沪科版数学八年级上册 15.4 第3课时　三角形的角平分线 同步课时练习（word版 含解析）

第3课时　三角形的角平分线
知识点 1　三角形内角平分线的性质
1.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线,如图果两条平分线交于点O,那么下列选项中不正确的是(　　)
A.∠C的平分线一定经过点O
B.点O一定在△ABC的内部
C.点O到△ABC三边的距离一定相等
D.点O到△ABC三个顶点的距离一定相等
2.如图,P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F,则PD　　　　PE　　　　PF.
3.△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为6 cm,4 cm,4 cm,P为三条角平分线的交点,则△ABP,△BCP,△ACP的面积比等于　　　　　　.
知识点 2　三角形角平分线的实际应用
4.是一块三角形草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,则凉亭的位置应选在(　　)
A.△ABC的三条中线的交点处
B.△ABC三边的垂直平分线的交点处
C.△ABC三条高所在直线的交点处
D.△ABC三条角平分线的交点处
5.如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在(　　)
A.AC,BC两边上的高线的交点处
B.AC,BC两边上的中线的交点处
C.∠A,∠B两内角平分线的交点处
D.AC,BC两边垂直平分线的交点处
6.如图,直线a,b,c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(　　)
A.一处 　　 B.两处
C.三处 　　 D.四处
7.如图,已知AB+AC=18,O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点,且OD⊥BC于点D.若OD=3,则四边形ABOC的面积是(　　)
A.36 B.27 C.20 D.18
8.[2020·合肥颍州区期末] 如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,过点O作OD⊥AC于点D.有下列四个结论:
①EF=BE+CF;
②∠BOC=90°+∠A;
③点O到△ABC各边的距离相等;
④设OD=m,AE+AF=n,则S△AEF=mn.
其中正确的结论是　　　　.(填序号)
9.如图,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,过点D作直线EF分别交AB,AC于点E,F,AE=AF.
(1)求证:ED=FD;
(2)若∠ACB=60°,CD=4,且△ABC的周长为16,求△ABC的面积.
答案
1.D　2.=　=　3.3∶2∶2
4.D　
5.C　解： 根据角平分线的性质,集贸市场应建在∠A,∠B两内角平分线的交点处.故选C.
6.D
7.B　解： 过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,连接OA,根据角平分线的性质得出OE=OD=OF=3,则S四边形ABOC=S△AOB+S△AOC=AB·OE+AC·OF=AB+AC·3=×18×3=27.
8.①②③　解： ∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF.
∵EF∥BC,
∴∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC,
∴∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF,
∴BE=OE,CF=OF,
∴EF=OE+OF=BE+CF,
故①正确.
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB.
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A,
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+∠A,故②正确;
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴点O到△ABC各边的距离相等,故③正确;过点O作OM⊥AB于点M,作ON⊥BC于点N,连接OA,
∵在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,
∴ON=OD=OM=m,
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE·OM+AF·OD=OD·(AE+AF)=mn,故④错误.
9.解:(1)证明:如图,连接AD,则AD平分∠BAC(三角形的三条角平分线交于一点).
∵AE=AF,
∴ED=FD(等腰三角形“三线合一”).
(2)过点D作DG⊥BC,DK⊥AB,DH⊥AC,垂足分别为G,K,H,如图.
∵∠ACB=60°,CD=4,
∴∠HCD=30°,∴DH=CD=2.
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,
∴DK=DG=DH=2.
∴S△ABC=S△ADB+S△ADC+S△BDC
=×2×AB+×2×AC+×2×BC
=AB+AC+BC.
又∵△ABC的周长为16,∴S△ABC=16.