沪科版数学八年级上册15.4角的平分线（第3课时）同步课件(共12张PPT)

(共12张PPT)
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线（第3课时）
知识导入
如图所示，PD⊥OA, PE ⊥OB, PD=PE,则点P与∠AOB有什么特殊关系？
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
新知讲解
例题精讲
例 已知：如图所示，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相较于点P. 求证：AP平分∠BAC.
A
B
C
F
E
M
证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，
PQ⊥AB，垂足分别为点M,N,Q.
P
Q
N
∵ BE是∠B的平分线，点P在BE上，（已知）
∴ PQ=PM（角平分线上的点到角两边的距离相等）
A
B
C
F
E
M
P
Q
N
同理， PN=PM.
∴ PN=PQ（等量代换）
∴ AP平分∠BAC.（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
这个例子说明：三角形三条内角平分线相较于一点，这个点到三角形三边的距离相等
[教材补充例题] 如图所示,在△ABC中,∠B=90°,△ABC内是否存在一点P到各边的距离相等 如果存在,请作出这一点,并说明理由.
解:存在,如图,作∠BAC,∠ACB的平分线,它们的交点P为符合要求的点.
理由:过点P分别作PE⊥AB,PF⊥BC,PG⊥AC,垂足分别为E,F,G.
∵AP是∠BAC的平分线,∴PE=PG.
∵CP是∠ACB的平分线,∴PF=PG.
∴PE=PG=PF.
如图,AP,CP分别是△ABC的外角∠MAC,∠NCA的平分线,它们交于点P,PD⊥BM于点D,PF⊥BN于点F,BP是∠MBN的平分线吗 请说明理由.
解:BP是∠MBN的平分线.
理由如下:过点P作PE⊥AC于点E.
又∵AP,CP分别是∠MAC与∠NCA的平分线,且PD⊥BM,PF⊥BN,
∴PD=PE,PF=PE.∴PD=PF.
又∵PD⊥BM,PF⊥BN,
∴点P在∠MBN的平分线上.
∴BP是∠MBN的平分线.
课堂小结
三角形三条角平分线性质与三角形三边垂直平分线性质的特点:
特点
三角形三条 角平分线 (1)相交于一点,这一点在三角形内部,该点到三角形三边的距离相等;
(2)两个内角平分线的交点必在第三个内角的平分线上
三角形三边 垂直平分线 (1)相交于一点,这一点可能在三角形内部、外部或边上,该点到三角形三个顶点的距离相等;
(2)两边的中垂线的交点必在第三边的中垂线上
随堂演练
1．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是(　)
A．∠C的平分线一定经过点O
B．点O一定在△ABC的内部
C．点O到△ABC三边的距离一定相等
D．点O到△ABC三个顶点的距离一定相等
D
2．如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在(　　)
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的中垂线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三条角平分线的交点处
D
3．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
D