选择性必修第一册2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.2直线的方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 442.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-16 16:54:46 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.2 直线的方程 同步练习
一、单选题
1．在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
3．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（ ）
A．y＝－x＋3 B．y＝x－3
C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
5．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
7．直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不对
8．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
10．下列说法正确的是
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程（）能表示平行于轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程
11．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
12．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_______.
14．将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为________．
15．若直线绕着其上一点逆时针旋转后得到直线，则直线的点斜式方程为_________．
16．若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点_____．
17．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
三、解答题
18．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
19．求满足下列条件的直线方程：(要求把直线的方程化为一般式)
（1）经过点，且斜率等于直线的斜率的倍；
（2）经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】
由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
2．C
由斜率即可求出倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则，，.
故选：C.
3．A
由直线方程求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】
由题意，直线的斜率，设倾斜角为，，则.
故选：A.
4．C
直接代入两点式方程，可求.
【详解】
代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，
故选：C．
5．B
根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】
由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
6．B
由时，可得到定点坐标.
【详解】
当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
7．A
由已知直线方程，直接判断它们的位置关系即可.
【详解】
是表示轴的直线，表示轴的直线，两条直线互相垂直．
故选：A．
8．C
设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，分类讨论，利用直线方程的截距式可得结果.
【详解】
设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，
当时，直线经过原点，其方程为，即；
当时，设直线的方程为，因为直线过点，
所以，解得，所以直线的方程为，即.
所以直线的方程为或.
故选：C
易错点点睛：容易漏掉截距为0的情况.
9．B
等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出中点和的斜率后可得．
【详解】
因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.
故选：B．
10．D
根据直线方程的截距式，一般式，点斜式，两点式方程，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 当截距为零时不能用方程表示，错误；
B. 方程（）不能表示平行于轴的直线，错误；
C. 倾斜角为时不成立，错误；
D. 经过两点，的直线方程，代入验证知正确；
故选：.
本题考查了直线方程，意在考查学生的推断能力.
11．D
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
12．A
直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
13．
根据正切函数的单调性求解.
【详解】
因为正切函数在上单调递增，
所以，当时，，
所以斜率
本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.
14．
根据的方程可以求出的倾斜角，及与轴的交点坐标，根据与倾斜角的关系确定的倾斜角，利用直线点斜式写出方程即可判断直线在y轴上的截距.
【详解】
易知的倾斜角为，所以的倾斜角为，又由题意知过点，所以的方程为，即，从而可知在y轴上的截距为．
故答案为：
15．
先根据已知直线斜率求得倾斜角，旋转得到直线的倾斜角，再根据其斜率和定点得到点斜式方程.
【详解】
∵直线的斜率为1，∴倾斜角为45°．将其逆时针旋转90°后得到直线，
则直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为．
又点在直线上，∴直线的点斜式方程为．
故答案为：.
本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题.
16．
根据直线恒过定点，求其关于点的对称点，即可求解.
【详解】
因为过定点，
而关于点的对称点为，
又直线与直线关于点对称，
所以直线恒过定点.
本题主要考查了直线系过定点，直线关于点对称，点关于点对称问题，属于中档题.
17．
设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】
易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽了斜率的取值范围的求解.
18．（1）；（2）.
（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）；（2）或．
（1）由题意可得的斜率为，即可得所求直线的斜率，代入点斜式方程，即可得直线的方程，化简整理，即可得答案.
（2）当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，根据直线方程的截距式，代入点坐标，即可得直线方程；直线过原点时，设直线方程为，代入点坐标，即可得直线方程，综合即可得答案.
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，
化简得．
（2）由题意，当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，则所求直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线方程为或．
20．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】
（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
21．水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解.
【详解】
解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)．
设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，
故点B(300，700)．
设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，
则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．在直角坐标系中，直线经过（ ）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
2．直线的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
3．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（ ）
A．y＝－x＋3 B．y＝x－3
C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
5．过点且倾斜角为90°的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
7．直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．以上都不对
8．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
9．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．4x＋2y＋3＝0 B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
10．下列说法正确的是
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程（）能表示平行于轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点，的直线方程
11．已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
12．“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_______.
14．将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为________．
15．若直线绕着其上一点逆时针旋转后得到直线，则直线的点斜式方程为_________．
16．若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点_____．
17．过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于、两点，则（为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为____________.
三、解答题
18．直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.
（1）求边所在直线的方程；
（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.
19．求满足下列条件的直线方程：(要求把直线的方程化为一般式)
（1）经过点，且斜率等于直线的斜率的倍；
（2）经过点，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍．
20．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21．一河流同侧有两个村庄A，B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A，B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.
【详解】
由，令可得，；令可得；
即直线过点，，
所以直线经过一、二、三象限.
故选：A.
2．C
由斜率即可求出倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
则，，.
故选：C.
3．A
由直线方程求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】
由题意，直线的斜率，设倾斜角为，，则.
故选：A.
4．C
直接代入两点式方程，可求.
【详解】
代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，
故选：C．
5．B
根据倾斜角为的直线的方程形式，判断出正确选项.
【详解】
由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为.
故选：B
本小题主要考查倾斜角为的直线的方程，属于基础题.
6．B
由时，可得到定点坐标.
【详解】
当，即时，，直线恒过定点.
故选：B.
7．A
由已知直线方程，直接判断它们的位置关系即可.
【详解】
是表示轴的直线，表示轴的直线，两条直线互相垂直．
故选：A．
8．C
设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，分类讨论，利用直线方程的截距式可得结果.
【详解】
设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，
当时，直线经过原点，其方程为，即；
当时，设直线的方程为，因为直线过点，
所以，解得，所以直线的方程为，即.
所以直线的方程为或.
故选：C
易错点点睛：容易漏掉截距为0的情况.
9．B
等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出中点和的斜率后可得．
【详解】
因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.
故选：B．
10．D
根据直线方程的截距式，一般式，点斜式，两点式方程，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 当截距为零时不能用方程表示，错误；
B. 方程（）不能表示平行于轴的直线，错误；
C. 倾斜角为时不成立，错误；
D. 经过两点，的直线方程，代入验证知正确；
故选：.
本题考查了直线方程，意在考查学生的推断能力.
11．D
由两直线垂直得，进而根据垂足是两条直线的交点代入计算即可得答案.
【详解】
由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
12．A
直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】
因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
13．
根据正切函数的单调性求解.
【详解】
因为正切函数在上单调递增，
所以，当时，，
所以斜率
本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.
14．
根据的方程可以求出的倾斜角，及与轴的交点坐标，根据与倾斜角的关系确定的倾斜角，利用直线点斜式写出方程即可判断直线在y轴上的截距.
【详解】
易知的倾斜角为，所以的倾斜角为，又由题意知过点，所以的方程为，即，从而可知在y轴上的截距为．
故答案为：
15．
先根据已知直线斜率求得倾斜角，旋转得到直线的倾斜角，再根据其斜率和定点得到点斜式方程.
【详解】
∵直线的斜率为1，∴倾斜角为45°．将其逆时针旋转90°后得到直线，
则直线的倾斜角为135°，∴直线的斜率为．
又点在直线上，∴直线的点斜式方程为．
故答案为：.
本题考查了直线的点斜式方程，属于基础题.
16．
根据直线恒过定点，求其关于点的对称点，即可求解.
【详解】
因为过定点，
而关于点的对称点为，
又直线与直线关于点对称，
所以直线恒过定点.
本题主要考查了直线系过定点，直线关于点对称，点关于点对称问题，属于中档题.
17．
设直线的方程为，求出点、的坐标，结合已知条件求出的取值范围，然后求出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出所求直线的方程.
【详解】
易知直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，即.
在直线的方程中，令，可得；令，可得.
所以，点、.
由已知条件可得，解得.
的面积为.
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，直线的方程为，即.
故答案为：.
关键点点睛：解本题的关键在于将三角形的面积利用斜率有关的代数式表示，并结合基本不等式求出三角形面积的最小值，同时不要忽了斜率的取值范围的求解.
18．（1）；（2）.
（1）计算出直线的斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.
【详解】
（1）直线的斜率为，
由题意可知，则直线的斜率为.
因此，边所在直线的方程为，即；
（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.
由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，
则，所以，圆的半径为.
因此，圆的标准方程为.
本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）；（2）或．
（1）由题意可得的斜率为，即可得所求直线的斜率，代入点斜式方程，即可得直线的方程，化简整理，即可得答案.
（2）当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，根据直线方程的截距式，代入点坐标，即可得直线方程；直线过原点时，设直线方程为，代入点坐标，即可得直线方程，综合即可得答案.
【详解】
（1）因为直线的斜率为，
所以所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，
化简得．
（2）由题意，当直线不过原点时，设直线在y轴截距为a，则所求直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为；
当直线过原点时，设直线方程为，
将代入，可得，解得，
所以直线方程为，即，
综上可得，所求直线方程为或．
20．（1）证明见解析；（2）；（3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0．
（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点；
（2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解；
（3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程.
【详解】
（1）证明：
直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B（0，1＋2k）．
又且1＋2k＞0，
∴k＞0．
故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
21．水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，再求出点B的坐标，利用对称性求解.
【详解】
解：如图，以河流所在直线为x轴、y轴通过点A，建立平面直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)．
设点B在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，
故点B(300，700)．
设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，
则直线A′B的斜率k＝，直线A′B的方程为y＝x－300.
令y＝0，得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在P(90，0)处电线用料最省．
关键点睛：解答本题有两个关键，其一是：想到利用解析法来求解；其二是，能够利用数形结合利用对称性找到满足题意的位置.
答案第1页，共2页
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