沪科版数学八年级上册15.4角的平分线（第2课时）同步课件(共13张PPT)

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第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线（第2课时）
知识导入
作角平分线的方法:
(1)折纸法;(2)度量法;(3)尺规作图法.
1.过直线上一点作已知直线的垂线就是作以已知点为顶点的平角的__________.
2.过直线外一点作已知直线的垂线就是作已知直线上一条线段的______________.
平分线
垂直平分线
新知讲解
已知：如图所示，OP平分∠BOA，PD⊥OB，垂足为D，PC⊥OA，垂足为C.
求证：PD=PC.
【证明】∵OP平分∠AOB.（已知）
∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）
又∵PC⊥OA,PD⊥OB,(已知)
∴∠PCO=∠PDO=90°.（垂直的定义）
在△PCO和△PDO中,
∵
∴△PCO≌△PDO.(AAS)
∴PC=PD.
由上面的证明，我们可以得出：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
到角两边距离相等的点在角的平分线上.
例题精讲
[教材补充例题] 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=FC.求证:BD=DF.
∵ AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴ DC=DE.
在△DCF和△DEB中,
∵
证明: ∵ ∠C=90°, ∴ DC⊥AC.
∴ △DCF≌△DEB.(SAS) ∴ BD=DF.
应用角平分线的性质解题时的“两点注意”:
(1)应用角平分线性质定理的三个条件:一平分,两垂直,缺一不可;
(2)利用角平分线的性质定理可以直接得到线段相等,无须证明两个直角三角形全等,这是证线段相等的方法之一.
[教材补充例题] 如图所示,在直角梯形ABC中,AB∥CD,∠B=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE平分∠DAB.
[解析] 要证AE平分∠DAB,只需证明点E在∠DAB的平分线上即可.过点E作EF⊥AD于点F,由条件可得EF=EB,则点E在∠DAB的平分线上,即AE平分∠DAB.
证明:过点E作EF⊥AD于点F.
因为AB∥CD,∠B=90°,所以EC⊥DC.
因为DE平分∠ADC,EC⊥DC,EF⊥AD,
所以EC=EF.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
因为E是BC的中点,所以BE=EC.
所以BE=EF.
又因为EF⊥AD,BE⊥AB,
所以AE平分∠DAB.
课堂小结
知识点一　角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
知识点二　角平分线的判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
随堂演练
1．2018·梧州 如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
D
2．如图所示，M，N分别是OA，OB边上的点，点P在射线OC上，则下列条件不能说明OC平分∠AOB的是(　　)
A．PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN
B．PM⊥OA，PN⊥OB，OM＝ON
C．PM＝PN，OM＝ON
D．PM＝PN，∠PMO＝∠PNO
D
3．已知：如图，BD平分∠ABC，∠A＝∠C，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M，N为垂足．
求证：PM＝PN.
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵∠A＝∠C，
∴∠ADB＝∠CDB.
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN.