办．这场冰雪盛会是运动健儿奋力拼搏的舞台，也是中外文明交流互鉴的舞台．某学校统计了全校学生观看北京冬奥会的时长情况（单位：分钟），并将样本数据绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，，这七组），则估计全校学生观看北京冬奥会时长的中位数为（ ）
A．136.8 B．141.6 C．157.6 D．160
【答案】D
【解析】因为，所以．因为，
所以估计全校学生观看北京冬奥会时长的中位数为160．故选:D
例题2抛掷一颗均匀骰子两次，E表示事件“第一次是奇数点”，F表示事件“第二次是3点”，G表示事件“两次点数之和是9”，H表示事件“两次点数之和是10”，则（ ）
A．E与G相互独立 B．E与H相互独立
C．F与G相互独立 D．G与H相互独立
【答案】A
【解析】由题意得：
，，，
对于选项A：，，，所以和互相独立，故A正确；
对于选项B：，，，所以和不互相独立，故B错误；
对于选项C：，，，所以和不互相独立，故C错误；
对于选项D：，，，所以和不互相独立，故D错误；故选：A
【解题技巧提炼】
平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算．
题型二 总体集中趋势的估计
例题1某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．
(1)求这次测试数学成绩的众数、中位数、平均分；
(2)估计该校参加高二年级学业水平测试的学生的众数、中位数和平均数．
【解析】(1)①由题图知众数为＝75.
②由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.
③由题图知这次数学成绩的平均分为：
×0.005×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
(2)由于数据是来自高二年级全部参加学业水平测试的学生的简单随机样本，所以可以估计高二年级参加学业水平测试的学生的众数是75，中位数是73.3，平均分是72.
【解题技巧提炼】
用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
题型三 标准差、方差、极差的计算
例题1某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
【解析】甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝ ＝≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝ ＝≈8.67(分)．
【解题技巧提炼】
计算标准差的5步骤
(1)求出样本数据的平均数.
(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)．
(3)求出xi－(i＝1,2，…，n)的平方值．
(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．
(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．
题型四 总体的离散程度的估计
例题1甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
【解析】(1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，得s＝3，s＝1.2.
(3) 甲＝乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又s＞s，说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
【解题技巧提炼】
研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准，若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．
题型一 众数、中位数、平均数的计算
如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】D
【解析】法一(定义法)：依题意x1＋x2＋…＋x5＝35，所以(x1＋1)＋(x2＋1)＋…＋(x5＋1)＝40，故所求平均数为＝8.
法二(性质法)：显然新数据(记为yi)与原有数据的关系为yi＝xi＋1(i＝1,2,3,4,5)，故新数据的平均数为＋1＝8.
题型二 总体集中趋势的估计
1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，
则：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为________．
【答案1)13 (2)62.5 (3)64
【解析】(1)(0.04×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)因为0.2＋0.4＞0.5，所以中位数一定在[55,65]之间，设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
题型三 标准差、方差、极差的计算
1．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】x2－5x＋4＝0的两根为1,4，当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
2．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．
【答案】150
【解析】根据题意知，该组数据的平均数为＝×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)＝450，
所以该组数据的方差为s2＝×[(450－450)2＋(430－450)2＋(460－450)2＋(440－450)2＋(450－450)2＋(440－450)2＋(470－450)2＋(460－450)2]＝150.
题型四 总体的离散程度的估计
甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为：
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
【解析】(1)甲＝[99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，
乙＝[99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)由(1)知甲＝乙，比较它们的方差，∵s＞s，故乙机床加工零件的质量更稳定．
一、单选题
1．有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【解析】把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数.故选：C
2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．收入最高值与收入最低值的比是
B．结余最高的月份是7月
C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D．前6个月的平均收入为40万元
【答案】D
【解析】最高收入万元，最低收入万元，所以A正确.
结余最高的为月，结余万元，所以B正确.
根据两点连线的斜率可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，所以C正确.前个月的平均收入为万元，所以D选项错误.故选：D
3．如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即；
显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即.故选：C.
4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【解析】，故①正确；
根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；
每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.故选：B.
5．中国营养学会把走路称为“最简单、最优良的锻炼方式”，它不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等．下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图：
则下列结论中不正确的是（ ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600 B．乙的日步数星期四比星期三增加了1倍以上
C．这一星期内甲的日步数的平均值大于乙 D．这一星期内甲的日步数的方差大于乙
【答案】B
【解析】对于A：甲的步数：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.从小到大排列为：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位数是11600.故A正确；对于B：乙的星期三步数7030，星期四步数12970.因为，所以没有增加1倍上.故B不正确；
对于C：，.
所以.故C正确；对于D：所以.故D正确；故选：B.
6．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】甲的平均成绩为,
其方差为
乙的平均成绩为,
其方差为丙的平均成绩为
其方差为.
所以故选： D
7．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该次课外知识测试及格率为
B．该次课外知识测试得满分的同学有名
C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D．若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名
【答案】C
【解析】由图知，及格率为，故A错误.
该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.
由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.
由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.
故选：C
8．已知某班男女同学人数之比为，该班所有同学进行毽球（踢毽子）比赛，比赛规则如下：每个同学用脚踢起毽球，在毽球落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽球则比赛结束．现记录了每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（ ）
A．16，38 B．16，37 C．17，38 D．17，37
【答案】D
【解析】设该班有男生5人，且用脚踢到毽球次数分别记为，，，，，设女生4人，且用脚踢到毽球次数分别记为，，，.
则男生踢到毽球次数的平均数，方差，
即，女生踢到毽球次数的平均数，
方差，即．
故全班同学踢到毽球次数的平均数为，
方差为
．
故选：D.
二、多选题
9．睡眠很重要，教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》中强调“小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时”．某机构调查了1万个学生时间利用信息得出下图，则以下判断正确的有（ ）
A．高三年级学生平均学习时间最长
B．中小学生的平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，其中高中生平均睡眠时间最接近标准
C．大多数年龄段学生平均睡眠时间长于学习时间
D．与高中生相比，大学生平均学习时间大幅下降，释放出的时间基本是在睡眠
【答案】BC
【解析】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.
根据图象可知，中小学生平均睡眠时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.
学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比.睡眠时间长于学习时间的占比，C选项正确.
从高三到大学一年级，学习时间减少，睡眠时间增加，所以D选项错误.
故选：BC
10．某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（ ）
A．平均数为3，极差是3 B．中位数是3，极差是3
C．平均数为3，方差是0.8 D．中位数是3，方差是0.56
【答案】BCD
【解析】2+3+4+4＝13，
①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，
所以极差为4﹣2＝2，方差为，
即选项A错误，C正确；
②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，
当投中的个数为0时，极差为4，方差为
当投中的个数为1时，极差为3，方差为；
当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；
当投中的个数为3时，极差为2，方差为
即选项B和D均正确．故选：BCD．
11．小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（ ）
A．
B．该组数据的均值一定为90
C．该组数据的众数一定为84和96
D．若要使该总体的标准差最小，则
【答案】ABD
【解析】因为总体的中位数为90，所以，所以该组数据的均值为，故A正确，B正确，当时，众数为84，90，96，当，时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故D正确．故选：ABD
12．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（ ）
A．平均数为3 B．众数为2和3
C．方差为 D．第85百分位数为4.5
【答案】ABC
【解析】选项A：此组数据平均数为5+5+4+3+3+3+2+2+2+1.判断正确；
选项B：此组数据中3出现3次，2出现3次，5出现2次，4出现1次，1出现1次.
则此组数据众数为2和3. 判断正确；
选项C：此组数据方差为.
判断正确；
选项D：将此组数据从小到大排列为1，2，2，2 ，3，3，3，4，5，5.
，但8.5不是整数，则第85百分位数为为第9个数字5.判断错误.
故选：ABC
三、填空题
13．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.
由图判断从___________日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
【答案】5
【解析】因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图可知从5日开始连续5，6，7三天的空气质量指数方差最大，故答案为：5
14．若样本数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为_______.
【答案】2
【解析】若样本数据的标准差为，则其方差也为，所以数据，，，的方差为，标准差为.故答案为：.
15．为了考查某种小麦的长势，从中抽取10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的极差是______．
【答案】11
【解析】苗高数据中最大的为19，最小的为8，所以极差为，
故答案为：11
16．绘制频率分布表的步骤一般是：（1）______；（2）确定组距与组数；（3）统计每组的频数与频率；（4）绘制频率分布表．
【答案】求极差
【解析】绘制频率分布表的第一步一般是求极差，
故答案为：求极差.
四、解答题
17．治理沙漠离不开优质的树苗，现从苗圃中随机地抽测了200株树苗的高度（单位：cm），得到以下频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值及众数 中位数；
(2)若树高185cm及以上是可以移栽的合格树苗.从样本中按分层抽样方法抽取20株树苗作进一步研究，不合格树苗 合格树苗分别应抽取多少株？
【解析】 (1)
∵，
∴，众数为，
设中位数为x，因为，
，
则，
，
∴
故，众数为，中位数.
(2)由题可知合格树苗所占频率为，不合格树苗所占频率为，
不合格的抽取株，合格的抽取株，
故不合格树苗 合格树苗分别应抽取7株和13株.
18．某个学校抽100名学生，进行某个学科调研测试的分数的频率分布表如下，满分100分.
分数段 频率
0.1
0.3
m
0.13
0.07
(1)求表格中的m的数值；
(2)分数段的学生成绩如下：86 80 81 80 81 82 84 87 87 89 84 83 85；求100名学生成绩的86百分位数；
(3)的学生成绩的方差为2.2，平均分为67，的学生成绩的方差为3.1，平均分为76，求分数段的学生的总体方差.（结果精确到0.01）
【解析】 (1)依题意可得，解得
(2)由（1）可得，即内一共有人，将分数段的学生成绩按照从小到大的顺序排列为：80、80、81、81、82、83、84、84、85、86、87、87、89，所以整个数据从小到大第86个数为83、第87个数为84，
因为，所以成绩的86百分位数为第86个和第87个数的平均数为
(3)由（1）得内有个数据，分别设为，
内有个数据，分别设为，
依题意可得
，即，所以
，，所以
，所以分数段的学生的总体平均数为
分数段的学生的总体方差为
19．“水是生命之源”，但是据科学界统计，可用淡水资源仅占地球储水总量的2.8%，全世界近80%人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（单位：t）：一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过随机抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数，并说明理由；
(2)若该市政府希望使82%的居民每月的用水不按议价收费，估计x的值，并说明理由．
【解析】 (1)由题图可知，不低于2.5 t人数所占百分比为，
所以估计全市居民中月均用水量不低于2.5 t的人数为（万）．
(2)由（1）可知，月均用水量小于2.5 t的居民人数所占百分比为73%，
即73%的居民月均用水量小于2.5 t，
则73%+
所以88%的居民月均用水量小于3 t，故，
所以．故估计x的值为2.8．
20．有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下．
0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.68
1.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31
(1)完成下面的频率分布表，并绘制频率分布直方图；
分组 频数 频率
合计
(2)根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．
【解析】 (1)
分组 频数 频率
3
10
12
4
1
合计 30 1 2
频率直方图如图所示：
(2)①该频率分布直方图呈中间高，两边低，大多数鱼身体重汞含量主要集中在区间；②汞含量在区间的鱼最大，汞含量在区间的次之，在区间的最少；③汞含量超过的数据所占比例较大，这说明这批鱼被人食用，对人体产生危害的可能性比较大．
21．为了考查某校高三年级的教学水平，将抽查这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩.已知该校高三年级共有14个班，假定该校每班人数都相同.为了全面地反映实际情况，采取以下两种方法进行抽查：①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的成绩；②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分层，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名）.根据上面的叙述，试回答下列问题：
（1）以上调查各自采用的是什么抽样方法？
（2）试分别写出上面两种抽样方法各自抽取样本的步骤.
【解析】（1）①采用的是简单随机抽样；②采用的是分层随机抽样和简单随机抽样.
（2）①的步骤如下：
第一步，在这14个班中用抽签法任意抽取一个班.
第二步，从这个班中用随机数法或抽签法抽取14名学生，这14人的考试成绩为样本.
②的步骤如下：
第一步，确定优秀学生、良好学生、普通学生三个层次抽取的人数.因为样本量与总体中的个体数的比为，所以在每个层次抽取的个体数依次为，，.
第二步，按层分别抽取，用简单随机抽样法分别在优秀学生中抽取15人，在良好学生中抽取60人，在普通学生中抽取25人.
第三步，将所抽取的学生的考试成绩组合在一起构成样本.
22．为加强中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，请你根据尚未完成的频率分布表解答下列问题：
分组 频数 频率
[60.5，70.5) a 0.26
[70.5，80.5) 15 c
[80.5，90.5) 18 0.36
[90.5，100.5] b d
合计 50 e
（1）求a，b，c，d，e的值；
（2）作出频率分布直方图．
【解析】（1）根据题意，得分在[60.5，70.5)内的频数a＝50×0.26＝13，
在[90.5，100.5]内的频数b＝50－13－15－18＝4，
在[70.5，80.5)内的频率c＝，
在[90.5，100.5]内的频率d＝，频率和e＝1．
（2）根据频率分布表作出频率分布直方图，如图所示．
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