20.3菱形的判定 课件
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课件30张PPT。 菱形的判定
一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形边对角线角菱形的定义菱形的性质菱形菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角。菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；AB=BC
□ABCD 四边形ABCD是菱形用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上
一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条，这
个四边形什么时候变成菱形？探究对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；AC⊥BD
□ABCD四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：∴ ABCD是菱形又∵ AC ⊥ BD;∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC∴BA=BCO情境：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？猜想：四边都相等的四边形是菱形 。四条边都相等的四边形是菱形.AB=BC=CD=DA四边形ABCD是菱形菱形的判定方法：定理:四条边都相等的四边形是菱形.已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA..分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形..求证:四边形ABCD是菱形.∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.菱形的面积等于其对角线乘积的一半.菱形的面积也可以按平行四边形面积进行计算.菱形的面积归纳菱形常用的判定方法：1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）3、有四条边相等的四边形是菱形. 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形
是菱形．
(3)邻角相等的四边形是菱形．
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形．
(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形
是菱形．
(6)对角线互相垂直的四边形是菱形．
(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 错对对对错对错对老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB思考:解法(一)：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
因纸条等宽，故AE=AF
又 AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵S □ ABCD=BC·AE=CD·AF
∴BC=CD
∴四边形ABCD为菱形
解法(二)：重叠部分为菱形，理由：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
∠AEB=∠AFD=900
因纸条等宽，故AE=AF
又 AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∴∠ABE=∠ADF
∴△ABE≌△ADF(A.A.S)
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
例1：如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5
求证：四边形ABCD是菱形。证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5∴AB2=AO2+BO2∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行
四边形是菱形)例2： 如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.
证明：∵ DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F
∴四边形AEDF是平行四边形且∠EDA=∠DAF
∵ AD是△ABC的一条角平分线
∴∠EAD=∠DAF
∴∠EDA=∠EAD
∴EA=ED（等角对等边）
∴四边形AEDF是菱形.
例3： 如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F．求证： 四边形DEFG是菱形．证明：∵ DE⊥AC于E， GH⊥AC于H ∴DE∥GH
∵ DG⊥AB于G, EK⊥AB于K ∴DG∥EK
∴四边形DEFG是平行四边形
∵ AB＝AC∴∠B=∠C ∵点D是BC的中点∴BD=CD
∵ DG⊥AB于G, DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度
在⊿BGD和⊿CED中，∵ ∠BGD=∠CED， ∠B=∠C，BD=CD
∴ ⊿BGD≌⊿CED(AAS) ∴DG=DE
∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
例4：已知：如图（1）, □ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形
AECFBD思考：如图（2），若将例2中的“□ ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变，若AB=4厘米，BC=8厘米，求四边形AFCE的面积。（1）（2）O1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有__________
2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
B(2) (3) (4)C练习3、如图，在□ ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6厘米，BD=8厘米，AD=5厘米，则□ ABCD的周长=—————— , □ABCD的面积=————————B20厘米24平方厘米345练习4.下列说法正确的是（ ）A、邻角相等的四边形是菱形B、有一组邻边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D练习1.已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。变式训练：把本例中的“DE//AC交AB于E， DF ∥AB交AC于F”改成“EF垂直平分AD”，其他条件不变，你能否证明四边形AEDF是菱形？大显身手2. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD； 大显身手 解：∵ DE∥AC，CE∥DB（已知）
∴四边形DOCE是平行四边形
（平行四边形的定义）又∵四边形ABCD是矩形 ∴OD=OC（矩形对角线相等且平分）∴四边形DOCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）大显身手4.已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形大显身手5.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形大显身手6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC
于F,四边形AEFG是菱形吗?大显身手7.如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1,
A1D1交CD于E,A1B1交BC于F,请问四边形
A1FCE是不是菱形?为什么?大显身手菱形具有平行四边形的所有性质一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的四条边都相等四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形小结
一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形边对角线角菱形的定义菱形的性质菱形菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角。菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形；AB=BC
□ABCD 四边形ABCD是菱形用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定
一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上
一根橡皮筋，做成一个四边形，转动木条，这
个四边形什么时候变成菱形？探究对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；AC⊥BD
□ABCD四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.证明：∴ ABCD是菱形又∵ AC ⊥ BD;∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC∴BA=BCO情境：李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？猜想：四边都相等的四边形是菱形 。四条边都相等的四边形是菱形.AB=BC=CD=DA四边形ABCD是菱形菱形的判定方法：定理:四条边都相等的四边形是菱形.已知:如图,在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA..分析:利用菱形定义和两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可使问题得证.证明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四边形ABCD是平行四边形..求证:四边形ABCD是菱形.∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.菱形的面积等于其对角线乘积的一半.菱形的面积也可以按平行四边形面积进行计算.菱形的面积归纳菱形常用的判定方法：1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）3、有四条边相等的四边形是菱形. 判断下列命题是否正确，并说明理由．
(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形
是菱形．
(3)邻角相等的四边形是菱形．
(4)有一组邻边相等的四边形是菱形．
(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形
是菱形．
(6)对角线互相垂直的四边形是菱形．
(7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 错对对对错对错对老师说下列三个图形都是菱形,你相信吗?有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。请你动脑筋把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？ACDB思考:解法(一)：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
因纸条等宽，故AE=AF
又 AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∵S □ ABCD=BC·AE=CD·AF
∴BC=CD
∴四边形ABCD为菱形
解法(二)：重叠部分为菱形，理由：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
∠AEB=∠AFD=900
因纸条等宽，故AE=AF
又 AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形
∴∠ABE=∠ADF
∴△ABE≌△ADF(A.A.S)
∴AB=AD
∴四边形ABCD是菱形。
例1：如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5
求证：四边形ABCD是菱形。证明：∵ AO=3，BO=4，AB=5∴AB2=AO2+BO2∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行
四边形是菱形)例2： 如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.
证明：∵ DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F
∴四边形AEDF是平行四边形且∠EDA=∠DAF
∵ AD是△ABC的一条角平分线
∴∠EAD=∠DAF
∴∠EDA=∠EAD
∴EA=ED（等角对等边）
∴四边形AEDF是菱形.
例3： 如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F．求证： 四边形DEFG是菱形．证明：∵ DE⊥AC于E， GH⊥AC于H ∴DE∥GH
∵ DG⊥AB于G, EK⊥AB于K ∴DG∥EK
∴四边形DEFG是平行四边形
∵ AB＝AC∴∠B=∠C ∵点D是BC的中点∴BD=CD
∵ DG⊥AB于G, DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度
在⊿BGD和⊿CED中，∵ ∠BGD=∠CED， ∠B=∠C，BD=CD
∴ ⊿BGD≌⊿CED(AAS) ∴DG=DE
∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
例4：已知：如图（1）, □ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形
AECFBD思考：如图（2），若将例2中的“□ ABCD”改成“矩形ABCD”，其他条件不变，若AB=4厘米，BC=8厘米，求四边形AFCE的面积。（1）（2）O1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件：（1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有__________
2 、下列条件中,不能判定四边形ＡＢＣＤ为菱形的是（ ）．
Ａ、AC⊥BD ，AC与BD互相平分
Ｂ、AB=BC=CD=DA
Ｃ、AB=BC，AD=CD，且AC ⊥BD
Ｄ、AB=CD，AD=BC，AC ⊥BD
B(2) (3) (4)C练习3、如图，在□ ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6厘米，BD=8厘米，AD=5厘米，则□ ABCD的周长=—————— , □ABCD的面积=————————B20厘米24平方厘米345练习4.下列说法正确的是（ ）A、邻角相等的四边形是菱形B、有一组邻边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D练习1.已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。变式训练：把本例中的“DE//AC交AB于E， DF ∥AB交AC于F”改成“EF垂直平分AD”，其他条件不变，你能否证明四边形AEDF是菱形？大显身手2. 已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
求证：EF⊥AD； 大显身手 解：∵ DE∥AC，CE∥DB（已知）
∴四边形DOCE是平行四边形
（平行四边形的定义）又∵四边形ABCD是矩形 ∴OD=OC（矩形对角线相等且平分）∴四边形DOCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）大显身手4.已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F．
求证：四边形AFCE是菱形大显身手5.如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形大显身手6.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,
CE平分∠ACB,交AD于G,交AB于E,EF⊥BC
于F,四边形AEFG是菱形吗?大显身手7.如图:将菱形ABCD沿AC方向平移至A1B1C1D1,
A1D1交CD于E,A1B1交BC于F,请问四边形
A1FCE是不是菱形?为什么?大显身手菱形具有平行四边形的所有性质一组邻边相等的平行四边形是菱形菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的四条边都相等四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形小结