高中数学人教A版（2019）必修 第一册 第一章 1.3 集合的基本运算 学案（Word版含答案）

集合的基本运算
【学习目标】
1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2．体验通过实例的分析和阅读来自学探究集合间的关系与运算的过程，培养学生的自学阅读能力和自主探究能力。
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
【学习重难点】
1．学习重点：并集、交集、补集的含义，利用维恩图与数轴进行交并补的运算。
2．学习难点：弄清并集、交集、补集的概念，符号之间的区别与联系。
【学习过程】
1．一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作（读作“A并B”），即。
2．由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作A交B，即。
3． _____A_____， _____A_____，__________，．
4．若，则_____A_____，_____B_____。
5．，，，．
一、求两个集合的交集与并集
例1　求下列两个集合的并集和交集。
（1），；
（2）。
解：（1）如图所示，，
。
（2）结合数轴（如图所示）得：
。
点评:求两个集合的交集依据它们的定义，借用Venn图或结合数轴分析两个集合的元素的分布情况，有利于准确写出交集。
变式迁移1
（1）设集合等于（　　）
A．
B．
C．
D．
（2）若将（1）中A改为，求．
（1）答案　A
解析　画出数轴，故。
（2）解　如图所示，
当时，；
当时，；
当时。
二、已知集合的交集、并集求参数问题
例2：已知集合，若，求的值。
分析:由题目可获取以下主要信息：①集合A、B中均含有参数；②且．解答此题可由条件知，从而有或，解得后再进行检验。
解：∵，
∴，∴或，∴或．
当时，。
此时。故舍去。
当时，，不符合要求，舍去。
经检验可知符合题意。
点评：处理与集合元素有关问题时，最后结果要检验，一方面看是否符合题意，一方面看是否符合集合元素的三大特征。
变式迁移2：本例中，若将条件“”变为“”。则的值又是什么？
解　∵且，∴，
∴或∴或．
而当时，，故舍去。
∴或．
三、并集、交集性质的综合应用
例3　设。
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
解：
化简集合A，得。
（1）由于，则有可知集合B或为空集，或只含有根0或．
①若，由，得．
②若，代入，
得，即或，
当时，，符合题意；
当时，，也符合题意。
③若，代入，
得，即或，
当时，②中已讨论，符合题意；
当时，，不合题意。
综合①②③得或．
（2）因为，所以，又，
而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，
因此应有．由（1）知，．
点评：明确和的含义，根据问题的需要，将和转化为等价的关系式和是解决本题的关键。另外在时易忽视时的情况。
变式迁移3：已知集合，若，求实数的取值范围。
解　∵，∴，
∴，∴．
【达标检测】
一、
1．的定义中“或”的意义与通常所说的“非此即彼”有原则的区别，它们是“相容”的。求A∪B时，相同的元素在集合中只出现一次。
2．，，这两个性质非常重要，另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况
二、选择题
1．设集合，，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
答案　A
2．下列四个推理：①；②；③；④其中正确的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案　C
解析　②③④正确。
3．设，，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
答案　A
解析　结合数轴知。
4．已知，，若，则实数的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案　C
解析　结合数轴知答案C正确。
5．满足条件的集合的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
答案　B
解析:由已知得或，共2个。
三、填空题
6．设集合，集合，则_________________________，A∩B=_________________________。
答案　
7．设集合，，若，则实数的取值范围为____________________。
答案　
解析　由，借助于数轴知．
8．已知集合，且，则____________________。
答案　
解析　如图所示，
可知，，．
四、解答题
9．已知集合，，若，求及．
解：　∵，∴．
∴或．解得或。
若，则。
若，则。
10.设集合，，若，求实数的取值范围。
解　，∵，
∴，集合B有两种情况，或。
（1）时，方程无实数根，
∴，∴．
（2）时，当时，，满足条件；
当时，若1，2是方程的根，
由根与系数的关系知矛盾，无解，∴．
综上，的取值范围是．