2023 年普通高等学校招生全国统一考试 6. x 0 π 3 ， ，使得f (x) 3sin x 2cos
2 x 2sin x 1 a 0，则a取值范围是
2
数 学
A. 3， B. 2， C. 2,3 D. ，0
注意事项： 4 2
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 7.已知a,b a 2b 16均为正数，则 最小值是
ab
2. 回答选择题是，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，
再选择其它答案标号。回答非选择题是，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
A.16 B. 2 2 C.4 D.8
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
8. ABC 2 中，A ，D是边BC上一点，且AD是角A的平分线，若AD 3，则b c
3
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
取值范围是
1.若集合M 1,5 ，N {-1,0,1,2} ，则M N A. 6， B. 3， C. 12， D. 4，
A.{1,2} B.{2} C.{-1,0,1,2} D.{1,5} 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对得 5分，选对部分的得 2分，有选错的得 0 分。
2. z 1 5i
2
z 9.已知O为坐标原点，抛物线C：y 2px（p＞0）焦点为F。直线l过F且交C于A、B若 ， 的虚部是
1 i 两点，则
A. 3i B.3i C.3 D. 3
A. l p设 倾斜角为 ，则AB 2
3.若一个数列为等差数列，前五项和为15 2sin ，则第三项是 B.以AB为直径的圆与C的准线相切
A.5 B.-5 C. 3 D.-3 C. 1 1 2
AF BF p
4.神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船。已经于 2022 年 6 月 D. 1 1 1
AF BF p
5 日上午 10 时 44 分 07 秒在酒泉卫星发射中心发射神舟十四号载人飞船，3名航天员进驻核心舱并
在轨驻留 6个月。 神舟十四乘组将配合地面完成空间站组装建设工作，要经历 9种组合体构型、5 10.已知正方体ABCD A1B1C1D1，点E、F别为BB1、C1D1中点，则
次交会对接、3次分离撤离和 2次转位任务；将首次进驻“问天”“梦天”实验舱，建立载人环境； A.直线EF与CD异面
B.直线AB∥面EFC
配合地面开展两舱组合体、三舱组合体、大小机械臂测试，气闸舱出舱相关功能测试等工作；首次 1
C.直线AB EF
利用气闸舱实施出舱活动。 其中，若神舟十四号的位移大小与时间的关系在 0≤t＜5，满足 g（t）
3 2
=0.17t +0.15t +7，则 t=2 时神舟十四号的速度大小是 D.设正方体棱长为a，则四棱锥C -C1ABD外接球半径为 3a
A.8.96 B.1.38 C.7.54 D.2.64 11 .已知 AOB，OP 1OA 2OB，其中 1， 2为常数，下列结论正确 的是
A.若 1 2 0，则 A, B , P三点共线
5.在 ABC D AB E CD 1 2 2， 是 中点，点 是 上一点，CE ED，且AE mCA nCB，
2 B.若 1 OA 2 OB ，则 OP AB
m
则 C .若 1 OA 2 OB ,则OP平分 AOB
n
D . 1若 1 2 ，则 P为 AOB重心A.5 B.-5 C.7 D.-7 3
e2x 112.已知f (x) (3 a)x ln x 2,g(x) ln x ,若f（x） 0且g（x）＞b恒成立，则 （1）若 AA1 AC ，求证： AC1 平面 A1B1CD；
x x
A.a 1 1，b＜
e （2
2
）若CD 2， AA1 AC，二面角C A1D C1 的余弦值为 ，求三棱锥C1 A1CD的体积．
4
B.a 1 1 ，b＜
e
2
C.g(x) x与y 有交点 20.一汽车销售公司对开业 4 年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关系进行分析研究并做了记录，
10
2 得到如下资料.D.h(x) f (x) (3 a)x ln x与y 10x 没有交点
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 日期 第一年 第二年 第三年 第四年
13（. x x2 1）6的展开式中x5的系数是
优惠金额 x（千元） 10 11 13 12
14.过点（0,1）且与圆：（x 2）2 (y 3)2 4相切的直线方程是
销售量 y（辆） 22 24 31 27
15. xex 4, ln y 4e已知 1,则xy
y （1）求出
y关于 x的线性回归方程 y b x a ；
16.已知函数f (x) （2）若第 5 年优惠金额 8.5 千元，估计第 5 年的销售量 y（辆）的值.是定义在R上的偶函数， x1, x2 1， ，且x1 x2，都有（x1 x2）· f (x2 ) f (x1) ＜0,
则不等式f（ 22x 1 1 n e）＜f（9）的解集为 xi x yi y xi yi nxy
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 i 1 i 1参考公式：b ,a y b p xn z
2 2 2 xi x 2 x l n(x)z17.已知在△ABC中． A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若 a +b - c = 8，△ABC的面积为 2 3 ． i 1 i 1
（1）求角C的大小；
（2）若 c 2 3 ，求 sin A sin B的值． 3 5
21.已知抛物线 y2 2px(p 0) 上一点M ,m 到它的准线的距离为 ．
2 2
18.记 Sn为等差数列 an 的前 n项和，已知 a1 7 ， S3 15．
（1）求 p的值；
（1）求 an 的通项公式；
（2）在直线 l上任意一点 P a, 2 作曲线C的切线，切点分别为M ,N ，求证：直线MN过定点．
（2）求 Sn，并求 Sn的最小值．
19.如图所示的几何体中， ABC A1B1C1 为三棱柱，且 AA1 平面 ABC，四边形 ABCD为平行四边形， 22.已知函数 f (x) a ln x x 1 a .
x
（1）当 a 2时，求函数 f (x) 的单调区间；
AD 2CD， ADC 60 ． （2）设 g x ex mx2 3，当 a e2 1时，对任意 x1 [1, )，存在 x2 [1, ) ，使得 f (x1) 2e2 g(x2 )，
证明：m e2 e .2023 年普通高等学校招生全国统一考试
数学答案
一、选择题.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C A D B B D C BC AB CD ACD
1.【答案】B
【详解】考察了集合的基本运算，易得：B
2．【答案】C
【详解】整理得：z 2 3i，故虚部为3
3．【答案】A
【详解】a1+a2+a3+a4+a5=3a3=15，故 a3=5
4．【答案】D
【详解】求 g(x)的导函数即可，可以求出答案为 D
5．【答案】B
5 1
【详解】由向量基本运算可以求出m ,n ,故答案选 B
6 6
6.【答案】B
【详解】 f (x) 3sin3 x 2cos2 x 2sin x 1 a 0，化同名，将 cos2 x化为正弦的
平方，再换元：sinx=t,则 f (t) 3t 3 2t 2 2t 3 a，t 0,1 ，易求出答案为 B
7．【答案】D
【详解】 a4 2b2 16 8a2 2b2 2 16a2b2 ,故选 D
8
ab ab ab
8．【答案】C
【详解】
bc sin 2 AD bsin AD c sin
由S 3 3 3 ABC S ABD S ACD得： 2 2 2
bc 3(b c) (b c)
2
所以 即(b c)2 12(b c) 0，因而b c 12
4
9.【答案】BC
【详解】 2p ，故 A错误；以 AB 为直径的圆与准线相切，故 B正确；AB
sin 2
1 1 2
AF BF p，故 C正确，D错误
10.【答案】 AB
【详解】EF 与 CD 异面，故 A正确；AB∥EC1且 AB 面 EFC1而 EC1∈面 EFC1，因此 AB
∥面 EFC1，故 B正确；AB与 EF 不垂直，故 C错误；该四棱锥外接球与正方体外接球半
径相同，因此半径为 3a
2
11.【答案】CD
【详解】∵λ1＋λ2＝1 λ2＝1－λ1，
→ → → → → → →
∴OP＝λ1OA＋λ2OB＝λ1OA＋(1－λ1)OB BP＝λ1BA，
∴A,B,P 三点共线．A错误．
→ →
∵λ 2 21|OA| ＝λ2|OB| ，
→ → → → → →
∴OP AB＝(λ1OA＋λ2OB) (OB－OA)
→ → →2 →2 → →
＝(λ1－λ2)OA OB＋λ2OB －λ1OA ＝(λ1－λ2)OA OB．
∴B错误．
→ →
∵λ1|OA|＝λ2|OB|，
→ → →2 → →∴OP OA＝λ1OA ＋λ2OA OB
→ → → →
＝λ1|OA|
2＋λ2|OA| |OB|cos∠AOB＝λ |OA|
2
1 (1＋cos∠AOB)，
→ →
OP OA →
∴ ＝λ1|OA|(1＋cos∠AOB)．→
|OA|
→ → → → →
又OP OB＝λ1OA OB＋λ2OB
2
→ → → → →
＝λ1|OA| |OB|cos∠AOB＋λ |OB|
2
2 ＝λ1|OA| |OB|(1＋cos∠AOB)，
→ → → →
OP OB → OP OA
∴ ＝λ |OA|(1＋cos∠AOB)＝ ．
→ 1 →
|OB| |OA|
→
∴OP平分∠AOB．C 正确．
→ → →
设 AB的中点为 M，则OA＋OB＝2OM．
1 → → → 2→
∵λ1＝λ2＝ ，∴OP＝λ1OA＋λ2OB＝ OM．
3 3
∴P为ΔAOB 的重心．D正确．
12.【答案】ACD
【详解】同构
二、填空题
13. 5
14.x 0或3x 4y 4 0
15.4e
16. ,1
三、解答题
π 3
17.【答案】（1） ；（2） ．
3 2
【解析】（1）由△ABC 1的面积为 2 3可得 absinC 2 3，2
由 a2 b2 c2 8及余弦定理可得2abcosC 8，
故 tanC 3,C
；
3
C （2）∵ , 2abcosC 8, ab 8，
3
又 a2 b2 c2 8,c 2 3，可得a b 6，
a b c
由正弦定理 ，
sinA sinB sinC
得 sinA sinB
asinC bsinC
a sinC 3 b ．
c c c 2
2
18.【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n –8n，最小值为–16．
【解析】（1）设{an}的公差为 d，由题意得 3a1+3d=–15．
由 a1=–7 得 d=2．
所以{an}的通项公式为 an=2n–9．
2 2
（2）由（1）得 Sn=n –8n=（n–4）–16．
所以当 n=4 时，Sn取得最小值，最小值为–16．
19.【答案】（1）见解析（2） 4．
【解析】（1）连接 A1C交 AC1于 E，因为 AA1 AC，又 AA1 平面 ABCD，
所以 AA1 AC，所以四边形 A1ACC1为正方形，
所以 A1C AC1，在△ACD中， AD 2CD, ADC 60 ，
由余弦定理得 AC 2 AD2 CD2 2AD CDcos60 ，
所以 AC 3CD，所以 AD2 AC 2 CD2 ，所以CD AC，又 AA1 CD，
所以CD 平面 A1ACC1，
所以CD AC1，又因为CD A1C C , AC1⊥平面 A1B1CD；
（2）如图建立直角坐标系，则
D 2,0,0 , A 0,2 3,0 ,C1 0,0,2 3 , A1 0,2 3,2 3
DC1 2,0,2 3 ,DA1 2,2 3,2 3 ，
设平面 A1C1D的法向量为n1 x1, y1, z1 ，
n1 DC 1 0 2x 2 3 z 0
由 1 1即 ，
n1 DA1 0 2x1 2 3y1 2 3 z1 0
解得 x1 3 z1, y1 0， n1 3 ,0,1 ，
设平面 A1CD的法向量为n2 x2 , y2 , z2 ，
n2 CD 0 2x2 0
由 ，得 ，
n2 CA1 0 2 3y2 2 3 z2 0
解得 x2 0, y2 z2 , n2 0, ,1 ，
由cos
n1 n2 1 2 得 1，所以 AA1 AC ,|n1| | n 2 22| 3 1 1 4
此时CD 2, AA1, AC 2 3,
V V 1 1所以 C ACD D ACC 2 3 2 3
2 4．
1 1 1 1 3 2
20.【答案】（1） y 3x 8.5；（2）第 5年优惠金额为 8.5 千元时，销售量估计
为 17辆．
4 4
【解析】（1）由题中数据可得 x 11.5, y 26 x y 2， i i 1211, xi 534
i 1 i 1
4
xi yi 4xy
b i 1 1211 4 11.5 26 15∴ 4 2 3，
x 2 4 x 2 534 4 11.5 5i
i 1
故 a y b x 26 3 11.5 8.5，∴ y 3x 8.5；
（2）由（1）得，当 x 8.5时， y 17，
∴第 5年优惠金额为 8.5 千元时，销售量估计为 17 辆．
21.【答案】（1）2；（2）证明见解析．
【解析】（1）抛物线E：y2
p
2p（x p 0）的准线为 x ，
2
M 3 m 5由已知得 ， 到准线的距离为 ，
2 2
3 p 5
∴ ，∴ p 2，∴E方程 y2 4x，
2 2 2
（2）由已知可设 l1：x m1y 2，l2：x m2 y 2，
y2 4x
由 2，化简得 y 4m y 8 0，
x m
1
1y 2
设 A（x1，y1），C（x2，y2），则 y1 y2 4m1 ，
y 2m x 2m2∴ M 1，又 M 1 2，即M 2m21 2，2m1 ，
2
同理可得：N 2m2 2，2m2 ，
∴ k
2m2 2m1 1
MN m1 m2 0 2 2m2 2 2m2 m m ，2 1 1 2
∴MN：y 2m
1
x 2m21 m 1 2 ，1 m2
1
即 y x 2 2m m m1 m 1 2
，
2
∵ l1，l2的斜率之积为–2，
1 1 1
∴ 2m m ，即m1m2 ，1 2 2
∴MN：y
1
x 3
m m 即直线 MN 过定点（3，0），1 2
当m1 m2 0时，不妨设m1 0，m2 0，
2 2
则m1 ，m2 ，2 2
直线MN也过点 3，0 ，
综上，即直线MN过定点 3，0 ．
22.【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）函数 f (x)的定义域为 (0, )，
f (x) a 1 a 1 (x 1)[x (a 1)] 2 2 ，x x x
由 f (x) 0，得 x 1或 x a 1.
当a 2即a 1 1时，由 f (x) 0得1 x a 1，由 f (x) 0得0 x 1或
x a 1；
当a 2即a 1 1时，当 x 0时都有 f (x) 0；
当 a 2时，单调减区间是 1,a 1 ，单调增区间是 0,1 ， a 1, ；
当a 2时，单调增区间是 0, ，没有单调减区间.
（2）当a e2 1时，由（1）知 f (x)在 1,e2 上单调递减，在 e2 , 上单调递增，
从而 f (x)在 1, 上的最小值为 f (e2 ) e2 3 .
对任意 x1 1, ，存在 x2 1, ，使得 g x2 f x1 2e2，即存在 x2 1, ，
使 g(x)的值不超过 f x 2e2在区间 1, 上的最小值 e2 3 .
2 x
由 e2 3 2e2 ex mx2 3得ex mx2 e2， m e e .
x2
e2 ex
令 h(x) ，则当 x 1, 时，m h(x)max .x2
exx2 2 e2 ex x xex 2 e2 ex
h (x)
2 2
x3 ，x
当 x [1, 2]时 h (x) 0；当 x [2, ) x 2 x时， xe 2 e e xex 2ex 0，
h (x) 0 .
故h(x)在[1, )上单调递减，
从而 h(x)max h(1) e
2 e，
从而m e2 e得证.
