选择性必修第一册第三章 圆锥曲线的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章　圆锥曲线的方程
一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到轴的距离为2，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．焦点在x轴，一条渐近线的方程为，虚轴长为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则（ ）
A．3 B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．或
7．在中，，如果一个椭圆通过 两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在上，则这个椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程的两根是两圆锥曲线的离心率，则这两圆锥曲线是（ ）
A．抛物线、双曲线 B．椭圆、双曲线
C．椭圆、抛物线 D．无法确定
9．已知双曲线的右焦点为F,双曲线C的右支上有一点P满是(点O为坐标原点),那么双曲线C的离心率为( )
A． B． C． D．
10．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是
A． B． C． D．
11．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
12．已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________.
14．若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为________.
15．抛物线型塔桥的顶点距水面2米时，水面宽8米，若水面上升1米，则此时水面宽为___________米.
16．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________．
三、解答题
17．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
18．椭圆的左、右焦点分别为、，焦点、和原点将椭圆的长轴恰好四等分，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过左焦点的直线与椭圆交于，两点，点在轴上且在焦点的右侧，若始终保持线段的长度是线段的长度的4倍，证明：线段与线段的长度相等.
19．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，为坐标原点，点在椭圆上，且有，.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的直线与椭圆交于两点，点，求证：.
20．已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
21．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点且三角形MOF的面积为（其中O为坐标原点），不过点M的直线l与抛物线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过点M，过点M作交PQ于点N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证直线PQ恒过定点，并求出点N的轨迹方程.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．A
把抛物线方程化为标准方程后可得参数准线方程．
【详解】
由已知抛物线的标准方程是，，，
所以准线方程是．
故选：A．
2．C
求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义可得答案.
【详解】
抛物线上一点P到x轴的距离为2，抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，,
故选:C．
3．B
设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案.
【详解】
解：设关于平分线的对称点为，
则三点共线，
设，则，
又，所以为等边三角形，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故选：B.
4．A
根据题意，有双曲线的虚轴长可得的值，有双曲线的焦点位置可得其渐近线方程为，分析可得的值，将、的值代入双曲线的方程即可得答案．
【详解】
解：根据题意，要求双曲线的虚轴长为，即，即，
又由要求双曲线的焦点在轴，其渐近线方程为，
若双曲线的一条渐近线的方程为，即，则，
故要求双曲线的标准方程为，
故选：．
5．C
求出圆的圆心和半径，由于圆与渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于半径，列方程可求出的值
【详解】
解：由，得，所以圆心为，半径为1，
双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线与圆相切，
所以，化简得，解得或（舍去），
故选：C
6．B
设点，利用求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得.
【详解】
抛物线的焦点为，准线的方程为.
设点、，则，，
，可得，解得，
由抛物线的定义可得.
故选：B.
本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
7．D
根据等腰，可得，然后可得，假设，依据椭圆定义可得，根据可得，最后可得离心率.
【详解】
设另一个焦点为，如图所示，∵，，
，则，
设，则，，
∴，，，∴，
故选:D.
8．B
根据方程，求得其两根，根据两根的范围，结合椭圆、双曲线离心率的范围，即可得答案.
【详解】
方程的两根分别为，
因为，即，
又椭圆的离心率，双曲线的离心率，
所以方程的两个根可作为是椭圆和双曲线的离心率.
故选：B
9．D
分析焦点三角形即可
【详解】
如图,设左焦点为,因为,所以
不妨设,则
离心率
故选:D
10．D
根据椭圆方程，解得，然后由椭圆的定义求解.
【详解】
因为椭圆方程为，
所以 ，
由椭圆的定义得： ，
所以，
所以的周长是8
故选：D
11．B
由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】
由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】
本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
12．D
利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】
如下图所示，设，则，，所以，，
所以，，
由椭圆定义可得，，，
所以，，
所以，为等腰直角三角形，可得，，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：D.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
13．
设，，，，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．
【详解】
解：设，，，，
则，，
．
恰为线段的中点，即有，，
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
即．
由于在椭圆内，故成立．
故答案为：．
14．2
直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出的值．
【详解】
解：由抛物线方程得：焦点坐标，，，
故答案为：2．
本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．
15．
先建立坐标系，根据题意求出抛物线的方程，再利用水升高1米后，则，解出的值，进而求出水面宽度.
【详解】
根据题意，建立如图所示的坐标系，可设抛物线的标准方程为，
因为顶点距水面2米时，水面宽8米，所以，
代入方程得，所以，
当水面上升1米后，即，
代入方程得
所以水面的宽是米
故答案为:
16．8
由抛物线方程确定焦点坐标、准线方程，设A(x0,y0)(y0＞0)，利用抛物线的定义、勾股定理求出x0,y0，进而求△AFK的面积.
【详解】
由题意知，抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，
∴K(－2,0)，设A(x0,y0)(y0＞0)，
∵过点A作AB⊥l于B，
∴B(－2,y0)，
∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，又|BK|2＝|AK|2－|AB|2，
∴x0＝2，y0＝4，即A(2,4)，
∴△AFK的面积为.
故答案为：8
17．（1）；（2）.
（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
【详解】
（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
18．（1）；（2）证明见解析.
（1）根据题意得，再待定系数得，故椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率不存在时，易知满足条件，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，进而联立方程组并结合弦长公式得，再设的中点为，，进而求得，再证明直线与垂直即可证明结论.
【详解】
（1）设椭圆的焦点距为，
由焦点，和原点将椭圆长轴四等份点有，
可得椭圆方程为
代入点的坐标有，
可得
故椭圆的标准方程为.
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，易知线段与线段的长度相等
②当直线的斜率存在时，由题知，
故可设直线的方程为.
联立，可得，
设，，，
由韦达定理知，，
则
设的中点为，
则，
又，
由，有，
由直线的斜率为
可知直线与垂直，又为的中点，故
本题考查椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于取的中点为，进而将问题转化为证明直线与垂直问题.
19．（1）；（2）证明见解析.
（1）由椭圆的定义可知，在△中，由余弦定理和离心率可求得，进而可得答案.
（2）根据斜率是否存在分类讨论，当直线斜率不为0，设出直线方程，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求得，，要证明就需要证明.代入求解即可.
【详解】
（1）在△中，，，
解得，所以，则椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率为0时，易知成立，
当直线斜率不为0时，设直线方程为，
，消去有，
，
所以，
综上可知不论直线的斜率是否为0，总有.
20．（1），（2）证明见解析，定点
（1）利用抛扔线的焦点坐标，求出，然后求抛物线的方程；
（2）通过直线的斜率是否存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可
【详解】
解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，
所以，得，
所以抛物线的方程为，
（2）①当直线的斜率不存在时，设，
因为直线的斜率之积为，所以，化简得，
所以，此时直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，
由，得，则，
因为的斜率之积为，所以，
即，即可，
解得（舍去），或，
所以，即，所以，即，
综上所述，直线过轴上的一定点
关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的方程的求法，解题的关键是将直线方程与抛物线方程联立方程组可得，再利用根与系数的关系可得，再结合直线的斜率之积为，可得到的关系，从而可得答案，考查计算能力，属于中档题
21．（1）；（2）证明见解析，.
（1）由题可得，利用条件可求，即得；
（2）由题可设直线PQ的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理法可得直线PQ恒过定点，然后利用条件可求点N的轨迹方程.
【详解】
（1）由题意得，
故，解得，
故拋物线C的方程为.
（2）易得，由题意可设直线PQ的方程为，，
由，消去x，得，
故，
因为，
所以，即，
整理得，
即，
∴，
所以，
所以或，
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线过点，不合题意舍去；
当，即时，
直线PQ的方程为，此时直线PQ恒过定点.
设，
则由，即，
得，
即点N的轨迹方程为.
答案第1页，共2页
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