专题二 填空题专题训练
一 直解法、图解法及推理分析法解填空题
1．设全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，则下图中阴影部分表示的集合是__________．
2．已知集合U＝R，A＝，B＝{y| y＝x＋1，x ∈A}，则
(?UA)∩(?UB)＝____________．
3．设全集U＝R，A＝{x|>0}，?UA＝[－1，－n]，则m2＋n2＝________．
4．设x∈，则函数y＝的最小值为______．
5．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为________．
6．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个
实根，则实数a的范围是______________．
7．设A，B是非空集合，定义A×B＝{x |x ∈A∪B且x?A∩B}．已知
A＝{x| y＝}，B＝{y| y＝2x，x>0}，则A×B＝__________ ____．
8．设f(x)＝x3＋log2(x＋)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的__________条件．
9．集合A＝{(x，y)|y≥ |x－1|}，集合B＝{(x，y)|y≤－x＋5}．先后掷两颗骰子，
设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得点数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于________．
10．若关于x，y的不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
11．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________．
12．若数列{an}满足：对任意的n ∈N*，只有有限个正整数m使得am
13．直线y＝k x＋3k－2与直线y＝－x＋1的交点在第一象限，则k的取值范围是________．
14．已知四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长都为1，则x的取值范围
是________．
15．圆x2＋y2＝1的任意一条切线l与圆x2＋y2＝4相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则x1x2＋y1y2＝____ ____．
16．函数y＝f(x)的图像如图所示，其定义域为[－4,4]，那么不等式≤0的解集为________．
17．若不等式≤k(x＋1)的解集为区间[a，b]，且b－a＝1，则k＝________．
18．函数f(x)＝x－a在[1,4]上单调递增，则实数a的最大值为________．
19．关于平面向量a、b、c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°，其中真命题的序号为____ ____．(写出所有真命题的序号)
20．方程log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2的解是___ _____．
答 案
1．{2,4,6} 2．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 3．2
4． 5．2 6．(1，＋∞)
7．[0,1)∪(2，＋∞) 8．充要 9．
10．(－1,2) 11． 12．2 n2
13．16．[－4，－π)∪(－π，0)∪[，π) 17．
18．2 19．② 20．{1}
专题二 填空题专题训练
二 特殊化法、整体法及构造法解填空题
1．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2 008和a2 009是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2 010＋a2 011＝________.
2．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，则该数列的通项an＝________.
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S9＝18，Sn＝240，且an－4＝30 (n>9)，则n＝________.
4．若05．已知四次多项式f(x)的四个实根构成公差为2的等差数列，则f′(x)＝0的所有根中最大根与最小根之差是__________．
6．设等差数列{an}，{b n}的前n项的和分别为Sn与T n，若＝，则
＝______ __．
7．△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
＝m(＋＋)，则实数m＝__ __．
8．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________．当x＝－时，y的取值范围是__________．
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则＝________.
10．不论k为何实数，直线y＝k x＋1与曲线x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是______．
11．如图，过△ABC的重心G作一直线与AB，AC分别交于点D，E.若＝x，＝y，xy≠0，则＋的值为________．
12．已知log3x＝，那么x＋x2＋x3＋…＋xn＝______.
13．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积
是________．
14．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是偶函数，则a＝______．
15．函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝______.
16．已知函数f(x)＝sin x cos x＋＋3，若f(lg a)＝4，则f(lg )的值为______．
17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足＝sin A－sin B，则C＝________.
18．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为________．
19．过点P(1，)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝________.
20．已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y) (x，y ∈R)，则
f(2 011)＝____ ____．
答案
1．18 2．2n＋1－3 3．15
4．a7．1 8．(－∞，0) 9．
10．－1≤a≤3 11．3 12．1－n
13．9π 14．－1 15．2
16．2 17．60° 18．1
19． 20．
课件38张PPT。 《考前提分策略》
策略一 高考中选择题、
填空题的解题方法 在高考新课标全国卷的数学试卷中，选择题的题量为12个，分值为60分，占了相当大的比重。大部分选择题属于低中档题，但高考的选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点．选择题主要考查对基础知识的理解、对基本技能、基本计算、基本方法的熟练运用，以及考查考虑问题的严谨性，解题速度等方面。而选择题的特点是是四选一，只有一个正确答案，这就要求要有很高的准确率，但有些选择题如果按部就班的去解又太浪费时间，那怎么才能快速准确的去做选择题，这就需要我们注意一些解题策略。
首先，要认真审题。做题时忌讳的就是不认真读题，埋头苦算，结果不但浪费了大量的时间，甚至有时候还选错，结果事倍功半。所以一定要读透题，由题迅速联想到涉及到的概念，公式，定理以及知识点中要注意的问题。发掘题目中的隐含条件，要去伪存真，领会题目的真正含义。
其次，要注意解题方法。做题时除了按照解答题的思路直接来求以外，还要注意一些特殊的方法，比如说特殊值法，代入法，排除法，验证法，数形结合法等等。一│ 选择题的解题方法例题1 已知函数f(x)＝sin x＋cos x，g(x)＝2sin x，动直线x＝t与f(x)、g(x)的图像分别交于点P、Q，则|PQ|的取值范围是 ( )．
A．[0,1] B．[0,2]
（一） 直接法 所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”．其基本策略是由因导果，直接求解．答案 C 在三棱锥A－BCD中，已知侧面ABD⊥底面BCD，∠ABC＝60°，∠CBD＝45°，则侧棱AB与底面BCD所成的角为 ( )．
A．30° B．45°
C．60° D．75例题2解析 作AO⊥BD于点O，
则AO⊥底面BCD，
∴AB在底面BCD上的射影是BO，
∴直线AB与底面BCD所成的角为∠ABD.
∵cos∠ABC＝cos∠ABD·cos∠CBD，
∴∠ABD＝45°，
即直线AB与底面BCD所成的角为45°.答案 B特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中，所谓特例法，就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断．常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效．
（二） 特殊法答案 D
例题3已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(cos φ，sin φ)，若例题4答案 B点评：在题设条件都成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略．近几年高考选择题中可用或结合特例法来解答的约占30%.因此，特例法是求解选择题的绝招．
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．
（三） 排除法 若函数f(x)＝a－x(a>0，a≠1)是定义域为R的增函数，则函数
f(x)＝loga(x＋1)的图像大致是 ( )例题5解析 (排除法)∵f(x)＝loga(x＋1)定义域为{x|x>－1}，
∴排除A、B.
∴f(x)＝loga(x＋1)为定义域内的减函数，排除C.答案 D
若0(ax)2的解集中的整数恰有3个，则 ( )．
A．－1C．1∴排除D.
【例题7】答案 B
点评： 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中占有很大的比重．
数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．【例题8】（四） 数形结合法答案 C
用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设
f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 ( )．
A．4 B．5 C．6 D．7【例题9】解析:由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图像，(如图中实线部分为f(x)的图像)，可知A(4,6)为函数f(x)图像的最高点．
点评：严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉．图解法实际上是一种数形结合的解题策略．
答案 C 在选择题中，作精确计算不易时，可根据题干提供的信息，估算出结果的大致取值范围，排除错误的选项．对于客观性试题，合理的估算往往比盲目的精确计算和严谨推理更为有效，可谓“一叶知秋”．【例题10】（五） 估算法解析：因为cos2θ＋sin2θ＝1，则m一定为确定的值，答案 D 当单一的解题方法不能使试题迅速获解时，我们可以将多种方法融为一体，交叉使用，试题便能迎刃而解．根据题干提供的信息，不易找到解题思路时，我们可以从选项里找解题灵感．（六） 综合法解析:对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，即是x∈D1，有f(x)>0，x∈D2，有g(x)>0，其中D1∪D2＝R.通过分析，我们知道此题按常规思路解的难度很大，既要对m进行分类讨论，又要根据不同函数的性质来求解，所花时间会很多，不利于后面的解题．此时，我们应停下笔，静下心，仔细看看选项，也许它们能提供不错的解题思路．通过观察选项，我们发现2是一个特殊值，对其进行检验．当m＝2时，f(x)＝4x2－4x＋1＝(2x－1)2，g(x)＝2x.当x≤0时，f(x)>0；当x>0，g(x)>0，满足题意，所以选B.如果取一个特殊值还不足以说明问题，我们就多取几个，取值的原则为有利于计算，有利于发现问题的本质．以此题为例，假设若取m＝2未发现答案，则我们还可取m＝1或m＝4.答案 B 如图所示，P是正四面体V－ABC的面VBC上一点，点P到平面ABC距离与到点V的距离相等，则动点P的轨迹是 ( )
A．直线
B．抛物线
D．离心率为3的双曲线
【例题12】点评：综合法解题是高考数学中解选择题的常用方法，要求考生综合能力较高．答案 C 填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写．
从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．
二│ 填空题的解题方法（一） 直接求解法答案 －2
【例题1】点评：填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值、更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．
【例题2】答案 4 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题．
由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题能很好地考查学生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容．
（二） 数形结合求解法 曲线方程|x2－1|＝x＋k的实根随k的变化而变化，那么它的实根的个数最多有________个．
【例题3】解析： 如图所示，参数k是直线y＝x＋k在y轴上的截距，通过观察直线y＝x＋k与y＝|x2－1|的公共点的变化情况，并通过计算可知，
当k<－1时，有0个实根；当k＝－1时，有1个实根；当－1综上所述，可知实根个数最多为4个．
答案 4
已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有4个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
解析 函数在[0,2]上是增函数，由函数f(x)为奇函数，可得f(0)＝0，函数图像关于坐标原点对称，这样就得到了函数在[－2,2]上的特征图像．由
f(x－4)＝－f(x)?f(4－x)＝f(x)，故函数图像关于直线x＝2对称，这样就得到了函数在[2,6]上的特征图像．
根据f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，函数以8为周期，即得到了函数在一个周期上的特征图像，根据周期性得到函数在[－8,8]上的特征图像(如图所示)，根据图像不难看出方程f(x)＝m(m>0)的4个根中，有两根关于直线x＝2对称，另两根关于直线x＝－6对称，
故4个根的和为2×(－6)＋2×2＝－8.故填－8.
【例题4】点评：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果．
答案 －8 当填空题提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时，只需把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论．在运用这种方法时注意化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件等等．通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，达到对“一般”的解决．
（三） 特殊求解法 cos2α＋cos2(α＋120°)＋cos2(α＋240°)的值为______．
【例题5】【例题6】【例题7】【例题8】解析:由题意可知，三段圆弧的圆心构成一个等边三角形，则∠O1O2O3＝∠O2O1O3＝∠O2O3O1＝60°，则易得三段弧所对的圆心角
α1＝α2＝α3＝240°，点评：填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果．【例题9】 对任意的|m|≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m恒为负，则实数x的取值范围为________．
解析：对任意的|m|≤2，有mx2－2x＋1－m<0恒成立，即当|m|≤2时，(x2－1)m－2x＋1<0恒成立．设
g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则原问题转化为g(m)<0恒成立(m∈[－2,2])，（四） 等价转化求解法 若曲线y＝x2的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分，则实数m的取值范围为________．【例题10】解析 设抛物线上存在两点(x1，x)，(x2，x)关于直线y＝m(x－3)对称(可知此时m≠0)，则有点评：等价转化法的关键是要明确转化的方向或者转化的目标．
再 见课件43张PPT。《考前提分策略》
策略2 高考中解答题
的解题方法 在新课标的高考数学试卷中，数学解答题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值为70分，主要分7块：三角函数(或与平面向量交汇)、函数与导数(或与不等式交汇)、概率与统计、解析几何(或与平面向量交汇)、立体几何、数列(或与不等式交汇)，选修（几何证明、坐标系与参数方程或不等式）.从历年高考题综合看,这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，在高考数学备考中认真分析这些解题特点及时总结出来，这样有针对性的进行复习训练，能达到事半功倍的效果．一、解答题的地位及考查的范围解答题在高考中的地位、解答技巧及解答步骤 解答题在新课标的高考数学试卷中，所占分值几乎为试卷分值的一半，考生在解答解答题时，应注意正确运用解题技巧．
(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分．解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分．
(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分．有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．对这些不会做的题目可以采取以下策略：
①缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却可以得到一半以上．二、解答题的解答技巧②跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问的结论当作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．
③辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等．罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略．书写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应．
④逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．
第一步：(弄清题目的条件是什么，解题目标是什么？)
这是解题的开始，一定要全面审视题目的所有条件和答题要求，以求正确、全面理解题意，在整体上把握试题的特点、结构，多方位、多角度地看问题，不能机械地套用模式，而应从各个不同的侧面、角度来识别题目的条件和结论以及图形的几何特征与数学式的数量特征之间的关系，从而利于解题方法的选择和解题步骤的设计．
第二步：(探究问题已知与未知、条件与目标之间的联系，构思解题过程．)
根据审题从各个不同的侧面、不同的角度得到的信息，全面地确定解题的思路和方法．
第三步：(形成书面的解题程序，书写规范的解题过程．)
解题过程其实是考查学生的逻辑推理以及运算转化等能力．评分标准是按步给分，也就是说考生写到哪步，分数就给到哪步，所以卷面上讲究规范书写．三、求解答题的一般步骤第四步：(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及考查的知识、技能、基本活动经验等．)
(1)回头检验——即直接检查已经写好的解答过程，一般来讲解答题到最后得到结果时有一种感觉，若觉得运算挺顺利则好，若觉得解答别扭则十有八九错了，这就要认真查看演算过程．
(2)特殊检验——即取特殊情形验证，如最值问题总是在特殊状态下取得的，于是可以计算特殊情形的数据，看与答案是否吻合．主要题型：(1)三角函数式的求值与化简问题；(2)单纯三角函数知识的综合；(3)三角函数与平面向量交汇；(4)三角函数与解斜三角形的交汇；(5)单纯解斜三角形；(6)解斜三角形与平面向量的交汇．
解题策略：(1)观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向；(2)利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决；(3)利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化．
一│ 三角函数与平面向量第一步：思维过程 (探究问题已知与未知，条件与目标之间的联系，构思解题过程．)
(1)根据条件结合正弦定理可求a与c；
(2)由余弦定理将p用cos B表示，根据cos B的有界性求p的取值范围．第二步：规范解答 (形成书面的解题程序，书写规范的解题过程．)第三步：反思与回顾(反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点，用到的数学思想方法，以及考查的知识、技能、基本活动经验等．)主要题型：高考中的立体几何题目是很成熟的一种类型，常常考查“平行”、“垂直”两大证明及“空间角”的计算问题，解题方法上表现为传统方法：传统方法优势表现为计算简单，过程简洁，但是对概念的理解要求深刻、透彻．
解题策略：(1)利用“线线?线面?面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：①由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；②利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．(2)空间角的计算，主要步骤：一作，二证，三算．若用向量，那就是一证、二算．(3)点到平面的距离：①直接能作点到面的垂线求距离)；②利用“三棱锥体积法”求距离．二│ 立体几何 （满分12分)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．
(1)当CF＝1时，求证：EF⊥A1C；
(2)设二面角C－AF－E的大小为θ，求tan θ的最小值．
【例题2】第一步：思维过程 (1)要证线线垂直，先证线面垂直；(2)先过E作出二面角的平面角，再利用已知条件计算；(3)可以以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量方法求解．第二步：规范解答
过点E作EN⊥AC于点N，连接EF.
(1)证明 如图(1)，连接NF、AC1.由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C.
又底面ABC∩侧面A1C＝AC，且EN?底面ABC，所以图(1)
EN⊥侧面A1C.又A1C?平面A1C1，∴EN⊥A1C. (3分)
NF为EF在侧面A1C内的射影，
在Rt△CNE中，CN＝CEcos 60°＝1.
又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C.又NF∩NE＝N，
∴A1C⊥平面NEF.又EF?平面NEF，
∴EF⊥A1C. (6分)(2)解 如图(2)，连接AF，过点N作NM⊥AF于点M，连接ME.
由(1)知，EN⊥AF，又MN∩EN＝N，
∴AF⊥面MNE，∴AF⊥ME.
所以∠EMN是二面角C－AF－E的平面角，即∠EMN＝θ.
设∠FAC＝α，则0°<α≤45°.图(2)第三步：反思与回顾
本题还可利用向量来求解，这是一道较好的立体几何题，考查的知识点较多，但是难度却不是很大．主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．主要题型：(1)考查纯解析几何知识；(2)向量渗透于圆锥曲线中；(3)求曲线方程；(4)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题．
解题策略：(1)利用向量的知识转化平行、垂直、数量积等条件；(2)利用待定系数法求曲线方程；(3)利用“设而不求”结合韦达定理求交点问题；(4)利用函数与不等式处理范围与最值问题．三│ 解析几何第一步：思维过程(1)由椭圆方程易求；(2)设切线l的方程，将其与椭圆联立，根据弦长公式求|AB|，再结合基本不等式求|AB|的最大值． 第二步：规范解答解： (1)由椭圆方程可知，得a＝2，得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. (7分)
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则第三步：反思与回顾
本题考查椭圆的标准方程与几何性质．直线与椭圆的位置关系、两点间距离公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力、直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，解方程组．(1)当直线PA平分线段MN时，求k的值；
(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.【例题4】第一步：思维过程(1)求线段MN 的中点即可求出k；(2)由直线AP与椭圆联立求出点P，点A的坐标，从而求出直线AB的方程，由点到直线的距离公式求d；(3)采用“设而不求”的方法．
(2012·江苏)(满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C.连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k. (3)证明 设P(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A(－x1，－y1)，C(x1,0)．
设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2.
因为C在直线AB上，第三步：反思与回顾
本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．本题大多数考生能得到10分，放弃了第(3)问．认真思考一下，只要设出直线PB的斜率为k1，设出P、B两点的坐标，采用“设而不求”的方法推导，k1k＝－1或k1k＋1＝0即可．因此k1k＝－1，
所以PA⊥PB. (16分)主要题型：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前n项和的求法、最值等问题．如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强，一般表现为压轴题．
解题策略：(1)利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前n项和；(2)利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)；(3)利用错位相减、列项相消等方法解决数列求和；(4)利用函数与不等式处理范围和最值问题．四│ 数列综合题【例题5】第一步：思维过程 利用基本量法求出首项和公比，求出通项公式；通过对数运算求出bn，再利用裂项法求和．第三步：反思与回顾
等差数列、等比数列、数列求和是高考重点考查的内容，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即问题的解答常用的方法可以归纳为几种．因此，考生有效地化归问题是正确解题的前提，合理地构建方法是成功解题的关键，正确的处理过程是制胜的法宝． （满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，
an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论．【例题6】第一步：思维过程 (1)求出数列{an}的递推关系，由递推关系求通项；(2)分r＝0与r≠0讨论，当r≠0时，结合Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk推出ak＋1
与ak＋2的关系式再转化为am与am＋1的关系式，从而得到证明．第二步：规范解答
(1)解：由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减，得
an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1. (2分)
又a2＝ra1＝ra，所以，当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…； (3分)
当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列． (8分)
当r≠0，r≠－1时，
∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，
若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，
则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，
∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1. (10分)
由(1)知，a2，a3，…，am，…的公比r＋1＝－2，于是
对于任意的m∈N *，且m≥2，am＋1＝－2am，
从而am＋2＝4am，
∴am＋1＋am＋2＝2am，
即am＋1，am，am＋2成等差数列．
综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列．(12分)第三步：反思与回顾
本题是以an和Sn为先导的综合问题，主要考查等差、等比数列的基础知识以及处理递推关系式的一般方法．失分的原因有：第(1)问中漏掉r＝0的情况，导致结论写为an＝r(r＋1)n－2a；第(2)问中有的考生也漏掉
r＝0的情况，很多考生不知将Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk转化为ak＋1与ak＋2的关系式，从而证明受阻．【例题7】(满分14分)已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋(－1)n－12，n∈N*，且a1＝2. (1)求a2，a3的值； (2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明：{cn}是等比数列； (3)设Sn为{an}的前n项和，证明：S1a1＋S2a2＋…＋S2n－1a2n－1＋S2na2n≤n－13(n∈N*)． 思维过程：当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8. (4分)
(2)证明 对任意n∈N*，
a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1， ①
2a2n＋a2n＋1＝22n＋1. ②
②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1，[反思与回顾] 第三步：主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大．第(2)问与第(1)问相比，难度有所加大，难点就在归纳出一般的式子及递推关系式，第(3)问难度更大．从阅卷中发现，几乎没有考生得满分，少数考生得前两问的分数，部分考生得第(1)问的分数．主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)利用导数研究不等式恒成立与证明等问题；(3)以函数为载体的建模问题．
解题策略：(1)研究导函数f′(x)的符号，处理单调性、极值点与最值问题；(2)实际应用题一般先建立目标函数，再利用导数求解；(3)解(证)不等式问题一般要构造函数，再利用导数求解．五│ 函数、导数、不等式的综合题【例题8】▲【思维过程】 (满分12分)设f(x)＝－13x3＋12x2＋2ax. (1)若f(x)在è????÷÷?23，＋∞上存在单调递增区间，求a的取值范围； (2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值． 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．(8分)
当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，
所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，
[反思与回顾] 第三步：用导数研究函数单调性、极值与最值是历年必考内容，尤其是含参数函数的单调性问题成为高考命题的热点，近几年新课标高考卷中发现：若该内容的题目放在试卷压轴题的位置上，试题难度较大；若放在试卷前几题的位置上，难度不大．(满分14分)设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝1x，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1)求g(x)的单调区间和最小值； (2)讨论g(x)与gè????÷÷?1x的大小关系； (3)是否存在x0＞0，使得|g(x)－g(x0)|＜1x对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思维过程】令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间．
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，
所以最小值为g(1)＝1. (4分)当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减．[反思与回顾] 第三步：本题将函数、导数和不等式有机地结合在一起，试题难度较大．本题分三小问，第(1)问较容易；第(2)问也是平时练习常用的方法：构造函数法，再用导数求出函数的最大值或最小值，且这个最大值小于零，最小值大于零；第(3)问采用反证法，难度较大，难点在于不容易找到与题设矛盾的特例．第(3)问还有一种证法如下：再 见专题三 解答题专题训练
题型一 三角函数的单调性及求值问题
1．已知函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1(x ∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，]上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈[，]，求cos 2x0的值．
2．已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1 (ω>0)的图像的两
个相邻交点之间的距离为π.
(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图像向左平移个单位得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合．
答 案
1．解：(1)由f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x－1，得
f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最小正周期为π.
因为f(x)＝2sin (2x＋)在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又f(0)＝1，f()＝2，f()＝－1，
所以函数f(x)在区间[0，]上的最大值为2，最小值为－1.
(2)由(1)可知f(x0)＝2sin (2x0＋)．
因为f(x0)＝，所以sin (2x0＋)＝.
由x0∈[，]，得2x0＋∈[，]，
从而cos(2x0＋)＝－＝－.
所以cos 2x0＝cos[(2x0＋)－]＝cos(2x0＋)cos ＋sin (2x0＋)sin＝.
2．解：(1)f(x)＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx－1＝2sin.
由题意可知函数的周期T＝＝π，即ω＝1，
所以f(x)＝2sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，其中k ∈Z，
解得k π－≤x≤ k π＋，其中k ∈Z，
即f(x)的单调递增区间为，k ∈Z.
(2)g(x)＝f＝2sin＝2sin，
则g(x)的最大值为2，此时有2sin＝2，
即sin＝1，即2x＋＝2kπ＋，k∈Z.
解得x＝kπ＋ (k∈Z)，
所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为
.
专题三 解答题专题训练
题型七 概率问题
1．口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5.甲先摸出一
个球，记下编号为a，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b.
(1)求“a＋b＝6”事件发生的概率；
(2)若点(a，b)落在圆x2＋y2＝21内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由．
2．在甲、乙等6个单位中的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；
(2)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．
答 案
1． 解:(1)设“a＋b＝6”为事件A，其包含的基本事件为：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5个，又因为基本事件空间有5×5＝25(个)，所以P(A)＝＝.
(2)这个游戏规则不公平．
设甲胜为事件B，则其所包含的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13个．
所以P(B)＝>，故而对乙不公平．
2． 解:考虑甲、乙两个单位的排列．甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任意2个，有6×5＝30种等可能的结果．
(1)设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”．
则A包含的结果有3×2＝6种．
故所求概率为P(A)＝＝.
(2)设B表示“甲、乙两单位的演出序号不相邻”，则表示甲、乙两单位序号相邻，包含的结果有5×2！＝10种．
故所求概率为P(B)＝1－P()＝1－＝.
专题三 解答题专题训练
题型三 由数列的前n项和Sn与通项an的关系求通项an
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，a1＝.
(1)求证：为等差数列；
(2)求an的表达式．
2．已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足：10Sn＝a＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列．
(1)证明：数列{an}是等差数列，并求出其通项an；
(2)设bn＝，Mn是数列{bn}的前n项和，求使得Mn<对所有的n ∈N*都成立的实数m的取值范围．
答 案
1．(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1 (n≥2)，
an＋2Sn·Sn－1＝0 (n≥2)，
∴Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0.
∵Sn≠0，∴－＝2 (n≥2)．
由等差数列的定义，可知是以＝＝2为首项，以2为公差的等差数列．
(2)解：方法一 由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴Sn＝.
当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－；
当n＝1，a1＝，不满足上式，
故an＝
方法二 由(1)，知＝＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝－＝－，
当n＝1时，a1＝，不满足上式，
故an＝
2．(1)证明：∵10Sn＝a＋5an＋6， ①
∴10a1＝a＋5a1＋6，解之得a1＝2或a1＝3.
又10Sn－1＝a＋5an－1＋6 (n≥2) ②
由①－②得10an＝(a－a)＋5(an－an－1)，
即(an＋an－1)(an－an－1－5)＝0.
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝5 (n≥2)，
∴数列{an}是等差数列．
当a1＝3时，a3＝13，a15＝73，a1，a3，a15不成等比数列，
∴a1≠3.
当a1＝2时，a3＝12，a15＝72，a1，a3，a15成等比数列，
∴a1＝2.∴an＝5n－3.
(2)由(1)，得an＝5n－3，所以有：
bn＝＝＝＝
∴Mn＝b1＋b2＋…＋bn＝[＋＋…＋]＝<.
为使Mn<对所有的n ∈N*都成立，必须且只须≥，得m≥4，即实数m的取值范围是m≥4.
专题三 解答题专题训练
题型九 函数的单调性、最值、极值问题
1．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx在点x0处取得极小值5，其导函数的图像经过(1,0)，(2,0)，如图所示，求：
(1)x0的值；
(2)a，b，c的值；
(3)f(x)的极大值．
2．已知函数f(x)＝x ln x.
(1)求f(x)的最小值；
(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0 (m ∈R)的解的个数．
答 案
1．解：(1) f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
观察图像，我们可发现当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0，此时f(x)为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，此时f(x)为增函数，
因此在x＝2处函数取得极小值．
结合已知，可得x0＝2.
(2)由(1)知f(2)＝5，即8a＋4b＋2c＝5.
再结合f′(x)的图像可知，方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根分别为1,2，
那么 即
联立8a＋4b＋2c＝5，得a＝，b＝－，c＝15.
(3)由(1)知f(x)在x＝1处函数取得极大值，
∴f(x)极大值＝f(1)＝a＋b＋c＝－＋15＝.
2．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝，
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以，f(x)在(0，＋∞)上的最小值是f＝－.
(2)当x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；
当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是，
下面讨论f(x)－m＝0的解，当m<－时，原方程无解；
当m＝－或m≥0，原方程有唯一解；
当－专题三 解答题专题训练
题型二 与平面向量综合的三角函数问题
1．已知向量a＝(2cos x，sin x)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈时，求f(x)的单调递减区间．
2．设A，B，C为△ABC的三个内角，m＝(sin B＋sin C,0)，n＝(0，sin A)，且
|m|2－|n|2＝sin Bsin C.
(1)求角A的大小；
(2)求sin B＋sin C的取值范围．
答 案
1．解：(1)f(x)＝2cos xsin＋sin x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，
所以T＝π.
(2)－≤x≤0，所以－≤2x＋≤.
当－≤2x＋≤－，
即－≤x≤－时，f(x)单调递减，
所以单调递减区间为.
2．解：(1)∵|m|2－|n|2＝(sin B＋sin C)2－sin2A＝sin2B＋sin2C－sin2A＋2sin Bsin C，
依题意有sin2B＋sin2C－sin2A＋2sin Bsin C＝sin Bsin C，
∴sin2B＋sin2C－sin2A＝－sin Bsin C，
由正弦定理，得b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－.
又∵0(2)sin B＋sin C＝sin B＋sin＝sin B＋cos B＝sin，
∵B＋C＝，∴0则专题三 解答题专题训练
题型五 立体几何中的空间角问题
1．如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF∥平面BCE；
(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；
(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
2．如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是AB的
中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B—PA—C的余弦值．
答 案
1．(1)证明
设AD＝DE＝2AB＝2a，以A为原点，AC为x轴，AB为z轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz，
则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．
因为F为CD的中点，
所以F.
＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)．
因为＝(＋)，AF?平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)证明：因为＝，＝(－a，a,0)，
＝(0,0，－2a)，故·＝0，
·＝0，所以⊥，⊥.
所以⊥平面CDE.
又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
(3)解：设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)．
由n·＝0，n·＝0，
可得x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)．
又＝，设BF和平面BCE所成的角为θ，
则sin θ＝＝＝.
所以直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.
2．方法一 (1)证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，
所以AC⊥PO.
因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，
所以AC⊥平面POD，
而AC?平面PAC，
所以平面POD⊥平面PAC.
(2)解：在平面POD中，过O作OH⊥PD于H，由(1)知，平面POD⊥平面PAC，
所以OH⊥平面PAC.
又PA?平面PAC，所以PA⊥OH.
在平面PAO中，过O作OG⊥PA于G，连结HG，
则有PA⊥平面OGH，从而PA⊥HG，
故∠OGH为二面角B—PA—C的平面角．
在Rt△ODA中，OD＝OA· sin 45°＝.
在Rt△POD中，OH＝＝＝.
在Rt△POA中，OG＝＝＝.
在Rt△OHG中，sin ∠OGH＝＝＝.
所以cos ∠OGH＝＝＝.
故二面角B—PA—C的余弦值为.
方法二：
(1)证明 如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，
D.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，
则由n1·＝0，n·＝0，
得
所以z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，
则由n2·＝0，n2·＝0，得
所以x2＝－z2，y2＝z2.取z2＝1，得n2＝(－，，1)．
因为n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，所以n1⊥n2.
从而平面POD⊥平面PAC.
(2)解：因为y轴⊥平面PAB，
所以平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．
由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．
设向量n2和n3的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
由图可知，二面角B—PA—C的平面角与θ相等，
所以二面角B—PA—C的余弦值为.
专题三 解答题专题训练
题型八 离散型随机变量的分布列，期望与方差
1．已知某投资项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是x (0ξ
0
1
2
3
η
2
1
0
－1
(1)求η的分布列；
(2)若η的数学期望超过1万元时，才可以投资，则x在什么范围内就可以投资？
2．某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样的方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；
(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．
答 案
1． 解：(1)η的值为2,1,0，－1.
P(η＝2)＝Cx0(1－x)3＝(1－x)3，
P(η＝1)＝C x(1－x)2＝3x(1－x)2.
P(η＝0)＝Cx2(1－x)＝3x2(1－x)，
P(η＝－1)＝Cx3＝x3.
∴η的分布列为：
η
2
1
0
－1
P
(1－x)3
3x(1－x)2
3x2(1－x)
x3
(2)E(η)＝2(1－x)3＋3x(1－x)2－x3＝2－3x.
令2－3x>1，得x<，
所以当02．解：(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝＝.
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3.
Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.
B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．
Ai(i＝0,1,2)与B独立，
P(ξ＝0)＝P(A0)＝P(A0)·P()＝·＝，
P(ξ＝1)＝P(A0·B＋A1·)＝P(A0)·P(B)＋P(A1)·P()＝·＋·＝，
P(ξ＝3)＝P(A2·B)＝P(A2)·P(B)＝·＝，
P(ξ＝2)＝1－[P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)]＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
专题三 解答题专题训练
题型六 解析几何中的探索性问题
1．设椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A，△AF1F2为正三角形，且以AF2为直径的圆与直线y＝x＋2相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)在(1)的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
2．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2,0)为其右焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
答 案
1．解：(1)∵△AF1F2是正三角形，∴a＝2c.
由已知F2(c,0)，A(0，b)，
∴以AF2为直径的圆的圆心为，半径r＝a.
又该圆与直线x－y＋2＝0相切，
则有＝.
由a＝2c，得b＝c，∴＝.
得a＝2，∴c＝1，b＝.
椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F2(1,0)，l：y＝k(x－1)，
由
得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴＋＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2)．
由菱形对角线垂直，则(＋)·＝0，
∴(x1＋x2－2m)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，
得k(y1＋y2)＋x1＋x2－2m＝0，
得k2(x1＋x2－2)＋x1＋x2－2m＝0，
k2＋－2m＝0.
由已知条件k≠0，且k∈R，∴m＝＝.
∵>0，∴0故存在满足题意的点P且m的取值范围是.
2．解：方法一 (1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.
由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.
因为直线l与椭圆C有公共点，
所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，
解得－4≤t≤4.
另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，
解得t＝±2.
由于±2?[－4，4]，
所以符合题意的直线l不存在．
方法二 (1)依题意，可设椭圆C的方程为
＋＝1(a>b>0)，
且有解得b2＝12，b2＝－3(舍去)．
从而a2＝16.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)同方法一．
专题三 解答题专题训练
题型十 含参数不等式的恒成立问题
1．已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.
(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；
(2)若a>，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．
2．设函数f(x)＝x3＋2ax2＋b x＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x ∈R，a、b为常数，已知曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(1)求a、b的值，并写出切线l的方程；
(2)若方程f(x)＋g(x)＝m x有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1答 案
1．解：(1)当a＝1时，对函数f(x)求导数，得
f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
列表讨论f(x)、f′(x)的变化情况：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大
值6
↘
极小值－26
↗
所以f(x)的极大值是f(－1)＝6，极小值是f(3)＝－26.
(2)f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图像是一条开口向上的抛物线，关于直线x＝a对称．
若从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值是f′(4a)＝15a2.
由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，
于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a.
由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1；
由f′(4a)≤12a，得0≤a≤.
所以a∈∩∩，
即a∈.
若a>1，则|f′(a)|＝12a2>12a，故当x∈[1,4a]时|f′(x)|≤12a不恒成立．
所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是.
2．解：(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.
由于曲线y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，
故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1，
由此得 解得
所以切线l的方程为x－y－2＝0.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，
所以f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.
依题意，方程x(x2－3x＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程x2－3x＋2－m＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－.
又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)特别地，取x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m恒成立，得m<0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0.
故0对任意的x∈[x1，x2]，有x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，
所以f(x)＋g(x)－m x＝x(x－x1)(x－x2)≤0.
又f(x1)＋g(x1)－mx1＝0，
所以函数f(x)＋g(x)－m x在x∈[x1，x2]上的最大值为0.
于是当m<0时，对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)综上所述，m的取值范围是.
专题三 解答题专题训练
题型四 立体几何中的基本关系与基本量问题
1．如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝AD，E是线段AB的中点．
(1)求证：PE⊥CD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．
2．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面ACM；
(2)证明：AD⊥平面PAC；
(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．
答 案
1．(1)证明：因为AD⊥侧面PAB，
PE?平面PAB，所以AD⊥PE.
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB.
因为AD∩AB＝A，所以PE⊥平面ABCD.
而CD?平面ABCD，所以PE⊥CD.
(2)解：由(1)知：PE⊥平面ABCD，
所以PE是四棱锥P—ABCD的高．
由DA＝AB＝2，BC＝AD，可得BC＝1.
因为△PAB是等边三角形，求得PE＝.
所以VP—ABCD＝SABCD·PE＝×(1＋2)×2×＝.
2．(1)证明：
连结BD，MO.
在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．
又M为PD的中点，
所以PB∥MO.
因为PB?平面ACM，
MO?平面ACM，
所以PB∥平面ACM.
(2)证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，
所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.
又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
所以PO⊥AD.
而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.
(3)解：取DO中点N，连结MN，AN.
因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.
由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD.
所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．
在Rt △DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.
从而AN＝DO＝.
在Rt △ANM中，tan ∠MAN＝＝＝，
即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.
考前赠分专题
专题一 选择题专题训练
一 直解法、图解法及推理分析法解选择题
1．已知集合P＝{－1,0,1}，Q＝{y| y＝cos x，x ∈R}，则P∩Q等于 ( )
A．P B．Q C．{－1,1} D．{0,1}
2．已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量
与向量的夹角的取值范围是 ( )
A．[0，] B．[，]
C．[，] D．[，]
3．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数
fK(x)＝取函数f(x)＝2－|x|，当K＝时，函数fK(x)的单调递增区间为 ( )
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
4．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为S n，则等于 ( )
A．2 B．4 C． D．
5．若0<α<β<，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，则 ( )
A．a>b B．aC．a b<1 D．a b>2
6．在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
7．已知sin θ＝，cos θ＝(<θ<π)，则tan等于 ( )
A． B．||
C． D．5
8．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|＋|＝|－|(其中O为坐标原点)，则实数a的值为 ( )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．或－
9．设S n是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于 ( )
A．13 B．35 C．49 D．63
10．自圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0外一点P(0,4)向圆引两条切线，切点分别为A、B，则·等于 ( )
A． B． C． D．
11．已知集合A＝，B＝{x|x2－(1＋a)x＋a<0}．若A?B，则a的取值范围是 ( )
A．13 D．112．已知对于任意的k ∈R，直线y－k x－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0,5)
C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1，＋∞)
13．不等式x2－log ax<0在x∈(0，)时恒成立，则a的取值范围是 ( )
A．0C．a>1 D．014．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A． B．－ C． D．－
15．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 ( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
16．已知函数f(x)＝log a(x2－ax＋3) (a>0，且a≠1)满足：对任意实数x1，x2，当x10，则实数a的取值范围是 ( )
A．(0,3) B．(1，＋∞)
C．(2,2) D．(1,2)
答案
1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．C 7．D 8．C 9．C 10.A
11．B 12．C 13．B 14．C 15．D 16．D
专题一 选择题专题训练
二 排除法、特值验证法及估算法解选择题
1．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，B＝{0,3,6,9,12}，则A∩(?NB)等于 ( )
A．{1，5，7} B．{3，5，7}
C．{1，3，9} D．{1，2，3}
2．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k ∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么 ( )
A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向
3．已知函数y＝tan ω x在内是减函数，则 ( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
4．对于等比数列{an}，已知a4，a12是方程2x2－11x＋6＝0的两根，则a8等于( )
A． B．3 C．± D．±3
5．数列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，则a6等于 ( )
A．3 B． C．11 D．
6．已知A、B、C、D是抛物线y2＝8x上的点，F是抛物线的焦点，且
＋＋＋＝0，则||＋||＋||＋||的值为 ( )
A．2 B．4 C．8 D．16
7．已知P、Q是椭圆3x2＋5y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点，则＋等于 ( )
A．34 B．8 C． D．
8． 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝，四棱锥E—ABCD的高为2，则该多面体的体积为 ( )
A． B．5 C．6 D．
9．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则S n的值为( )
A．2n B．2n－n
C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2
10．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是 ( )
A．0C．a≤1 D．011．若函数y＝是奇函数，当x>0时，其对应的图像如图，则f(x)等于 ( )
A．－2x－3 B．－2x＋3
C．2x－3 D．2x＋3
12．已知点P是椭圆＋＝1 (x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是 ( )
A．[0,3) B．(0,2)
C．[2，3) D．[0,4]
13．若函数f(x)＝x2＋(2a＋1)|x|＋1的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是 ( )
A．a<－或a> B．－C．a>－ D．a<－
14．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy (x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于 ( )
A．2 B．3 C．6 D．9
15．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是 ( )
A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6]
16．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)图像可能是 ( )
答 案
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．B 8．D 9．D
10．C 11．D 12．B 13．D 14．C 15．B 16．D
