选择性必修第一册3.1椭圆 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册3.1椭圆 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-16 16:59:16 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1椭圆 同步练习
一、单选题
1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
2．下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A． B． C． D．
3．直线与椭圆有且只有一个交点，则的值是( )
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
6．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
8．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知焦点在轴上的椭圆，且，2，成等差数列，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，如果一个椭圆通过 两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
12．若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（ ）．
A． B．
C． D．
13．设椭圆(m>0)的左焦点为F，点P在椭圆上且在第一象限，直线PF与圆相交于A.B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则直线PF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则__________.
17．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.
18．椭圆：，以原点为圆心，半径为椭圆的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆的离心率为________.
三、解答题
19．如图，已知动圆过点），且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．
20．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
21．已知椭圆(a>b>0)经过A(0，2) B(-3，-1)两点.
（1）求直线AB和椭圆的方程；
（2）求椭圆上的动点T到N(1，0)的最短距离；
（3）直线AB与x轴交于点M(m，0)，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x=m于P，Q两点.求证：为定值.
22．已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，（点在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点．点在椭圆上．
（1）求椭圆的焦距；
（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）求直线倾斜角的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.
【详解】
由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
2．A
根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得的关系，即可求解.
【详解】
由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．
故选：A.
3．C
直线和椭圆只有一个交点，则直线和椭圆相切，联立直线和椭圆方程得到二次方程，二次方程只有一个解，根据＝0即可求出k的值﹒
【详解】
由得，，
由题意知，解得，
故选：C．
4．B
在中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率．
【详解】
由题设知是直角三角形，
，，，
，．
又由椭圆的定义，得，，
故．
故选：B．
5．A
由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】
∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
6．A
依据题意得到，然后根据得到，最后简单计算即可.
【详解】
由题意可得，，
所以，所以，，所以离心率.
故选:A.
7．A
设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】
设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
8．C
分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】
在椭圆中，，，，
如下图所示：
因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，
，为等边三角形，则，即，
因此，.
故选：C.
9．C
依题意可得，根据等差中项的性质可得，即可求出、，从而求出椭圆方程，设，根据点在椭圆上即可得到，再表示出根据二次函数的性质求出的最大值；
【详解】
解：焦点在轴上的椭圆．所以，
又，2，，成等差数列，所以，联立解得，所以椭圆方程为，左焦点，右顶点，
设，则，所以，
，
，
时．
故选：C．
10．A
利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.
【详解】
由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
11．D
根据等腰，可得，然后可得，假设，依据椭圆定义可得，根据可得，最后可得离心率.
【详解】
设另一个焦点为，如图所示，∵，，
，则，
设，则，，
∴，，，∴，
故选:D.
12．B
由题意构建齐次式即可得到结果.
【详解】
由题意知，又，
∴
∴，即或（舍），
故选:B．
13．B
取中点，可得也为中点，可得，设，根据，可得，再利用等面积可求点坐标，即可求出斜率.
【详解】
取中点，由A，B是线段PF的两个三等分点可得也为中点，
连接，则，
设为右焦点，为中点，，，
设，又，
由椭圆定义，
在中，，则可得，
则，
即，即，解得，代入椭圆可得，
则直线PF的斜率为.
故选：B.
关键点睛：解决本题的关键是得出，然后利用焦点三角形的相关性质建立关系求解.
14．D
设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】
设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
15．D
利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】
如下图所示，设，则，，所以，，
所以，，
由椭圆定义可得，，，
所以，，
所以，为等腰直角三角形，可得，，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：D.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
16．
化为标准方程，求得即可得出所求.
【详解】
椭圆化为标准方程为，
左顶点为，上顶点为，
.
故答案为：.
17．
求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在轴对参数范围的限制．
【详解】
由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，，
又焦点在x轴上，..
故答案为：．
18．
由题意画出图形，利用等面积法可得关于，，的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率.
【详解】
解：如图所示，过点作，则，
由题意可得，，即，又由可得，
，整理可得，
因为，所以，解得，
因为，所以.
故答案为：.
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
19．（1）；（2）存在点，使得为定值.
（1）由题意知，于是，结合椭圆定义可得曲线方程；
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，由韦达定理得 ，，再讨论能否让为定值；再补充当直线与轴重合时的情况.
【详解】
（1）由圆的方程知，圆心为，半径为.
设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且.
因为圆过点，则，于是，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，则，又，则，所以曲线的方程是.
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，
即.
设点，，则，.
设点，则，，
.
若为定值，则，解得，此时为定值.
当直线与轴重合时，点，.对于点，则．
，此时.
综上分析，存在点，使得为定值.
【点晴】
方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
20．（1）；（2）证明见解析，（0，2）.
（1）利用焦距和离心率解参数，即得方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根和与差的关系，再利用向量数量积计算求得参数m，即证得结论，得到定点.
【详解】
（1）由题意知，，∴
椭圆C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，
所以，，
所以，＝，
因为，
所以，，
所以，
整理得：3m2﹣m﹣10＝0，
解得：m＝2或（舍去），故直线为：.
所以直线l过定点（0，2）.
圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，这类题运算量较大.
21．（1）；；（2）；（3）证明见解析.
（1）把点A(0，2) B(-3，-1)代入椭圆方程即可求出椭圆方程；直线AB的方程可以利用点斜式或两点式求解；
（2）利用两点间的距离公式化简为函数最值问题求解；
（3）首先利用直线的方程求出，再分别利用，的方程与椭圆方程联立方程组得出坐标，即可化简得到.
【详解】
（1）把A(0，2) B(-3，-1)两点坐标代入得：，
即，，即椭圆方程为：.
，所以直线的方程为：.
（2）设，则点T到N(1，0)的距离，
因为，所以当时，有最小值，且，
所以动点T到N(1，0)的最短距离为： .
（3）如图，
因为直线的方程为：，
取得，，
设直线的方程为：，， ，
联立方程组：得：，
所以，，
记直线的方程为：，令得：，
记直线的方程为：，令得：，
故为定值，定值为1.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）．
（1）把点代入椭圆方程，解出，即可求焦距；
（2）设，，则直线的斜率，直线的斜率，进而可证明：；
（3）把直线的斜率用表示，，再结合基本不等式求的最小值，即可求直线倾斜角的最小值．
【详解】
（1）把点代入椭圆方程得到，解得，
焦距为，
（2）设，由，可得，．
所以直线的斜率，
直线的斜率．
此时，所以为定值．
（3）设，，直线的方程为，直线的方程为．
联立，整理得．由可得，所以，
同理，
所以，
所以，
所以．
由，，可知，所以，等号当且仅当时取得．
此时，即，符合题意，
所以直线的斜率的最小值为．
所以倾斜角的最小值为．
本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的应用，考查数学运算的核心素养，属于难题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．81
2．下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A． B． C． D．
3．直线与椭圆有且只有一个交点，则的值是( )
A． B． C． D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）
A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1
6．设是椭圆：上任意一点，为的右焦点，的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
8．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知焦点在轴上的椭圆，且，2，成等差数列，分别是椭圆的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则的最大值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，如果一个椭圆通过 两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
12．若椭圆：（）满足，则该椭圆的离心率（ ）．
A． B．
C． D．
13．设椭圆(m>0)的左焦点为F，点P在椭圆上且在第一象限，直线PF与圆相交于A.B两点，若A，B是线段PF的两个三等分点，则直线PF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
15．已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则__________.
17．已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则b的取值范围是___________.
18．椭圆：，以原点为圆心，半径为椭圆的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆的离心率为________.
三、解答题
19．如图，已知动圆过点），且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过圆心的直线交曲线于，两点，问：在轴上是否存在定点，使当直线绕点任意转动时，为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由．
20．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
21．已知椭圆(a>b>0)经过A(0，2) B(-3，-1)两点.
（1）求直线AB和椭圆的方程；
（2）求椭圆上的动点T到N(1，0)的最短距离；
（3）直线AB与x轴交于点M(m，0)，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线x=m于P，Q两点.求证：为定值.
22．已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，（点在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，延长交椭圆于点．点在椭圆上．
（1）求椭圆的焦距；
（2）设直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）求直线倾斜角的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据条件，利用椭圆标准方程中长半轴长a，短半轴长b，半焦距c的关系列式计算即得.
【详解】
由椭圆的一个焦点坐标为，则半焦距c=2，
于是得，解得，
所以的值为1.
故选：A
2．A
根据椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，结合选项中的椭圆的方程，求得的关系，即可求解.
【详解】
由，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足，
因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，
所以这四个椭圆中，椭圆的离心率最大，故其形状最扁．
故选：A.
3．C
直线和椭圆只有一个交点，则直线和椭圆相切，联立直线和椭圆方程得到二次方程，二次方程只有一个解，根据＝0即可求出k的值﹒
【详解】
由得，，
由题意知，解得，
故选：C．
4．B
在中，得出直角边与斜边的关系，再结合椭圆的定义易得离心率．
【详解】
由题设知是直角三角形，
，，，
，．
又由椭圆的定义，得，，
故．
故选：B．
5．A
由椭圆定义求得，已知焦点坐标得，再求出可得椭圆方程．
【详解】
∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12，
∴椭圆的方程为＝1．
故选：A．
6．A
依据题意得到，然后根据得到，最后简单计算即可.
【详解】
由题意可得，，
所以，所以，，所以离心率.
故选:A.
7．A
设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】
设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
8．C
分析出为等边三角形，可得出，进而可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】
在椭圆中，，，，
如下图所示：
因为椭圆的上顶点为点，焦点为、，所以，
，为等边三角形，则，即，
因此，.
故选：C.
9．C
依题意可得，根据等差中项的性质可得，即可求出、，从而求出椭圆方程，设，根据点在椭圆上即可得到，再表示出根据二次函数的性质求出的最大值；
【详解】
解：焦点在轴上的椭圆．所以，
又，2，，成等差数列，所以，联立解得，所以椭圆方程为，左焦点，右顶点，
设，则，所以，
，
，
时．
故选：C．
10．A
利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.
【详解】
由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
11．D
根据等腰，可得，然后可得，假设，依据椭圆定义可得，根据可得，最后可得离心率.
【详解】
设另一个焦点为，如图所示，∵，，
，则，
设，则，，
∴，，，∴，
故选:D.
12．B
由题意构建齐次式即可得到结果.
【详解】
由题意知，又，
∴
∴，即或（舍），
故选:B．
13．B
取中点，可得也为中点，可得，设，根据，可得，再利用等面积可求点坐标，即可求出斜率.
【详解】
取中点，由A，B是线段PF的两个三等分点可得也为中点，
连接，则，
设为右焦点，为中点，，，
设，又，
由椭圆定义，
在中，，则可得，
则，
即，即，解得，代入椭圆可得，
则直线PF的斜率为.
故选：B.
关键点睛：解决本题的关键是得出，然后利用焦点三角形的相关性质建立关系求解.
14．D
设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】
设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
15．D
利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】
如下图所示，设，则，，所以，，
所以，，
由椭圆定义可得，，，
所以，，
所以，为等腰直角三角形，可得，，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：D.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
16．
化为标准方程，求得即可得出所求.
【详解】
椭圆化为标准方程为，
左顶点为，上顶点为，
.
故答案为：.
17．
求出直线所过定点，由定点在椭圆内部或椭圆上，得出参数范围，同时注意椭圆的焦点在轴对参数范围的限制．
【详解】
由题意直线恒过定点，要使直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则只需要点在椭圆上或椭圆内，，
又焦点在x轴上，..
故答案为：．
18．
由题意画出图形，利用等面积法可得关于，，的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率.
【详解】
解：如图所示，过点作，则，
由题意可得，，即，又由可得，
，整理可得，
因为，所以，解得，
因为，所以.
故答案为：.
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.
19．（1）；（2）存在点，使得为定值.
（1）由题意知，于是，结合椭圆定义可得曲线方程；
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，由韦达定理得 ，，再讨论能否让为定值；再补充当直线与轴重合时的情况.
【详解】
（1）由圆的方程知，圆心为，半径为.
设圆和圆内切于点，则，，三点共线，且.
因为圆过点，则，于是，
所以圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆.
因为，则，又，则，所以曲线的方程是.
（2）当直线与轴不重合时，设直线的方程为，代入，得，
即.
设点，，则，.
设点，则，，
.
若为定值，则，解得，此时为定值.
当直线与轴重合时，点，.对于点，则．
，此时.
综上分析，存在点，使得为定值.
【点晴】
方法点睛：求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；
（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；
（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；
（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.
20．（1）；（2）证明见解析，（0，2）.
（1）利用焦距和离心率解参数，即得方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理得到两根和与差的关系，再利用向量数量积计算求得参数m，即证得结论，得到定点.
【详解】
（1）由题意知，，∴
椭圆C的方程为：；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2﹣25＝0，
所以，，
所以，＝，
因为，
所以，，
所以，
整理得：3m2﹣m﹣10＝0，
解得：m＝2或（舍去），故直线为：.
所以直线l过定点（0，2）.
圆锥曲线中求直线过定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，这类题运算量较大.
21．（1）；；（2）；（3）证明见解析.
（1）把点A(0，2) B(-3，-1)代入椭圆方程即可求出椭圆方程；直线AB的方程可以利用点斜式或两点式求解；
（2）利用两点间的距离公式化简为函数最值问题求解；
（3）首先利用直线的方程求出，再分别利用，的方程与椭圆方程联立方程组得出坐标，即可化简得到.
【详解】
（1）把A(0，2) B(-3，-1)两点坐标代入得：，
即，，即椭圆方程为：.
，所以直线的方程为：.
（2）设，则点T到N(1，0)的距离，
因为，所以当时，有最小值，且，
所以动点T到N(1，0)的最短距离为： .
（3）如图，
因为直线的方程为：，
取得，，
设直线的方程为：，， ，
联立方程组：得：，
所以，，
记直线的方程为：，令得：，
记直线的方程为：，令得：，
故为定值，定值为1.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）．
（1）把点代入椭圆方程，解出，即可求焦距；
（2）设，，则直线的斜率，直线的斜率，进而可证明：；
（3）把直线的斜率用表示，，再结合基本不等式求的最小值，即可求直线倾斜角的最小值．
【详解】
（1）把点代入椭圆方程得到，解得，
焦距为，
（2）设，由，可得，．
所以直线的斜率，
直线的斜率．
此时，所以为定值．
（3）设，，直线的方程为，直线的方程为．
联立，整理得．由可得，所以，
同理，
所以，
所以，
所以．
由，，可知，所以，等号当且仅当时取得．
此时，即，符合题意，
所以直线的斜率的最小值为．
所以倾斜角的最小值为．
本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式的应用，考查数学运算的核心素养，属于难题．
答案第1页，共2页
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