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必考点06 用样本估计总体
题型一 互斥事件、对立事件与相互独立事件
例题1分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
例题2某位同学连续抛掷质地均匀的骰子8次，向上的点数分别为1，3，3，3，4，6，6，6，则这8个数（ ）
A．众数为3和6 B．中位数为3 C．平均数为4 D．第65百分位数为4
【解题技巧提炼】
事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系.
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.
(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立.
题型二 古典概型
例题1袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率.
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.
【解题技巧提炼】
在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目.
题型三 相互独立事件概率的计算
例题1某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.
【解题技巧提炼】
解此类题的步骤如下
(1)标记事件.
(2)判断事件的独立性.
(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立).
(4)套用公式.
题型四 随机事件的频率与概率
例题1改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
【解题技巧提炼】
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
题型一 互斥事件、对立事件与相互独立事件
1.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
2.下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”
D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用1 000小时”，B表示“灯泡能用2 000小时”
题型二 古典概型
1.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.
题型三 相互独立事件的概率计算
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.
题型四 随机事件的频率与概率
1．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
一、单选题
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
2．某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
射击次数 50 100 200 400 1000
射中8环以上的次数 44 78 158 320 800
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.82
3．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
4．六博，又称“陆博”，是春秋战国时期开始流行的一种棋类游戏.游戏中需要使用的“博茕”，与我们今天的骰子非常接近，是古代人玩“六博”游戏的关键棋具.最早被发现的“博茕”是在陕西临潼秦始皇陵出土的石制十四面茕.这枚“博茕”为球形十四而体，每面都刻有一个数字，分别为零到十三，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的.现投掷“博茕”三次，观察向上的点数：则这三个数依次能构成公比不为1的整数的等比数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】枚举法：可组成的等比数列有1，2，4；2，4，8；1，3，9；3，6，12；
4，2，1；8，4，2；9，3，1；12，6，3；共有8种，列式计算得故选：D
5．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知A，B是两个相互独立事件，，分别表示它们发生的概率，则是下列哪个事件的概率（ ）
A．事件A，B同时发生 B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生 D．事件A，B都不发生
二、多选题
9．如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是
A．A,B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时,整个电路畅通的概率为
10．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲 乙 丙 丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
11．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2张卡片不全为红色 B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色
12．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，是互斥事件，，，则
B．若，是对立事件，则
C．若，是独立事件，，，则
D．若，，且，则，是独立事件
三、填空题
13．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.
14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为___________.
15．北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．
16．给出下列事件：
①函数在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有998名学生，至少有3名学生的生日相同；
④若集合，，满足，，则；
⑤在标准大气压下，河流在20℃时结冰；
⑥从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数．
其中属于随机事件的是______，属于必然事件的是______，属于不可能事件的是______（填序号）．
四、解答题
17．生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
18．为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组.得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这200名学生成绩的中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率.
19．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
20．科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占99.759%，占0.037%，占0.204%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为．
(1)求n；
(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．
21．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5
A型待机时间（h） 120 125 122 124 124
B型待机时间（h） 118 123 127 120
已知，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等.
（1）求的值；
（2）判断，两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；
（3）从被测试的手机中随机抽取，型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率.
（注：个数据的方差，其中为数据的平均数）
22．某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用Ai表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．
（1）写出所有的样本点；
（2）求李明通过面试的概率．
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必考点06 用样本估计总体
题型一 互斥事件、对立事件与相互独立事件
例题1分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件， “两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与 间的关系是（ ）
A．与，与均相互独立 B．与相互独立，与互斥
C．与，与均互斥 D．与互斥，与相互独立
【答案】A
【解析】由题意得，，
所以.
所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.故选：A.
例题2某位同学连续抛掷质地均匀的骰子8次，向上的点数分别为1，3，3，3，4，6，6，6，则这8个数（ ）
A．众数为3和6 B．中位数为3 C．平均数为4 D．第65百分位数为4
【答案】AC
【解析】因为3和6出现的次数均为3，且出现的次数最多，因此众数为3和6，故A正确；
这8个数的中位数为，故B错误；
平均数为，故C正确；
因为一共有8个数，由，且上述8个数是按照从小到大排列的，
所以第65百分位数为6，故D错误．
故选：AC
【解题技巧提炼】
事件间的关系的判断方法
(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系.
(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.
(3)判断两事件是否相互独立，有两种方法：①直接法；②看P(AB)与P(A)·P(B)是否相等，若相等，则A，B相互独立，否则不相互独立.
题型二 古典概型
例题1袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任取两球，求下列事件的概率.
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球.
【解析】设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现的可能性相同.
(1)“从袋中的6个球中任取2球，所取的2球全是白球”为事件A，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点.所以P(A)＝.
(2)“从袋中的6个球中任取2球，其中一个是白球，另一个是红球”为事件B，则B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，共含有8个样本点，所以P(B)＝.
【解题技巧提炼】
在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的数目.
题型三 相互独立事件概率的计算
例题1某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.
【解析】记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为P(A1A2)＝P(A1)P(A2)P()＝.
(2)该选手至多进入第二轮考核的概率为P(＋A1)＝P()＋P(A1)P()＝.
【解题技巧提炼】
解此类题的步骤如下
(1)标记事件.
(2)判断事件的独立性.
(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立).
(4)套用公式.
题型四 随机事件的频率与概率
例题1改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额 支付方式 不大于2 000元 大于2 000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．
【解析】(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为×1 000＝400.
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝＝0.04.
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．
假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.
答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．
理由如下：
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．
【解题技巧提炼】
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
题型一 互斥事件、对立事件与相互独立事件
1.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )
A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡
C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡
【答案】A
【解析】 “至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，其概率为1－＝.
2.下列事件A，B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”
D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用1 000小时”，B表示“灯泡能用2 000小时”
【答案】A
【解析】B选项由于是不放回摸球，故事件A与B不相互独立，C选项中A与B为对立事件，D选项中事件B受事件A影响，故选A.
题型二 古典概型
1.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.
【解析】(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点.
根据题意这些样本点出现的可能性相等.事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个.所以其概率为P＝.
题型三 相互独立事件的概率计算
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125.
(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.
【解析】记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A，B，C，则A，B，C两两相互独立.
(1)由题意得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，
∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.
(2)∵A，B，C两两相互独立，
∴，，两两相互独立，
∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照顾的概率为
P()＝P()P()P()＝0.8×0.75×0.5＝0.3，
∴这一小时内至少有一台需要照顾的概率为
P＝1－P()＝1－0.3＝0.7.
题型四 随机事件的频率与概率
1．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
【答案】0.98
【解析】＝＝0.98.
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.
2．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25 ℃，由表格数据知，最高气温低于25 ℃的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20 ℃，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值为900,300，－100，
Y大于零当且仅当最高气温不低于20 ℃，由表格数据知，最高气温不低于20 ℃的频率为＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
一、单选题
1．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.
2．某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
射击次数 50 100 200 400 1000
射中8环以上的次数 44 78 158 320 800
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78 B．0.79 C．0.80 D．0.82
【答案】C
【解析】大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在，
所以这名运动员射击一次射中8环以上的概率为，故选：C.
3．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
【答案】C
【解析】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，
设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，
则，解得人.故选：C.
4．六博，又称“陆博”，是春秋战国时期开始流行的一种棋类游戏.游戏中需要使用的“博茕”，与我们今天的骰子非常接近，是古代人玩“六博”游戏的关键棋具.最早被发现的“博茕”是在陕西临潼秦始皇陵出土的石制十四面茕.这枚“博茕”为球形十四而体，每面都刻有一个数字，分别为零到十三，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的.现投掷“博茕”三次，观察向上的点数：则这三个数依次能构成公比不为1的整数的等比数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】枚举法：可组成的等比数列有1，2，4；2，4，8；1，3，9；3，6，12；
4，2，1；8，4，2；9，3，1；12，6，3；共有8种，列式计算得故选：D
5．两枚相同的正方体骰子，六个面分别标有数字，同时掷两枚骰子，则两枚骰子朝上面的数字之积能被整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，同时掷两枚骰子，所得的结果是：
，
，
，
共36种情况，所得结果之积为：, , , , ,
所得之积能被整除的概率故选：D.
6．一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，
则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，
其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，所以,故选：C
7．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；共有18种分法，
则2，3连号的概率为.故选：B.
8．已知A，B是两个相互独立事件，，分别表示它们发生的概率，则是下列哪个事件的概率（ ）
A．事件A，B同时发生 B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生 D．事件A，B都不发生
【答案】C
【解析】因为是两个相互独立事件，所以，
又表示两件事同时发生，所以表示事件A、B至多有一个发生.故选：C
二、多选题
9．如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是
A．A,B两个盒子串联后畅通的概率为 B．D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C．A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为 D．当开关合上时,整个电路畅通的概率为
【答案】ACD
【解析】由题意知,,,,,,所以A,B两个盒子畅通的概率为,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为,因此B错误;A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为,C正确;根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为,D正确.故选：ACD
10．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲 乙 丙 丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
【答案】ABC
【解析】对于A中，甲同学仅随机选一个选项，有A B C D四种情况，能得3分的有C或D，有2种，所以能得3分的概率是，故选项A正确；
对于B中，乙同学仅随机选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，能得5分的情况为CD只有1种情况，所以能得5分的概率是，故选项B正确；
对于C中，丙同学随机至少选择一个选项，
选一个选项，有A B C D共4种情况；
选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；
选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，
选四个选项有ABCD共1种，所以共有种情况，
能得分有C D CD共3种情况，所以能得分的概率是，故选项C正确；
对于D中，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，选四个选项有ABCD共1种，所以共有种情况，能得分有CD共1种情况，所以能得分的概率是，故选项D错误.故选：ABC
11．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（ ）
A．2张卡片不全为红色 B．2张卡片恰有一张红色
C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色
【答案】BD
【解析】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2 张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥，“2张不全为红色”是对立事件．故选：BD.
12．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，是互斥事件，，，则
B．若，是对立事件，则
C．若，是独立事件，，，则
D．若，，且，则，是独立事件
【答案】BCD
【解析】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误；对于B：若，是对立事件，则，故B正确；
对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；
对于D：若，，则且，则，是独立事件，故，也是独立事件，故D正确；故选：BCD
三、填空题
13．从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为___________.
【答案】4
【解析】从1，2，3，4，5中随机取三个不同的数有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种情况，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三个数字之和为奇数，共有4种.故答案为：4.
14．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则至少取得一个红球的概率为___________.
【答案】
【解析】由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，
则至少取得一个红球的概率为.故答案为：.
15．北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．
【答案】
【解析】记3个社团分别为，依题意甲参加社团的概率为，乙参加社团的概率为，所以甲和乙都参加社团的概率为，
同理可得甲和乙都参加社团的概率为，甲和乙都参加社团的概率为，
所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为.故答案为：.
16．给出下列事件：
①函数在定义域内为增函数；
②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利；
③一所学校共有998名学生，至少有3名学生的生日相同；
④若集合，，满足，，则；
⑤在标准大气压下，河流在20℃时结冰；
⑥从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数．
其中属于随机事件的是______，属于必然事件的是______，属于不可能事件的是______（填序号）．
【答案】② ③④⑥ ①⑤
【解析】①中函数应为单调减函数，说法不正确，故为不可能事件；
②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件；
③中998大于365的两倍，说法正确，故为必然事件；
根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件；
⑤中的说法不正确，故为不可能事件；
⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件.
故答案为：②；③④⑥；①⑤.
四、解答题
17．生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
【解析】从甲 乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A B,则事件A,B相互独立,且,.
(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.
(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.
18．为纪念建党100周年，某校举办党史知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取200名同学并将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组.得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值，并估计这200名学生成绩的中位数；
(2)若先用分层抽样的方法从得分在和的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，求此2人得分恰在同一组的概率.
【解析】 (1)由频率分布直方图可得：，解得；由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得，解得，
所以这200名学生成绩中位数的估计值为76；
(2)由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06，
采用分层抽样知，抽取的5人，在内的人数为2人，在内的人数为3人.
设分数在[ 40，50 )内的2人为，分数在[ 50，60 )内的3人为，
则在这5人中抽取2人的情况有：，，，，，，，，，，共有10种情况，
其中分数在同一组的2人有，，，，有4种情况，
所以概率为.
19．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则
“甲赢得比赛”，.
“乙赢得比赛”，.
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，
则；
.
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
.
20．科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占99.759%，占0.037%，占0.204%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为．
(1)求n；
(2)若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率．
【解析】 (1)依题意，从这些氧元素中随机选取1个，这个氧元素是的概率，则有，解得n=1，所以n=1.
(2)记3个分别为a，b，c，2个分别为x，y，1个为m，从中随机选取2个，所有的情况为：
，，，，，，，，，，，，，，，共15种，它们等可能，
其中这2个氧元素是同一种同位素的情况有，，，，共4种，其概率为，所以这2个氧元素是同一种同位素的概率是.
21．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5
A型待机时间（h） 120 125 122 124 124
B型待机时间（h） 118 123 127 120
已知，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等.
（1）求的值；
（2）判断，两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；
（3）从被测试的手机中随机抽取，型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率.
（注：个数据的方差，其中为数据的平均数）
【解析】（1）由，解得.
（2）设，两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为，，则.
（3）设型号手机为，，，，；型号手机为，，，，，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件.
从被测试的手机中随机抽取，型号手机各1台，不同的抽取方法有25种.
抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：
，，，，共4种.
因此，，所以.
所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是.
22．某高校的入学面试中有4道不同的题目，每位面试者都要回答这4道题目．已知李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为假设对这4道题目能否答对是独立的，该高校要求至少答对其中的3道题才能通过面试．用Ai表示事件“李明答对第i道题”（i＝1，2，3，4）．
（1）写出所有的样本点；
（2）求李明通过面试的概率．
【解析】 (1) 李明能通过面试的样本空间中样本点：
(2)由(1)知，李明通过面试的概率
，
又这4道题目能否答对是独立的，且李明答对第1题、第2题、第3题、第4题的概率分别为∴，，
，，，
即.
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