组合
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文档简介
10.3 组合
●知识梳理
1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.
2.组合数公式C=.
3.组合数的两个性质：
（1）C=C；（2）C=C+C.
●点击双基
1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是
A.140 B.84 C.70 D.35
解析：取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C·C种；
②1台甲型2台乙型，有C·C种.
∴C·C+C·C=30+40=70（种）.
答案：C
特别提示
先从甲型、乙型中各抽1台，有C·C种，再从余下的中选1台，有C种，
故有C·C·C=140（种）.解法不正确.
2.（2004年北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于
A. B. C. D.
解析：n=C=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2.
∴==.
答案：B
3.已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X共有_____________个.
A.2 B.6 C.4 D.8
解析：由题意知集合X中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，
故有C+C+C+C=8（个）.
答案：D
4.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.
解析：设四棱锥为P—ABCD.（1）P：C，A：C，B：C，C与B同色：1，D：C.
（2）P：C，A：C，B：C，C与B不同色C，D：C.
共有C·C·C·1·C+C·C·C·C·C=420.
答案：420
5.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.
解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法：C=C=36.
答案：36
●典例剖析
【例1】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法
解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.
以只会英语的人数分类，C·C·C+C·C=20.
【例2】 设集合A={1，2，3，…，10}，
（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；
（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，an，求a1+a2+a3+…+an的值.
解：（1）A的3元素子集的个数为n=C=120.
（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C个，因此a1+a2+…+an=
C×（1+2+3+…+10）=1980.
评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.
【例3】 从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？
解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有CCC种；②仅在A中取3个数，有C种；③仅在B中取3个数，有C种；④仅在C中取3个数，有C种.故由加法原理得共有C·C·C+3C=1360种.
评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.
思考讨论
讨论下面的问题：
用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？
提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21.
【例4】 如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？
解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步（横向走）的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C=C=35条.
深化拓展
1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m－2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n－1）段，其余的为南北方向的（m－1）段，所以共有C=C种走法.
2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_____________.
解：设一步一级x步，一步两级y步，则
故走完楼梯的方法有C=28种.
●闯关训练
夯实基础
1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有
A.240种 B.180种 C.120种 D.60种
解析：先从6双手套中任选一双，有C种取法，再从其余手套中任选2只，有C种，其中选一双同色手套的选法为C种.故总的选法数为C（C－C）=240种.
答案：A
2.（2004年江苏，3）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
解析：7人中任选4人，共C种选法，扣除只有男生的选法C，就可得有既有男生，又有女生的选法C－C=34.
答案：D
3.（2004年湖北，理14）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.（以数字作答）
解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，∴共有2C=240种.
答案：240
4.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种.
解析：把6个班均匀分为3份，有种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有A=CCC种.
答案：90
5.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？
解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论.
①3辆车都从1个队抽，有C种；②3辆车从2个队抽，有A种；③3辆车从3个队抽，有C种.
综上所述，共有C+A+C=84种.
6.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种
解法一：取出4个球不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白.
故有C+CC+CC+CC=195种.
解法二：取出4个球总分低于5分只能是4个白球，故有C－C=195种.
培养能力
7.（理）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张
分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.
解：按“多面手”的参与情况分成三类.
第一类：多面手不参加，这时有CC种；
第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有CCC+CCC种；
第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有CCC+CCC+CCCC种.
综上分析，共可开出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=
185种.
评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有CC+CCC+CCC=185种.
（文）某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.
（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种
（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种
（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种
（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种
（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种
解：（1）C=561.
（2）C=5984.
（3）C·C=2100.
（4）C·C+C=2555.
（5）C+CC+CC=6090.
探究创新
8.有点难度哟！
从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法
解：（1）若取出的2个数都大于50，则有C种.
（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，
当取1时，另1个只能取100，有C种取法；
当取2时，另1个只能取100或99，有C种取法；
……
当取50时，另1个数只能取100，99，98，…，51中的一个，有C种取法，所以共有1+2+3+…+50=.
故取法种数为C+=+=2500.
●思悟小结
1.组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算.
2.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.
3.解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义.
4.各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.
●教师下载中心
教学点睛
1.要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组合）后排列两个步骤进行.
2.熟练掌握组合数公式的两种形式.
拓展题例
【例题】 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.
（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；
（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.
解：（1）C=126种.
（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有CC=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C（CC）种，作后卫位有C（CC）种，共C（CC）+C（CC）=340种；③甲、乙都上场，有CC+CC+C（CC）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.
●知识梳理
1.组合的概念：从n个不同元素中任取m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C表示.
2.组合数公式C=.
3.组合数的两个性质：
（1）C=C；（2）C=C+C.
●点击双基
1.从4台甲型电脑和5台乙型电脑中任取3台，其中两种电脑都要取，则不同的取法种数是
A.140 B.84 C.70 D.35
解析：取3台分两类：①2台甲型1台乙型，有C·C种；
②1台甲型2台乙型，有C·C种.
∴C·C+C·C=30+40=70（种）.
答案：C
特别提示
先从甲型、乙型中各抽1台，有C·C种，再从余下的中选1台，有C种，
故有C·C·C=140（种）.解法不正确.
2.（2004年北京，理17）从长度分别为1、2、3、4、5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m，则等于
A. B. C. D.
解析：n=C=10，由余弦定理知可组成钝角三角形的有“2、3、4”和“2、4、5”，故m=2.
∴==.
答案：B
3.已知{1，2}X{1，2，3，4，5}，满足这个关系式的集合X共有_____________个.
A.2 B.6 C.4 D.8
解析：由题意知集合X中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中可以不取，取1个，取2个，取3个，
故有C+C+C+C=8（个）.
答案：D
4.（2003年东北三校模拟题）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色.若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为_____________.
解析：设四棱锥为P—ABCD.（1）P：C，A：C，B：C，C与B同色：1，D：C.
（2）P：C，A：C，B：C，C与B不同色C，D：C.
共有C·C·C·1·C+C·C·C·C·C=420.
答案：420
5.某校准备参加2004年全国高中数学联赛，把10个名额分配给高三年级8个班，每班至少1人，不同的分配方案有_____________种.
解析：把10个名额分成8份，每份至少一个名额即可，用隔板法：C=C=36.
答案：36
●典例剖析
【例1】 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选取会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法
解：由题意可知，只会英语的有6人，只会日语的有2人，英语和日语都会的有1人.
以只会英语的人数分类，C·C·C+C·C=20.
【例2】 设集合A={1，2，3，…，10}，
（1）设A的3个元素的子集的个数为n，求n的值；
（2）设A的3个元素的子集中，3个元素的和分别为a1，a2，…，an，求a1+a2+a3+…+an的值.
解：（1）A的3元素子集的个数为n=C=120.
（2）在A的3元素子集中，含数k（1≤k≤10）的集合个数有C个，因此a1+a2+…+an=
C×（1+2+3+…+10）=1980.
评述：在求从n个数中取出m（m≤n）个数的所有组合中各组合中数字的和时，一般先求出含每个数字的组合的个数，含每个数字的个数一般都相等，故每个数字之和与个数之积便是所求结果.
【例3】 从1，2，…，30这30个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是3的倍数的取法有多少种？
解：令A={1，4，7，10，…，28}，B={2，5，8，11，…29}，C={3，6，9，…，30}组成三类数集，有以下四类符合题意：①A，B，C中各取一个数，有CCC种；②仅在A中取3个数，有C种；③仅在B中取3个数，有C种；④仅在C中取3个数，有C种.故由加法原理得共有C·C·C+3C=1360种.
评述：按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题，通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.
思考讨论
讨论下面的问题：
用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成没有重复数字的能被25整除的四位数多少个？
提示：能被25整除的数的后两位是25或50，后两位是50的数有A个，后两位是25的数有3×3=9个，所以能被25整除的四位数的个数为A+9=21.
【例4】 如图，从一个3×4的方格中的一个顶点A到对顶顶点B的最短路线有几条？
解：从A到B的最短路线，均需走7步，包括横向的4步和纵向的3步，于是我们只要确定第1，2，…，7步哪些是横向的，哪些是纵向的就可以了，实际只要确定哪几步是横向走.所以每一条从A到B的最短路线对应着从第1，2，…，7步取出4步（横向走）的一个组合，因此从A到B的最短路线共有C=C=35条.
深化拓展
1.某城市由n条东西方向的街道和m条南北方向的街道组成一个矩形街道网，如下图所示.要从A处走到B处，使所走的路程最短，有多少种不同的走法？
解：将相邻两个交点之间的街道称为一段，那么从A到B需要走（n+m－2）段，而这些段中，必须有东西方向的（n－1）段，其余的为南北方向的（m－1）段，所以共有C=C种走法.
2.从一楼到二楼楼梯一共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，规定用8步走完楼梯的方法种数是_____________.
解：设一步一级x步，一步两级y步，则
故走完楼梯的方法有C=28种.
●闯关训练
夯实基础
1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有
A.240种 B.180种 C.120种 D.60种
解析：先从6双手套中任选一双，有C种取法，再从其余手套中任选2只，有C种，其中选一双同色手套的选法为C种.故总的选法数为C（C－C）=240种.
答案：A
2.（2004年江苏，3）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
A.140种 B.120种 C.35种 D.34种
解析：7人中任选4人，共C种选法，扣除只有男生的选法C，就可得有既有男生，又有女生的选法C－C=34.
答案：D
3.（2004年湖北，理14）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有_____________种.（以数字作答）
解析：从10个盒中挑3个与球标号不一致，共C种挑法，每一种3个盒子与球标号全不一致的方法为2种，∴共有2C=240种.
答案：240
4.某年级有6个班，派3个数学老师任教，每位教师教两个班，不同的任课方法种数有_______种.
解析：把6个班均匀分为3份，有种分法，再把这三份分给3位教师，所以不同的任课方法有A=CCC种.
答案：90
5.某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？
解：由于每队至少抽1辆，故问题转化为从7个车队中抽3辆车，分类讨论.
①3辆车都从1个队抽，有C种；②3辆车从2个队抽，有A种；③3辆车从3个队抽，有C种.
综上所述，共有C+A+C=84种.
6.袋中有10个球，其中4个红球，6个白球，若取到1个红球记2分，取到1个白球记1分，那么从这10个球中取出4个，使总分不低于5分的取法有多少种
解法一：取出4个球不低于5分只能是4红或3红1白或2红2白或1红3白.
故有C+CC+CC+CC=195种.
解法二：取出4个球总分低于5分只能是4个白球，故有C－C=195种.
培养能力
7.（理）有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另两名英、日语都精通，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张
分析：既精通英语，又精通日语的“多面手”是特殊元素，所以可以从他们的参与情况入手进行分类讨论.
解：按“多面手”的参与情况分成三类.
第一类：多面手不参加，这时有CC种；
第二类：多面手中有一人入选，这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，因此有CCC+CCC种；
第三类：多面手中两个均入选，这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，因此有CCC+CCC+CCCC种.
综上分析，共可开出CC+CCC+CCC+CCC+CCC+ CCCC=
185种.
评述：首先注意分类方法，体会分类方法在解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有CC+CCC+CCC=185种.
（文）某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种.
（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种
（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种
（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种
（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种
（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种
解：（1）C=561.
（2）C=5984.
（3）C·C=2100.
（4）C·C+C=2555.
（5）C+CC+CC=6090.
探究创新
8.有点难度哟！
从1到100这100个正整数中，每次取出2个数使它们的和大于100，共有多少种取法
解：（1）若取出的2个数都大于50，则有C种.
（2）若取出的2个数有一个小于或等于50，
当取1时，另1个只能取100，有C种取法；
当取2时，另1个只能取100或99，有C种取法；
……
当取50时，另1个数只能取100，99，98，…，51中的一个，有C种取法，所以共有1+2+3+…+50=.
故取法种数为C+=+=2500.
●思悟小结
1.组合数公式有连乘和阶乘形式，阶乘形式一般用于证明和计算，组合数的性质常用于证明等式及合并组合数简化计算.
2.解受条件限制的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（排除法）.
3.解组合应用题时，应注意至少、至多、最多、恰好等词的含义.
4.各种与元素的位置、顺序无关的组合问题，常见的有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题，解答组合问题的关键是用好组合的定义和两个基本原理，只选不排，合理分类、分步.
●教师下载中心
教学点睛
1.要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关，排列与顺序有关；排列可以分成先选取（组合）后排列两个步骤进行.
2.熟练掌握组合数公式的两种形式.
拓展题例
【例题】 某篮球队共7名老队员，5名新队员，根据下列情况分别求出有多少种不同的出场阵容.
（1）某老队员必须上场，某2新队员不能出场；
（2）有6名打前锋位，4名打后卫位，甲、乙两名既能打前锋又能打后卫位.
解：（1）C=126种.
（2）以2名既擅长前锋位又能打后卫位的队员是否上场，且上场后是前锋还是后卫作分类标准：①甲、乙都不上场有CC=120种；②甲、乙有一名上场，作前锋位有C（CC）种，作后卫位有C（CC）种，共C（CC）+C（CC）=340种；③甲、乙都上场，有CC+CC+C（CC）=176种.据分类计数原理，共有120+340+176=636种.