选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章　直线和圆的方程
一、单选题
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知ab＜0，bc＞0，则直线ax＋by＋c＝0通过（ ）象限
A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四
4．已知两条直线，，若与平行，则为（ ）
A． B． C．或 D．
5．已知点、，若线段的垂直平分线的方程是，则实数的值是（ ）
A． B．
C． D．
6．直线经过圆的圆心，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．圆与直线相交于、两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知圆，直线为上的动点，过点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知直线：，：，其中，若，则___________.
14．已知直线过和两点，直线过点且绕点按逆时针方向旋转到与重合时，所转的最小正角为，则直线的斜率为________．
15．若M，N分别为圆C1：，与圆C2：上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_________．
16．若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.
三、解答题
17．已知圆C的圆心为，直线与圆C相切.
（1）求圆C的方程；
（2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面平面，为正三角形，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若点在棱上，且平面，求三棱锥的体积.
19．已知圆:,直线.
(1)若直线与圆相切,求的值;
(2)若直线与圆交于不同的两点,当∠AOB为锐角时,求k的取值范围;
(3)若,是直线上的动点,过作圆的两条切线,切点为,探究:直线是否过定点．
20．已知圆，点．
（1）若点在圆外部，求实数的取值范围；
（2）当时，过点的直线交圆于，两点，求面积的最大值及此时直线l的斜率．
21．已知圆的圆心为，且圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴交于两点，若一条动直线交圆于两点，记圆心到直线的距离为．
（i）当时，求的值．
（ii）当时，试问是否为定值，并说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
由直线方程求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】
由题意，直线的斜率，设倾斜角为，，则.
故选：A.
2．B
求出直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程，化简即可.
【详解】
所求直线的斜率为，因此，所求直线的方程为，即.
故选：B.
3．C
将方程整理为斜截式，即可根据斜率以及轴上的截距的正负判断直线经过的象限.
【详解】
等价于，
根据题意，故直线必经过第一、三象限；
又因为，故直线必经过第三、四象限，
故直线必经过第一、三、四象限.
故选：C.
本题考查由直线方程的系数，确定直线经过的象限，属基础题.关键是转化为斜截式，然后根据斜率和截距的正负进行判定.
4．A
由题意利用两条直线平行的性质，求得的值．
【详解】
解：两条直线，，
若与平行，则且，由解得或，
当时故舍去，所以；
故选：A．
5．C
分析可知，直线的斜率为，且线段的中点在直线上，可列出关于实数的等式组，由此可得出关于实数的值.
【详解】
由中点坐标公式，得线段的中点坐标为，
直线的斜率为，由题意知，直线的斜率为，
所以，，解得.
故选：C.
6．A
将圆的方程整理为标准方程可得圆心坐标，由倾斜角和斜率关系求得直线斜率，由直线点斜式方程整理得到结果.
【详解】
整理圆的方程可得：，圆心，
倾斜角为，其斜率，
方程为：，即.
故选：A.
7．C
由题意可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，根据两直线垂直求出线段的垂直平分线所在直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线的方程.
【详解】
圆的圆心坐标为，
由圆的几何性质可知，线段的垂直平分线经过圆心且与直线垂直，
直线的斜率为，则所求直线的斜率为，
因此，线段的垂直平分线的方程是，即.
故选：C.
8．C
由得点在以为直径的圆上，又点在圆上，可得以为直径的圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系，即可求出的取值范围.
【详解】
，，，
所以在以为直径的圆上，其圆心为坐标原点，半径为
又点在圆上，所以以为直径的圆与圆有公共点，
圆：，圆心，半径为，
所以，解得.
故选：C.
本题考查圆与圆的位置关系，确定点的轨迹是解题的关键，属于中档题.
9．D
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
10．A
将圆的方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离，减去半径可得出的最小值.
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线上的点的最小距离，
故选：A．
结论点睛：若直线与圆相离，点是半径为的圆上的一点，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的取值范围是.
11．A
由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】
解：圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴，即 ，由，解得．
所以以为直径的圆的方程为，
即，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：A .
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
12．B
由题意分析得知：直线经过圆心，求出b；由直线与直线垂直，求出k；
【详解】
∵直线与圆的两个交点关于直线对称，
∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直，
∴解得：
故选：B
(1)坐标法是解析几何的基本方法；
(2)解析几何归根结底还是几何，寻找合适的几何关系可以简化运算．
13．2
利用两条直线平行的条件列方程，化简求得.
【详解】
由于，所以，解得.
故答案为：
14．
求出直线的倾斜角，根据已知条件求出直线的倾斜角，由此可求得的值.
【详解】
直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，从而可得，
设直线的倾斜角为，则，解得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
15．9
连接，要求的最小值，可以转化为求点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，从而可得答案．
【详解】
由题意点C1(-6，5)半径为2，C2(2，1)半径为1，
设点C1关于直线的对称点为C3(，)，
如图：
则，解得，即C3(-10，1)，连接C2C3，
求的最小值可以转化为P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，
再由点C1、C3关于直线的对称，
所以，
又，故答案为9．
16．
由斜率相等得的关系．
【详解】
解析：由题意得，
ab+2(a+b)=0，．
故答案为：．
17．（1）；（2）或.
（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.
【详解】
（1）因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心到直线的距离为
∴圆C的方程为：；
（2）当斜率不存在时，的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；
当斜率存在时，设的方程为，
则.
又直线被圆C所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，
所以直线的方程为.
综上：的方程为或.
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）可证及，从而可证平面.
（2）连接，交于点，连接，由线面平行的性质定理可得，再根据平面平面可得平面，利用等体积转化，计算即可得解.
【详解】
（1）∵为正三角形，为的中点，∴.
∵，，为的中点.∴四边形为平行四边形，∴.
又，∴，即.
又，∴平面.
（2）连接，交于，连接.
∵平面，平面，平面平面，∴.
∵，，为的中点.∴四边形为平行四边形，∴为的中点，∴为的中点.
∵平面平面，平面平面，，∴平面.
∵，则.
∴.
19．（1） ； （2）或； （3） .
（1）由直线l与圆O相切，得圆心O（0，0）到直线l的距离等于半径r=，由此能求出k．
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线l：y=kx﹣2代入x2+y2=2，得（1+k2）x2﹣4kx+2=0，由此利用根的判断式、向量的数量积公式能求出k的取值范围．
（3）由题意知O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，），其方程为，C，D在圆O：x2+y2=2上，求出直线CD：（x﹣）t﹣2y﹣2=0，联立方程组能求出直线CD过定点（）．
【详解】
(1)由圆心O到直线l的距离，可得k=±1．
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
将直线l:y=kx-2代入x2+y2=2,整理,得(1+k2)·x2-4kx+2=0,
所以,Δ=(-4k)2-8(1+k2)>0,即k2>1当∠AOB为锐角时,
则
,可得k2<>
又因为k2>1,故k的取值范围为或．
(3)设切点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
动点P的坐标为(x0,y0),则过切点C的切线方程为:x·x1+y·y1=2,所以x0·x1+y0·y1=2
同理,过切点D的切线方程为:x0·x2+y0·y2=2,
所以过C,D的直线方程为:x0·x+y0·y=2
又,将其代入上式并化简整理,
得,而x0∈R,
故且-2y-2=0,可得,y=-1,即直线CD过定点．
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
20．（1）；（2）最大值为2，．
（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由点与圆的位置关系可得，求解不等式组得答案；
（2）当时，圆的方程为，求出圆心与半径，设，则，分析可得面积的最大值，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离，设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式列式求得的值．
【详解】
解：（1）根据题意，圆，即，
若在圆外，则有，
解得：，
即的取值范围为；
（2）当时，圆的方程为，圆心为，半径，
设，则，
当时，面积取得最大值，且其最大值为2，此时为等腰直角三角形，圆心到直线的距离，
设直线的方程为，即，
则有，解得，
即直线的斜率．
易错点点睛：本题第一问解答过程中，容易忽视二元二次方程表示圆的条件，导致出错，解题的时候要考虑周全，考查运算求解能力，是中档题.
21．（1）；
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）为定值，理由见详解.
（1）求出圆心到切线的距离（即半径），则可求得圆的方程；
（2）（i）联立直线与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出，进而可得；
（ii）联立直线与圆的方程，得点、的坐标，写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再求出，进而可得，即.
【详解】
（1）依题意得圆的半径，又圆心为，
所以，圆的方程为；
（2）由，令得，所以.
（i）联立得或，所以.
则直线的方程为，即.
圆心到直线的距离，，

（ii）因为，所以
联立得.
则直线的方程为，
即.
圆心到直线的距离
，
，
所以，
，故为定值.
关键点点睛：本题第（2）（ii）问主要考查直线与圆的位置关系，运算量大，因此关键要细心准确.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页