8.1 二元一次方程组
一、教学目标
知识与技能:深刻理解方程组解的意义,并会利用解的概念解决问题;
过程与方法:在解决问题的过程中,体会方程是刻画现实世界的一个比较有效的模型,进而感受方程思想,能够判断一个方程组是否是二元一次方程组;能够利用二元一次方程组解的概念解决相关问题;
情感态度与价值观:培养学生探究问题的兴趣,调动学生学习数学的积极性;
二、教学重难点
重点:使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义,会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解。
难点:了解二元一次方程组的解的含义。这里困难在于从1个数值变成了2个数值,而且这2个数值合在一起,才算作二元一次方程组的解。用大括号来表示二元一次方程组的解,可以使学生从形式上克服理解的困难;而讲清问题中已含有两个互相联系着的未知数,把它们的值都写出来才是问题的解答。这是克服这一难点的关键所在。
三、教学过程
1.通过复习方程及其方程的解和解方程等知识,创设情境,导入课题,并引入二元一次方程和二元一次方程组的概念。
2.通过反复的练习让学生学会正确的判断二元一次方程及二元一次方程组。
3.通过二元一次方程组的解的概念的教学,通过示范作用,让学生学会正确地去检验二元一次方程组的解的问题。
一、创设情境
我国古代数学著作<<孙子算经>>中有“鸡兔同笼”问题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?[设计意图]:从学生感兴趣的话题引入,激发学生的学习兴趣。
提出问题:现在我们怎样来解答这个问题呢?这个实际问题中含有哪些等量关系?
让学生尝试根据关系式设出未知数,列出方程 ,(教师引导学生尝试可否用一元一次方程来解.)由一名学生板演,其余学生自行完成)
解:设有x只鸡,则有(35-x)只兔.根据题意,得2x+4(35-x)=94.
进一步提问:问题中有几个未知数?(两个)我们能否设出两个未知数解决问题呢?
学生讨论得出结果。 解:设有x只鸡,y只兔,依题意得
x+y=35,
2x+4y=94.
[设计意图]:此题的解答既是对一元一次方程的复习与巩固,又为学习二元一次方程组提供了类比的素材。
二、探究新知,
(1) 针对学生列出的这两个方程,提出如下问题:
1.上述两个方程有什么特点?
2.它与你以前学过的一元一次方程比较有什么区别?
3.你能给它们取名吗?
4、请同学们用自己的语言归纳什么叫二元一次方程
结合学生的回答,教师板书二元一次方程的定义:
含有两个未知数,且未知项次数是1的方程,叫做二元一次方程.
下面方程属于二元一次方程的有: ① 2m+3=6
② x+2y=z ③ 7u+5v=3 ④ ab+3b=4
(2)议一议 刚才讲的方程x+y=35 2x+4y=94中的x的意义相同吗?y呢?
刚才讲的方程x+y=35和2x+4y=94中,x和y的含义是分别相同的。因而,必须同时满足方程x+y=35和2x+4y=94把它们联立起来得: x+y=35
2x+4y=94
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成一个二元一次方程组。例如:
x+2y=7 x-y=2
x+1=2(y-1) 3y+1=2 都是二元一次方程组。
(3)探究一:
① x=6 ,y=2适合方程x+y=35吗?x=5,y=3;x=4,y=4呢?
② 同学们还能找到其他的x,y的值适合方程x+y=8吗?试试看。
③ x=5,y=3适合方程5x+3y=34吗?x=2,y=8呢?
适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。
在此基础上,让学生写出二元一次方程x+y=35的解,使学生明确:解要符合实际意义,二元一次方程有无数组解。
探究二:
①满足方程x+y=35且符合问题的实际意义的x,y的值有哪些?请填入表中:
x … 21 22 23 24 25 26 …
y … 14 13 12 11 10 9 …
②满足方程2x+4y=94 且符合问题的实际意义的x,y 有哪些?
x … 27 25 23 21 19 17 …
y … 10 11 12 13 14 15 …
设计意图:通过学生观察计算得出二元一次方程组的解,感受到二元一次方程组的解,既是第一个方程的解,又是第二个方程的解,让学生体会公共解的含义。
二元一次方程组的解: 二元一次方程组中两个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
三、巩固新知:
例1.(1)若3xm+1+5y2-n =3是一个二元一次方程,
则m=_______,n=________.
(2)下列各组数中, 是方程x-3y=2的解,
是方程2x-y=9的解。
x=-1 B x=5 C x=3 D x= 2
y=-1 y=1 y=2 y=-5
(3)方程组 x-3y=2 的解是上面的()
2x-y=9
例2. 列出二元一次方程组,并根据问题的实际意义找出问题的解.
已知钢笔每支5元,圆珠笔每支2元,小明用16元钱买了这两种笔共5支,试求小明买钢笔和圆珠笔各多少支
例3、拓展应用探究
对于x+2y=5,思考下列问题:
(1)用含y的式子表示x;
(2)用含x的式子表示y;
(3) 在自然数范围内方程的解是
四、课堂练习;
习题8.1第1、2题。
五、做游戏巩固本节课所学知识。
六、课堂小结
我的收获
1 .我学会了……
2 .使我感触最深的……
3 .我最值得学习的同学是……
4 .我认为本节课中重要的知识是……
七、作业:课本 P.94 练习
习题8.1第3、4题
八、板书设计
二元一次方程组
1、导入新知 2、探究新知
3、巩固新知: 例1、 4、课堂练习
例2、
5、课堂小结 6、作业
九、教学反思
本节课我采用启发式教学,探究式教学等多种教学模式,放手于学生,让学生自问自答,我只是引导,充分发挥学生的积极主动性。我通过鸡兔同笼的问题,在生活中寻找数学题 材,让教学贴近生活。让学生接触与生活有关的数学,势必会激发学生的学习兴趣。在每个环节都设计学生小组交流,增强了每个学生的参与意识。最后通过练习加深本节课的理解。