3.导数小题 （解析）
2022年题组
1．（2022甲卷）当时，函数取得最大值，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，由条件，得，所以，即，
所以．
故选B.
2.（2022新高考1卷）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】，所以有两个极值点与，又，所以只有一个零点；由可知，点是曲线的对称中心；曲线在点处的切线方程为，所以答案选AC．
3.（2022新高考1卷）
若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】易得曲线不过原点，设切点为，则切线斜率为：
．可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得（※），又切线有两条，即※方程有两不等实根，由判别式，得，或．
4．（新高考2卷）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， ．
【答案】，
【解析】当时，点上的切线为．若该切线经过原点，则，解得，此时切线方程为．
当时，点上的切线为．若该切线经过原点，则，解得，此时切线方程为．
2012-2021题组
一、选择题
1．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则
AB．C．D．
【答案】D
解析：若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故．
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的．依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的．
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故．
综上所述，成立．
故选：D
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 ( )
A． B． C． D．
【解析】，，，，
因此，所求切线的方程为，即．
故选：B．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 ( )
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
解析：设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即．
故选：D．
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则 ( )
A． B． C． D．
【解析】由，根据导数的几何意义易得，解得，从而得到切点坐标为，将其代入切线方程，得，解得，故选D．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ( )
解析：函数，若为奇函数，可得，所以函数，可得，曲线在点处的切线的斜率为：1，则曲线在点处的切线方程为：，故选D．
6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为 ( )
A． B． C． D．1
∵ ∴ 导函数
∵ ∴
∴ 导函数
令，∴ ，
当变化时，，随变化情况如下表：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
从上表可知：极小值为．
7．(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
解析：记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．
8．(2015高考数学新课标1理科)设函数,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是 ( )
A．B．C．D．
解析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方．
因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，
当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D．
考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题
9．(2014高考数学课标2理科)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：因为，所以切线的斜率为，解得，选D
10．(2014高考数学课标1理科)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为 ( )
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
解析1:由已知,,令,得或,
当时,;
且,有小于零的零点,不符合题意．
当时,
要使有唯一的零点且>0,只需,即,．选B
解析2:由已知,=有唯一的正零点,等价于
有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由
,,,
,要使有唯一的正零根,只需,选B
11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是 ( )
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则
解析：由三次函数的图象可知，若是的极小值点，则极大值点在的左侧，所以函数在区间单调递减是错误的，选C．
12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数=，若||≥，则的取值范围是 ( )
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
解析：∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D．
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
解析：由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为 ．
解析：，
所以曲线在点处的切线方程为．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
解析：记，则
依题意有，即，解得．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是 ．
【答案】
解法一：先求的最大值，设
，
即，
故根据奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当；；
解法三：均值不等式法
当且仅当时，
此时，
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．
【答案】
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则．
,
三棱锥的体积 ．
令,则,
令, ,,
．
19．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.
【答案】
【解析】当时,,则.又因为是偶函数,所以,所以,则切线斜率为,所以切线方程为,即.
20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为 ，与曲线的切点为 则 ，所以
所以，所以，所以．3.导数选填题
2022年题组
1．（2022甲卷）当时，函数取得最大值，则
A． B． C． D．
2.（2022新高考1卷）已知函数，则
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心
D．直线是曲线的切线
3.（2022新高考1卷）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________．
4．（新高考2卷）写出曲线过坐标原点的切线方程： ， ．
2012-2021题组
1．(2021年高考全国乙卷理科)设，若为函数的极大值点，则 ( )
AB．C．D．
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 ( )
A． B． C． D．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 ( )
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则 ( )
A． B． C． D．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 ( )
A． B． C． D．
6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若是函数的极值点，则的极小值为 ( )
A． B． C． D．1
7．(2015高考数学新课标2理科)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
8．(2015高考数学新课标1理科)设函数,其中，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是 ( )
A．B．C．D．
9．(2014高考数学课标2理科)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3
10．(2014高考数学课标1理科)已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为 ( )
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数，下列结论中错误的是 ( )
A．
B．函数的图象是中心对称图形
C．若是的极小值点，则在区间上单调递减
D．若是的极值点，则
12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数=，若||≥，则的取值范围是 ( )
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为 ．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则 ．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数,则的最小值是 ．
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为,半径为,该纸片上的等边三角形的中心为为圆上的点,,,分别是以为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,,,使得重合,得到三棱锥．当的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:)的最大值为__________．
19．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.
20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
