选择性必修第一册3.2双曲线 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册3.2双曲线 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 926.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-16 16:59:55 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2双曲线 同步练习
一、单选题
1．双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
3．已知双曲线右支上一点到右焦点的距离为，则该点到左准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线（，）的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在双曲线上，且焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线（m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．双曲线的离心率为，的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则______.
14．已知、是离心率为的双曲线的右顶点和右焦点，记、到直线的距离分别为、，则_________．
15．若双曲线的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为______.
16．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为___________．
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
三、解答题
18．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
19．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.
20．已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．
21．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
将双曲线的方程化为标准形式，根据双曲线离心率公式即可求其离心率.
【详解】
，
∴.
故选：A.
2．D
根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
3．C
由双曲线方程及离心率公式可得，结合双曲线的定义可得点到左焦点的距离为，再由双曲线的第二定义即可得解.
【详解】
由双曲线的方程可得，，，
所以该双曲线的离心率，
因为右支上一点到右焦点的距离为，所以点到左焦点的距离为，
所以该点到左准线的距离为.
故选：C.
4．A
根据题意可设出垂线的方程，联立解得A点坐标，根据可知点B为FA的中点，由此得其坐标，代入双曲线方程求得离心率.
【详解】
由题意可知右焦点为F(c,0)，
过F作渐近线的垂线，垂足为A，
故可设 方程为 ，联立，
可得 ，
由可知，点B为FA的中点，故 ，
将代入中，可得 ，
即 ，
故选：A.
5．B
令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】
如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
6．B
利用定义及两点间距离得，进而得b的值，则渐近线方程可得
【详解】
由焦距为4，可得左、右焦点分别为，，
由双曲线定义可得，
所以，故，故双曲线的渐近线方程为，
故选：B.
本题考查双曲线的方程及渐近线求解，考查定义的应用，是基础题
7．B
根据双曲线的定义和，得到,进而得到，然后在中，设，，由余弦定理求解.
【详解】
由双曲线的定义得：，
因为，
所以，
所以,又，
所以，
在中，，设，
因为，所以，
由余弦定理得：，
即，
所以，
解得，
故选：B
关键点点睛：本题关键是由，确定的范围.
8．A
根据双曲线的焦点求出的值，进而可以求出结果.
【详解】
由双曲线方程可知，
且，，则，得，
所以双曲线的方程为，
则渐近线方程为.
故选：A.
9．D
设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】
设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
10．D
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
11．A
由离心率公式可得，，直接计算即可求解.
【详解】
由题意可得双曲线的离心率，
即的离心率为，
所以，
故选：A
12．D
根据给定条件结合双曲线定义求出，再借助余弦定理即可计算作答.
【详解】
作轴于M，如图，依题意，，令，
则，由双曲线定义知，而，
在中，由余弦定理得：，即，
又离心率，于是有，又e>0，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
13．
先利用线线平行和渐近线的关系得到是等边三角形，进而得到，再利用三角形的面积求出，，，再利用余弦定理进行求解.
【详解】
如图，连接PF，交另一条渐近线于点Q，
因为，所以，
所以是等边三角形，所以，
则，即；
又因为，所以，
解得，，，
在中，，，，
由余弦定理，得.
故答案为：.
14．
计算出，由此可得出，即可得解.
【详解】
由已知条件可得出，则，所以，.
故答案为：.
15．3
根据双曲线的右顶点到渐近线方程为的距离，利用点到直线的距离公式，化简得到，再结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】
由双曲线的右顶点，一条渐近线方程为，即，
可得，则，即
又由，可得，所以离心率.
故答案为：.
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
16．
先确定双曲线的渐近性斜率，再根据，即可求出离心率的取值范围
【详解】
由得，双曲线的渐近线方程为．
结合图形知，
当过右焦点的直线与渐进性平行时，只与右支有一个交点，
绕点逆时针旋转会与右支有2个交点，
绕点顺时针旋转，与左右两支各有1个交点，
所以.
即．
故双曲线离心率的取值范围是．
故答案为：
本题考查了双曲线的性质，渐进性方程的运用，涉及离心率和渐进斜斜率间的关系，属于中档题.
17．
由题意知：在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围.
【详解】
由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.
∵且，
∴在、之间，如上图示，令，
∴，，则，，
∴， 即，
∴，故，得，又，
∴.
故答案为：
关键点点睛：首先判断、、的位置关系，再设直线方程并求、坐标，利用向量共线的坐标表示列方程，结合已知求参数范围即可.
18．（1）10或22；（2）.
（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【详解】
解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
19．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；
（ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.
【详解】
（1）由题意可知：，
所以点到点与到点的距离之差为2，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，其中，，
所以，，
所以，所以曲线的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.
联立，消去，可得，
由题意知且，
所以，.
直线：，直线：①，
由于点在曲线上，可知，所以，
所以直线：②.
联立①②，消去可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以点在定直线上.
（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.
设，，
由于在直线：上，在直线：上，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以.
思路点睛：
求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.
20．（1）存在；（2）证明见解析.
（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.
【详解】
解：（1）双曲线的标准方程为，，．
设存在过点的弦，使得的中点为，
设，，，
两式相减得，即得：，．
存在这样的弦．这时直线的方程为．
（2）设直线方程为，则点在直线上．
则，直线的方程为，
设，，的中点为，，
两式相减得，则，则
又因为在直线上有，解得，
，解得，，
，整理得，则
则
由距离公式得
所以、、、四点共圆．
21．（1）；（2）1.
（1）设所求双曲线方程为：，根据题意得到，求得的值，代入即可求解.
（2）化简椭圆的方程为，求得，结合离心率列出方程，即可求解.
【详解】
（1）因为双曲线与双曲线1有相同焦点，
可设所求双曲线方程为：，
因为双曲线过点，所以，解得或（舍），
所以所求双曲线方程为.
（2）椭圆方程可化为:，
因为，即，所以，，
所以，
所以，解得.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
3．已知双曲线右支上一点到右焦点的距离为，则该点到左准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线（，）的右焦点为F，过F作渐近线的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在双曲线上，且焦距为4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线（m≠0）的一个焦点为F（3，0），则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．双曲线的离心率为，的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
12．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，曲线上一点到轴的距离为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则______.
14．已知、是离心率为的双曲线的右顶点和右焦点，记、到直线的距离分别为、，则_________．
15．若双曲线的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为______.
16．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为___________．
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，且，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
三、解答题
18．如图，若是双曲线的两个焦点.
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积.
19．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）设，，若过的直线与交于，两点，且直线与交于点.证明：
（i）点在定直线上；
（ii）若直线与交于点，则.
20．已知双曲线：与点．
（1）是否存在过点的弦，使得的中点为；
（2）如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆．
21．（1）求与双曲线有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程；
（2）已知椭圆的离心率，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
将双曲线的方程化为标准形式，根据双曲线离心率公式即可求其离心率.
【详解】
，
∴.
故选：A.
2．D
根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
3．C
由双曲线方程及离心率公式可得，结合双曲线的定义可得点到左焦点的距离为，再由双曲线的第二定义即可得解.
【详解】
由双曲线的方程可得，，，
所以该双曲线的离心率，
因为右支上一点到右焦点的距离为，所以点到左焦点的距离为，
所以该点到左准线的距离为.
故选：C.
4．A
根据题意可设出垂线的方程，联立解得A点坐标，根据可知点B为FA的中点，由此得其坐标，代入双曲线方程求得离心率.
【详解】
由题意可知右焦点为F(c,0)，
过F作渐近线的垂线，垂足为A，
故可设 方程为 ，联立，
可得 ，
由可知，点B为FA的中点，故 ，
将代入中，可得 ，
即 ，
故选：A.
5．B
令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】
如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
6．B
利用定义及两点间距离得，进而得b的值，则渐近线方程可得
【详解】
由焦距为4，可得左、右焦点分别为，，
由双曲线定义可得，
所以，故，故双曲线的渐近线方程为，
故选：B.
本题考查双曲线的方程及渐近线求解，考查定义的应用，是基础题
7．B
根据双曲线的定义和，得到,进而得到，然后在中，设，，由余弦定理求解.
【详解】
由双曲线的定义得：，
因为，
所以，
所以,又，
所以，
在中，，设，
因为，所以，
由余弦定理得：，
即，
所以，
解得，
故选：B
关键点点睛：本题关键是由，确定的范围.
8．A
根据双曲线的焦点求出的值，进而可以求出结果.
【详解】
由双曲线方程可知，
且，，则，得，
所以双曲线的方程为，
则渐近线方程为.
故选：A.
9．D
设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.
【详解】
设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
10．D
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
11．A
由离心率公式可得，，直接计算即可求解.
【详解】
由题意可得双曲线的离心率，
即的离心率为，
所以，
故选：A
12．D
根据给定条件结合双曲线定义求出，再借助余弦定理即可计算作答.
【详解】
作轴于M，如图，依题意，，令，
则，由双曲线定义知，而，
在中，由余弦定理得：，即，
又离心率，于是有，又e>0，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
13．
先利用线线平行和渐近线的关系得到是等边三角形，进而得到，再利用三角形的面积求出，，，再利用余弦定理进行求解.
【详解】
如图，连接PF，交另一条渐近线于点Q，
因为，所以，
所以是等边三角形，所以，
则，即；
又因为，所以，
解得，，，
在中，，，，
由余弦定理，得.
故答案为：.
14．
计算出，由此可得出，即可得解.
【详解】
由已知条件可得出，则，所以，.
故答案为：.
15．3
根据双曲线的右顶点到渐近线方程为的距离，利用点到直线的距离公式，化简得到，再结合和离心率的定义，即可求解.
【详解】
由双曲线的右顶点，一条渐近线方程为，即，
可得，则，即
又由，可得，所以离心率.
故答案为：.
求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
16．
先确定双曲线的渐近性斜率，再根据，即可求出离心率的取值范围
【详解】
由得，双曲线的渐近线方程为．
结合图形知，
当过右焦点的直线与渐进性平行时，只与右支有一个交点，
绕点逆时针旋转会与右支有2个交点，
绕点顺时针旋转，与左右两支各有1个交点，
所以.
即．
故双曲线离心率的取值范围是．
故答案为：
本题考查了双曲线的性质，渐进性方程的运用，涉及离心率和渐进斜斜率间的关系，属于中档题.
17．
由题意知：在、之间，若过作直线l垂直于B，交于A，可令求、坐标，进而可得、，应用向量共线的坐标表示，列方程得到a、c的齐次方程，即可求的范围.
【详解】
由题意，双曲线C的渐近线为，若过作直线l垂直于B，交于A，.
∵且，
∴在、之间，如上图示，令，
∴，，则，，
∴， 即，
∴，故，得，又，
∴.
故答案为：
关键点点睛：首先判断、、的位置关系，再设直线方程并求、坐标，利用向量共线的坐标表示列方程，结合已知求参数范围即可.
18．（1）10或22；（2）.
（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【详解】
解：（1）是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或，
即点到另一个焦点的距离为或；
（2）P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
19．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
（1）根据复数模的计算公式，由题中条件，得到，再由双曲线的定义，即可得出结果；
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，，联立直线与双曲线方程，根据韦达定理，得到，，表示出直线与的方程，两直线方程联立，求出交点横坐标为定值，即可证明结论成立；
（ii）先同理得到点也在定直线上，设，， 代入（i）中直线与的方程，得出，再计算，即证结论成立.
【详解】
（1）由题意可知：，
所以点到点与到点的距离之差为2，且，
所以动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设其方程为，其中，，
所以，，
所以，所以曲线的方程为.
（2）（i）设直线的方程为，，，其中，.
联立，消去，可得，
由题意知且，
所以，.
直线：，直线：①，
由于点在曲线上，可知，所以，
所以直线：②.
联立①②，消去可得，
即，
所以，
所以，所以，
所以点在定直线上.
（ii）由题意，与（i）同理可证点也在定直线上.
设，，
由于在直线：上，在直线：上，
所以，，
所以
，
又因为，，
所以，所以.
思路点睛：
求解圆锥曲线中动点在定直线上的问题时，一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系时，从而可确定结果（一般得到动点横坐标或纵坐标为定值）.
20．（1）存在；（2）证明见解析.
（1）利用点差法求解；（2）利用点差法和弦长公式求出相关线段的长度，再利用距离公式证明线段相等，可求证得四点共圆.
【详解】
解：（1）双曲线的标准方程为，，．
设存在过点的弦，使得的中点为，
设，，，
两式相减得，即得：，．
存在这样的弦．这时直线的方程为．
（2）设直线方程为，则点在直线上．
则，直线的方程为，
设，，的中点为，，
两式相减得，则，则
又因为在直线上有，解得，
，解得，，
，整理得，则
则
由距离公式得
所以、、、四点共圆．
21．（1）；（2）1.
（1）设所求双曲线方程为：，根据题意得到，求得的值，代入即可求解.
（2）化简椭圆的方程为，求得，结合离心率列出方程，即可求解.
【详解】
（1）因为双曲线与双曲线1有相同焦点，
可设所求双曲线方程为：，
因为双曲线过点，所以，解得或（舍），
所以所求双曲线方程为.
（2）椭圆方程可化为:，
因为，即，所以，，
所以，
所以，解得.
答案第1页，共2页
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