高级中学2013届高考数学填空题解法专题

高级中学2013届高考数学填空题解法专题
填空题就是不要求写出计算或推理过程，只需将结论直接写出的“求解题”，它的主要作用是考查考生的基础知识，基本技巧以及分析问题、解决问题的能力，高考试卷中理科30分文科20分．它和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.
解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.
（一）数学填空题的解题方法
1、直接法
直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.
例1、（1）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 .
解析：，由复合函数的增减性可知，在 上为增函数，∴，∴.
（2）设其中为互相垂直的单位向量，又，则实数 .
解析：∵，∴
∴，
而为互相垂直的单位向量，故可得∴.
（3）现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13场比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 .
解析：由题设，此人猜中某一场的概率为，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为.
2、特殊化法
当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.
例2、（1）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，如果成等差数列，则
解析：取特殊值，则△ABC为直角三角形，，从而所求值为(或取特殊角A＝B＝C＝600).
（2）如果函数对任意实数都有，那么的大小关系是 .
解析：由于，故知的对称轴是.可取特殊函数
，即可求得.∴.
（3）已知SA，SB，SC两两所成角均为60°，则平面SAB与平面SAC所成的二面角的余弦值为
解析：取SA=SB=SC，则在正四面体S－ABC中，易得平面SAB与平面SAC所成的二面角为.
3、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.
例3、（1）已知向量=，向量=，则|2－|的最大值是
解析：因，故向量2和所对应的点A、B都在以原点为圆心，2为半径
的圆上，从而|2－|的几何意义即表示弦AB的长，故|2－|的最大值为4.
（2）如果不等式的解集为A，且，
那么实数的取值范围是 .
解析：根据不等式解集的几何意义，作函数和函数的图象
（如图），从图上容易得出实数的取值范围是.
（3）设函数．若当时，取得极大值； 时，取得极小值，则的取值范围是 ．
解析：，令，由条件知，上述方程应满足：一根在之间，另一根在之间，
∴ ，得 ，在坐标系中，作出上述区域如图所示，而 的几何意义是过两点与的直线斜率，而在区域内，由图易知．
4、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.
例4、（1）不等式的解集为，则_______，________.
解析：设，则原不等式可转化为：∴a，且2与是方程的两根，由此可得：.
（2）不论为何实数，直线与圆恒有交点，则实数的取值范围是 .
解析：题设条件等价于点在圆内或圆上，或等价于点到圆
，∴.
5、构造法
根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.
例5、（1）如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为 .
解析：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得
PA与BD 所成角为60°.
（2）椭圆的焦点，点是椭圆上动点，当为钝角时，点 的横坐标的取值范围是
解析：构造圆，与椭圆联立求得交点
6、分析法
根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.
例6、（1）如右图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件 时，有（填上你认为正确的一个条件即可）.
解析：因四棱柱为直四棱柱，故为在面上的射影，从而要使，只要与垂直，故底面四边形只要满足条件即可.
（2）以双曲线的左焦点，左准线为相应的焦点和准线的椭圆截直线所得的弦恰好被轴平分，则的取值范围是
解析：左焦点为（－2，0），左准线：，因椭圆截直线所得的弦恰好被轴平分，故椭圆对称性知，椭圆的中心即为直线与轴的交点，由 ，得.
（二）减少填空题失分的检验方法
1、回顾检验
例7、满足条件的角的集合为 .
错解：
检验：根据题意，答案中的不满足条件，应改为；其次，角的取值要用集合表示.故正确答案为
2、赋值检验
若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误
例8、已知数列的前n项和为，则通项公式= .
错解：
检验：取时，由条件得，但由结论得.故正确答案为
3、逆代检验
若答案是有限的、具体的数据时，可逐一代入进行检验，以避免因扩大自变量的允许值范围而产生增解致错.
例9、方程的解是 .
错解：设，则，根据复数相等的定义得解得.故
检验：若，则原方程成立；若，则原方程不成立.故原方程有且只有一解.
4、估算检验
当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.
例10、不等式的解是 .
错解：两边平行得，即，解得.
检验：先求定义域得，原不等式成立；若，原不等式不成立，故正确答案为.
5、作图检验
当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错.
例11、函数的递增区间是 .
错解：
检验：由作图可知正确答案为
6、变法检验
一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误.
例12、若，则的最小值是 .
错解：
检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.换一种解法为：
7、极端检验
当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.
例13、已知关于的不等式的解集是空集，求实数的取值范围 .
错解：由，解得
检验：若，则原不等式为，解集是空集，满足题意；若，则原不等式为，即，解得，不满足题意.故正确答案为
切记
(1)解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解”
(2)填空题的结果书写要规范
①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求．如：不能写成或写出等；
②所填结果要完整，如多选型填空题，不能漏填；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺，如：集合不能写成等.
③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果写成集合或区间形式等.
练习
集合的真子集的个数是
解析：，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.
2、若函数的图象关于直线对称，则
解析：由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.
如果函数，那么
解析：容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是
原式＝，应填
4、已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.
解析：　由已知得
　　　　从而角的终边在第二象限，故应填二.
不等式（）的解集为.
解析：注意到，于是原不等式可变形为
而，所以，故应填
如果函数的图象关于直线对称，那么
解析：　，其中.
是已知函数的对称轴，
，即，
于是　故应填 .
7、过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.
解析：长方体的对角线就是外接球的直径,　即有
从而，故应填
8、直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.
解析：由消去y，化简得
设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则
　　　　　　　　故应填 .
9、椭圆上的一点到两焦点的距离的乘积为，则当取最大值时，点的坐标是____________.
解析：记椭圆的二焦点为，有则知
显然当，即点位于椭圆的短轴的顶点处时，取得最大值25.
故应填或
10、已知是直线，是平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若内不共线的三点到的距离都相等，则；④若，且，，则；⑤若为异面直线，，，,，则.则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）
解析：依题意可取特殊模型正方体，在正方体中逐一判断各命题，易得命题②⑤正确.
11、过抛物线的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分别为，则 .
解析：设，因抛物线焦点坐标为把直线方程代入抛物线方程得，∴，从而.
12、求值 。
解析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令，得结果为.
13、已知实数满足，则的最大值是 。
解析：可看作是过点与的直线的斜率，其中点的圆上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率最大，最大值为
14、 函数单调递减区间为 .
解析：易知
∵与有相同的单调区间，而，∴可得结果为