必修第二册期末复习---概率专题
考点一：事件的关系和运算
1．某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至少一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶
【答案】B
【分析】
直接利用对立事件的定义判断即可.
【解析】
由已知条件得
∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，
∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，
故选：.
2．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球
【答案】B
【分析】
列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.
【解析】
对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；
对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，
所以两个事件互斥而不对立，故B正确；
对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；
对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.
故选：B.
3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．A D
B．B∩D＝
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
【答案】D
【分析】
按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.
【解析】
“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A D ，A∪C＝D
B，D为互斥事件，B∩D＝；
A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等
故选：D
考点二、事件的性质
1．我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：
年降水量（mm） [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（ ）
A．0.29 B．0.41 C．0.25 D．0.63
【答案】C
【分析】
将年降水量在[200，300](mm)范围内的事件分拆成两个互斥事件的和，再用互斥事件概率的加法公式即可得解.
【解析】
年降水量在[200，300]范围内的事件A，它是年降水量在[200，250)范围内的事件B与年降水量在[250，300]范围内的事件C的和，
而事件B与C互斥，且，则，
所以年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为0.25.
故选：C
2．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．
【解析】
事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P（A∪B）＝P(A)+P(B)，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
3．甲 乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲 乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．0.4
【答案】A
【分析】
利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【解析】
甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，
且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，
甲、乙下成和棋的概率．
故选：A．
4．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立 C． D．
【答案】C
【分析】
利用互斥事件、对立事件的意义判断A，B；利用古典概率求出判断C，D作答.
【解析】
依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，A，B都不正确；
由古典概率得：，，，于是得，
C正确，D不正确.
故选：C
5．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
【答案】
【分析】
记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，根据为互斥事件，与为对立事件，从而可求出答案.
【解析】
记“选中两人都是男生”为事件，“选中两人都是女生”为事件，“选中两人中恰有一人是女生”为事件，易知为互斥事件，与为对立事件，
又，
所以.
故答案为：.
考点三、概率基本类型
古典概型
1．盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将个球进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】
记个红色球分别为、、，记个黄色球分别为、，
从这个球中随机抽取个，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个，
其中，事件“所取出的个球颜色相同”包含的基本事件有：、，，，共4个.
故所求概率为.
故选：C.
2．5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据古典概型的概率公式计算可得；
【解析】
5张卡片中卡片上的数字为奇数的有张，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是；
故选：C
3．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车 短道速滑混合团体接力 跳台滑雪混合团体 男子自由式滑雪大跳台 女子自由式滑雪大跳台 自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲 乙两人的选择互不影响，那么甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据古典概型概率的计算公式直接计算.
【解析】
由题意可知甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有种情况，
其中甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共种，
所以甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是，
故选：C.
4．甲、乙两人随机去，，三个景点旅游参观，每人只去一个景点，则两人去同一景点的概率为______.
【答案】
【分析】
求出基本事件的总数，以及甲乙两人去同一景点包含的基本事件的个数，利用古典概率公式即可求解.
【解析】
甲、乙两人随机去，，三个景点旅游参观，每人只去一个景点，
基本事件有：
， ，，
， ， ，
， ，共有个，
两人去同一景点基本事件有，，共有个，
所以两人去同一景点的概率为，
故答案为：.
5．某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从、、、四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是______．
【答案】
【分析】
先确定同学随机选择选项一个或两个选项的基本事件总数，再确定其中“能得分”的基本事件个数，最后利用古典概型概率公式即可计算出所求概率．
【解析】
某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有，，，；选择两项有：，，，，，；共有基本事件10种，其中“能得分”的基本事件有，，，共3种，故“能得分”的概率为．
故答案为：．
6．为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．
(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；
(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）根据“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选，得到基本事件的总数，再由甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有2种，利用古典概型的概率求解；
（2）由甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门，从地理、化学、生物中选2门得到基本事件数，同理得到乙同学不选化学的基本事件数，从而得到甲同学不选政治，乙同学不选化学基本事件数，再由甲乙两位同学选择了同一种组合2种，利用古典概型的概率求解.
【解析】(1)因为“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．
则语文、数学、外语3科不用选，从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
从政治、地理、化学、生物中选2门有（政治、地理）、（政治、化学）、（政治、生物）、（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）共6种，
则共有种，
甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式有（物，化，生）、（政，史，地）共2种，
所以甲所选组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率为；
(2)因为甲同学不选政治，则从物理、历史中选1门有物理、历史2种，
，
从地理、化学、生物中选2门有（地理、化学）、（地理、生物）、（化学、生物）3种，共有种；
同理乙同学不选化学，共有种；
所以甲同学不选政治，乙同学不选化学有种；
甲乙两位同学选择了同一种组合有（物理、地理、生物），（历史、地理、生物）2种，
所以甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
7．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为、9、，现用分层抽样的方法从三个协会中抽取名运动员参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(2)现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
①列出所有可能的结果；
②求选到的两名运动员来自同一协会的概率.
【答案】(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为、、
(2)①答案见解析，②
【分析】
（1）求出甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数的比例，然后可得答案；
（2）列出所有的情况，然后求解即可.
【解析】(1)
甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为、、；
(2)设甲乒乓球协会分别抽取的名运动员编号为，
乙乒乓球协会分别抽取的1名运动员编号为，
丙乒乓球协会分别抽取的名运动员编号为，
①选出两人共有15种结果，
，
，
，
，
②两名运动员来自同一协会的结果：，共有种；
所以选到的两名运动员来自同一协会的概率为.
8．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢.
(1)写出该实验的样本空间；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由.
【答案】(1)答案见解析(2)不公平，理由见解析
【分析】
（1）考虑摸出球的编号情况，根据题意直接写出甲乙两人摸球实验的样本空间；
（2）根据（1）的结果，计算两人赢的概率，可得答案.
【解析】(1)
由题意可得样本空间为
.
(2)这种游戏规则是不公平的，理由如下：
设甲赢为事件，乙赢为事件，则，为对立事件，
由题意事件包含的基本事件有
，，，，，，共6个.
由古典概型的概率计算公式可得，
所以，
所以，即这种游戏规则不公平
9．袋子里有6个大小 质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.
(1)写出样本空间；
(2)求取出两球颜色不同的概率；
(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3).
【分析】
（1）将1个红球记为个白球记为个黑球记为，进而列举出所有可能性，进而得到样本空间；
（2）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，共三大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率；
（3）由题意，有1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，共四大类情况，由（1），列举出所有可能性，进而求出概率.
【解析】(1)
将1个红球记为个白球记为个黑球记为，则样本空间，共15个样本点.
(2)记A事件为“取出两球颜色不同”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则包含11个样本点，所以.
(3)
记事件为“取出两个球至多有一个黑球”，则两球颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则包含12个样本点，所以.
10．某学校对高一某班的名同学的身高（单位：）进行了一次测量，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值，估计全班同学身高的中位数；
(2)若采用分层抽样的方法从全班同学中抽取了名身高在内的同学，再从这名同学中任选名去参加跑步比赛，求选出的名同学中恰有名同学身高在内的概率.
【答案】(1)，中位数为(2)
【分析】
（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，设中位数为，利用中位数左边的矩形面积之和为列等式可求得的值；
（2）分析可知所抽取的名学生，身高在的学生人数为，分别记为、、，身高在的学生人数为，记为，列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】
(1)由图可得，解得.
设中位数为，前两个矩形的面积之和为，
前三个矩形的面积之和为，可知，
所以，，解得，
故估计全班同学身高的中位数为.
(2)所抽取的名学生，身高在的学生人数为，
身高在的学生人数为，
设身高在内的同学分别为、、，身高在内的同学为，
则这个试验的样本空间可记为，共包含个样本点，
记事件选出的名同学中恰有一名同学身高在内.
则事件包含的基本事件有、、，共种，故.
11．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障，某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数；
(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】(1)，(2)众数为，平均数为.(3)
【分析】
（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；
（2）观察频率分布直方图即可得众数，根据加权平均数的求解公式可得平均值；
（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自不同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.
(1)由题意可知：，，
解得，；
(2)由频率分布直方图得众数为，
平均数等于.
(3)根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和，
则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，
共10个，
即，记事件“两人来自不同组”，
则事件包含的样本点有
共4个，即，
所以.
12．某部门举办法律知识问答活动，随机从该市18~68岁的人群中抽取了一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：[18,28），[28,38），[38,48），[48,58），[58，68]，再将其分别编号为第1组、第2组、…、第5组.该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表和如图所示的频率分布直方图.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例
第1组 [18,28) 5 0.5
第2组 [28,38) 18
第3组 [38,48) 27 0.9
第4组 [48,58) 0.36
第5组 [58,68] 3 0.2
(1)分别求出的值.
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各应抽取多少人？
(3)在（2）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
【答案】
(1)；
(2)第2，3，4组每组各应抽取人.
(3)
【分析】
（1）结合频率分布直方图和频率分布表计算求解即可；
（2）根据分层抽样的方案确定抽样比例，进而得答案；
（3）根据古典概型列举基本事件，再结合公式计算即可.
【解析】
(1)由表中的数据可知：第1组的人数为人，
所以根据频率分布直方图得人，
所以第二组有人，其中回答正确的有人，故，
第四组有人，所以回答正确的人数人.
综上，；
(2)第2,3,4组回答正确的人数比为，
所以采用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各应抽取多少人.
(3)设抽出的6人来自第2组的两人为，来自第3组的三人为，来自第4组的一人为，
则在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖的可能有：，，共15种，
其中第2组至少有1人获得幸运奖有，共9种
所以第2组至少有1人获得幸运奖的概率为
13．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.
(1)求出直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和75%分位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
【答案】(1)
(2)平均数为71，75%分位数为82
(3)
【分析】
（1）依据频率之和为1即可求得的值；
（2）依据平均数和百分位数定义即可解决；
（3）利用分层抽样一等品、二等品各取3个、2个，再以古典概型即可求得这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
【解析】
(1)由，得.
(2)平均数，
设75%分位数为，则，得，
故估计该企业所生产口罩的质量指标的平均数为71，75%分位数为82.
(3)由频率分布直方图可知，100个口罩中一等品、二等品各有60个、40个，
由分层抽样可知，所抽取的5个口罩中一等品、二等品各有3个、2个.
记这3个一等品为，，，2个二等品为，，则从5个口罩中抽取2个的可能结果有：
，，，，，，，，，，共10种，其中恰有1个口罩为一等品的可能结果有：，，，，，，共6种.
故这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率为.
（二）相互独立事件的概率
1．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
【答案】B
【分析】
利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可
【解析】
因为， ，
又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
2．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48 B．0.32 C．0.92 D．0.84
【答案】C
【分析】
根据题意求得甲乙都不去参观博物馆的概率，结合对立事件的概率计算公式，即可求解.
【解析】
由甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，
可得甲乙都不去参观博物馆的概率为,
所以甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是.
故选：C.
3．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【解析】
由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：
．
故选：B．
4．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.98
【答案】D
【分析】
利用对立事件的概率求法求飞行目标被雷达发现的概率.
【解析】
由题设，飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为、，
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选：D
5．某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为______．
【答案】0.492
【分析】
记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，利用相互独立事件的概率公式分别求出两个事件的概率，从而可得出答案.
【解析】
记“甲种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件A，“乙种蔬菜能培育成苗且移栽成活”为事件B，
则，，，，
故恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为
．
故答案为：0.492.
6．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
【答案】(1)；(2).
【分析】
（1）利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好有1人命中的概率；
（2）首先求出两人都没有命中的概率，利用对立事件的概率求法即可得至少有1人命中的概率.
【解析】
(1)记“甲投篮命中”为事件，“乙投篮命中”为事件, 则，，
由甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以与互为独立事件，
那么，恰好有1人命中的概率.
(2)由（1），两人都没有命中的概率，
所以，至少有1人命中的概率.
7．甲 乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚丢，那么罚进点球的一方获胜，如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮，直到有一方获胜或双方都已罚3球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为，且各次罚球互不影响.
(1)求双方各罚1球后比赛结束的概率；
(2)求甲队获胜的概率.
【答案】(1)；(2)
【分析】
（1）双方各罚1球后比赛结束分为两种情况，甲罚进，乙罚丢，或者乙罚进，甲罚丢，结合事件的概率可得结果；
（2）把甲队获胜的事件表示为三个互斥事件的和，结合基本事件的概率可求结果.
【解析】
(1)设事件“甲队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3；
事件“乙队第k轮点球罚进”，其中k=1，2，3.
设事件C=“双方各罚1球后比赛结束”，
则
.
(2)设事件E=“甲队获胜”，
则
.
8．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲 乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么
(1)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？
(2)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.
【答案】(1)甲获得录取的可能性大；(2).
【分析】
（1）利用独立事件的乘法公式求出甲 乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.
（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.
【解析】
(1)记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则
，，即，
所以甲获得录取的可能性大.
(2)记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.
9．甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
求：（1）甲，乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率.
【答案】（1）甲两轮答对1道题，2道题的事概率分别为，；乙两轮答对1道题，2道题的事概率分别为，；（2）.
【分析】
(1)利用相互独立事件的概率公式求解即得；
(2)把队伍答对3道题的事件分拆成甲答对1道乙答对2道的事件与甲答对2道乙答对1道的事件的和，再利用互斥事件的概率公式计算而得.
【解析】
（1）设，分别表示甲两轮答对1道题，2道题的事件，，分别表示乙两轮答对1道题，2道题的事件，依题意得：
，，
，；
（2）设“两轮比赛队伍答对3道题”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以.
因此，该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率是.
10．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【解析】
（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
四、概率与数学文化融合
1．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气歌”是以“春 夏 秋 冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国古代第五大发明”.从某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有45人，能说出三句或三句以上的有32人，据此估计从该校一年级学生中抽取一人，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.32 C．0.23 D．0.77
【答案】C
【分析】
先求出只能说出第一句或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例，即为所求．
【解析】
由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100﹣45﹣32＝23人，
故只能说出第一句或一句也说不出的学生占的比例为，
故选：C
2．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车 短道速滑混合团体接力 跳台滑雪混合团体 男子自由式滑雪大跳台 女子自由式滑雪大跳台 自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲 乙两人的选择互不影响，那么甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据古典概型概率的计算公式直接计算.
【解析】
由题意可知甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有种情况，
其中甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共种，
所以甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是，
故选：C.
3．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，列出所有可能，结合古典概率，即可求解.
【解析】
甲、乙、丙3人投中与否的所有情况为：（中，中，中），（中，中，不中），（中，不中，中），
（中，不中，不中），（不中，中，中），（不中，中，不中），（不中，不中，中），
（不中，不中，不中），共8种，其中至多有1人投中的有4种，故所求概率为．
故选：C.
4．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用古典概型的概率求解.
【解析】
点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，
则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知．
故选：B．必修第二册期末复习---概率专题
考点一：事件的关系与运算
1．某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至少一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都没有中靶
2．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球
C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球
3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（ ）
A．A D
B．B∩D＝
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
考点二：事件的性质
1．我国西部一个地区的年降水量在下列区间的概率如下表所示：
年降水量（mm） [100，150) [150，200) [200，250) [250，300]
概率 0.21 0.16 0.13 0.12
则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率为（ ）A．0.29 B．0.41 C．0.25 D．0.63
2．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．甲 乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲 乙下成和棋的概率为（ ）
A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．0.4
4．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立 C． D．
5．已知从某班学生中任选两人参加农场劳动，选中两人都是男生的概率是，选中两人都是女生的概率是，则选中两人中恰有一人是女生的概率为______．
考点三：概率基本类型
古典概型
1．盒中装有形状、大小完全相同的个球，其中红色球个，黄色球个.若从中随机取出个球，则所取出的个球颜色相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
2．5张卡片上分别写有数字0，1，2，3，4，从中任意抽取一张，抽到的卡片上的数字为奇数的概率是（ ）
A． B．
C． D．
3．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车 短道速滑混合团体接力 跳台滑雪混合团体 男子自由式滑雪大跳台 女子自由式滑雪大跳台 自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲 乙两人的选择互不影响，那么甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．甲、乙两人随机去，，三个景点旅游参观，每人只去一个景点，则两人去同一景点的概率为______.
5．某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从、、、四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个．得分规则是：“全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是______．
6．为建立中国特色现代教育考试招生制度，形成分类考试、综合评价、多元录取的考试招生模式，健全促进公平、科学选才、监督有力的体制机制，构建衔接沟通各级各类教育、认可多种学习成果的终身学习“立交桥”，江西省进行高考改革，2021级高一学生高考不再采用“3＋3”考试模式（即理科学生考语，数，外，物，化，生；文科学生考语，数，外，政，史，地）；而改革为“3＋1＋2”考试模式，“3＋1＋2”考试模式为3门必考＋1门首选＋2门再选．即“3”统一高考科目语文、数学、外语3科（不分文理科）；“1”普通高中学业水平考试选择性考试物理、历史2门首选科目中所选择的1门科目，“2”政治、地理、化学、生物4门中选择的2门科目．
(1)若甲同学随机选择任何学科，且相互没有影响，求：他选择的组合恰好是原“3＋3”考试模式的概率；
(2)若甲同学不选政治，乙同学不选化学，求：甲乙两位同学最终选择了同一种组合的概率．
7．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为、9、，现用分层抽样的方法从三个协会中抽取名运动员参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(2)现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
①列出所有可能的结果；
②求选到的两名运动员来自同一协会的概率.
8．甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4的4个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为，用表示摸球的结果，如果，算甲赢，否则算乙赢.
(1)写出该实验的样本空间；
(2)这种游戏规则公平吗？请说明理由.
9．袋子里有6个大小 质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球.
(1)写出样本空间；
(2)求取出两球颜色不同的概率；
(3)求取出两个球中至多一个黑球的概率.
10．某学校对高一某班的名同学的身高（单位：）进行了一次测量，将得到的数据进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值，估计全班同学身高的中位数；
(2)若采用分层抽样的方法从全班同学中抽取了名身高在内的同学，再从这名同学中任选名去参加跑步比赛，求选出的名同学中恰有名同学身高在内的概率.
11．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障，某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的众数，平均数；
(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
12．某部门举办法律知识问答活动，随机从该市18~68岁的人群中抽取了一个容量为的样本，并将样本数据分成五组：[18,28），[28,38），[38,48），[48,58），[58，68]，再将其分别编号为第1组、第2组、…、第5组.该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表和如图所示的频率分布直方图.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例
第1组 [18,28) 5 0.5
第2组 [28,38) 18
第3组 [38,48) 27 0.9
第4组 [48,58) 0.36
第5组 [58,68] 3 0.2
(1)分别求出的值.
(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各应抽取多少人？
(3)在（2）的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
13．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，，，…，，得到如下频率分布直方图.
(1)求出直方图中的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和75%分位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.
（二）相互独立事件概率
1．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
2．在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率为0.8，乙去参观市博物馆的概率为0.6，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（ ）
A．0.48 B．0.32 C．0.92 D．0.84
3．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（ ）
A．0.72 B．0.26 C．0.7 D．0.98
5．某农户要种植甲、乙两种蔬菜，需要先播种培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种蔬菜培育成苗的概率分别为0.5，0.6，移栽后成活的概率分别为0.6，0.8，则恰好有一种蔬菜能培育成苗且移栽成活的概率为______．
6．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.
(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；
(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.
7．甲 乙两支足球队进行罚点球比赛，约定每轮两队各罚一球，如果有一方罚进点球而另一方罚丢，那么罚进点球的一方获胜，如果两队都罚进或都罚丢则进行下一轮，直到有一方获胜或双方都已罚3球时比赛结束.设两队每次罚进的概率均为，且各次罚球互不影响.
(1)求双方各罚1球后比赛结束的概率；
(2)求甲队获胜的概率.
8．某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲 乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么
(1)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？
(2)甲 乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.
9．甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
求：（1）甲，乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；
（2）该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率.
10．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
四、概率与数学文化融合
1．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气歌”是以“春 夏 秋 冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国古代第五大发明”.从某小学一年级随机抽查100名学生并提问“二十四节气歌”，只能说出两句的有45人，能说出三句或三句以上的有32人，据此估计从该校一年级学生中抽取一人，对“二十四节气歌”只能说出一句或一句也说不出的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.32 C．0.23 D．0.77
2．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车 短道速滑混合团体接力 跳台滑雪混合团体 男子自由式滑雪大跳台 女子自由式滑雪大跳台 自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等个比赛小项，现有甲 乙两名志愿者分别从个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲 乙两人的选择互不影响，那么甲 乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ）A． B． C． D．
3．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的．若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）
A． B． C． D．
