三角恒等变换与三角函数
2022年题组
1．（2022全国甲卷）已知区间在上恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，有两个零点可得，即。又因为有三个极值点，，所以，所以，综上得
即选C．
2.（2022全国乙卷）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为_________
【答案】3
【解析】，且，故，
，
又，故的最小值为3.
3．（2022新高考Ⅰ卷）记函数的最小正周期为．若，且的函数图象关于点中心对称，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，，故．
4.（2022新高考Ⅱ卷）角满足，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解法一：设则，取，排除A，C；
再取则，取，排除B；选D．
解法二：由
，
故，
故，即，
故，
故，故．故选D.
5．（2022新高考Ⅱ卷）函数的图象以中心对称，则
A．在单调递减；
B．在有2个极值点；
C．直线是一条对称轴；
D．直线是一条切线．
【答案】AD
【解析】由题意得：
所以即：，
又，所以时，
故．
选项A：时，由图象知是单调递减的；
选项B：时，由图象知只有1个极值点，由可解得极值点；
选项C：时，，直线不是对称轴；
选项D：由得：，
解得或，
从而得：或，
所以函数在点处的切线斜率为，
切线方程为：即．
6．（2022新高考Ⅱ卷）对任意，则
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由得
令
故，故错，对；
(其中)，
故对，错.
2012-2021年题组
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：
，
，，，解得，
，．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出．
2．(2021年高考全国乙卷理科)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 ( )
( )
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
解析：如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
3．(2021年高考全国乙卷理科)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B． C． D．
4．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ( )
A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
解析：
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 ( )
( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，
将它代入函数可得：
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：
所以函数的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题．
6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 ( )
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
【答案】D
解析：方法一：由α为第四象限角，可得，
所以
此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以
故选：D．
方法二：当时，，选项B错误；
当时，，选项A错误；
由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；
故选：D．
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又．
故选：A．
8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= ( )
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
解析：，，
令，则，整理得，解得，即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题．
9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故．
故选：A．
10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增④的取值范围是
其中所有正确结论的编号是 ( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】在有且仅有3个极大值点，分别对应，故①正确．
在有2个或3个极小值点，分别对应和，故②不正确．
因为当时，，由在有且仅有5个零点．则，解得，故④正确．
由，得，，所以在单调递增，故③正确．
综上所述，本题选D．
11．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴.,∴，，
∴，又，∴，，又，∴，故选B．
12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A.
【点评】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；③函数，再利用降幂公式及三角函数公式法求三角函数的周期，例如，，所以周期.
13．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数有下述四个结论：
①是偶函数②在区间单调递增
③在有4个零点④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 ( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
解析：作出函数的图象如图所示，
由图可知，是偶函数，①正确，在区间单调递减，②错误，
在有3个零点，③错误；的最大值为2，④正确，故选C．
14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
解析：由余弦定理可得，
所以由
所以，而，所以，故选C．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：，故选B．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：由已知，得，即，解得，即，所以，得，
所以的最大值是，故选A．
17．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在中，，，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：因为，
所以，所以，故选A．
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知曲线,,则下面结论正确的是 ( )
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
【答案】 D
【解析】因为函数名不同,所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名,则,则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变为,再将曲线向左平移个单位得到,故选D．
19．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则下列结论错误的是 ( )
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
【答案】 D
【解析】函数的周期为，，故A正确；又函数的对称轴为，即，，当时，得，故B正确；由，所以函数的零点为，当时，，故C正确；由，解得，所以函数的单调递减区间为，而，故D错误．
【考点】函数的性质
20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中,,边上的高等于,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设边上的高线为,则,所以,.由余弦定理,知,故选C.
21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由,得,或,
所以,故选A.
22．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，，故选D．
23．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
24．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ( )
(A)11(B)9(C)7(D)5
【答案】B 【解析】由题意知：，则，其中
在单调，
接下来用排除法：若，此时
在递增，在递减，不满足在单调
若，此时，满足在单调递减
故选B．
25．(2015高考数学新课标1理科)函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
解析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D．
考点：三角函数图像与性质
26．(2015高考数学新课标1理科) ( )
A． B． C． D．
【答案】D
解析：原式= ==，故选D．
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式．
27．(2014高考数学课标2理科)设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
28．(2014高考数学课标2理科)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ( )
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B
解析：有面积公式得：，解得，因为钝角三角形，所以，
由余弦定理得：，所以，选B。
29．(2014高考数学课标1理科)设,,且,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】 B
解析:∵,∴
,
∴,即,选B
30．(2012高考数学新课标理科)已知，函数在上单调递减。则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：∵y=sinx在上单调递减
∴
∴
而函数在上单调递减
∴
即得且，根据答案特征只能是k=0，
二、填空题
31．(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
【答案】2
解析：由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以．
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2．
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．
故答案为：2．
32．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
解析：由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）．
故答案为：．
33．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得．
故答案为：．
34．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
解析：对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，
命题④错误．
故答案为：②③．
35．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为 ．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），所以，
36．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)函数在的零点个数为 ．
【答案】
解析：由，，解得，
由即
由，可得，故函数在的零点个数为．
37．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，，则__________．
【答案】
解析：因为，
所以，，
相加得，所以．
38．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)函数()的最大值是 ．
【解析】解法一：换元法
∵ ，
∴
设，，∴
函数对称轴为，∴
39．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
【答案】
【解析】因为
，，所以函数的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到.
40．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则 ．
【答案】
【解析】由平方关系可得：
所以
再由正弦定理得：．
41．(2015高考数学新课标1理科)在平面四边形中，，B，则的取值范围是 ．
【答案】（，）
解析：如图所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得，即，解得=，平移AD ，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，，即，解得BF=，所以AB的取值范围为（，）．
42．(2014高考数学课标2理科)函数的最大值为_________．
【答案】1
解析：
所以最大值为1
43．(2014高考数学课标1理科)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．
【答案】
解析:由且 ,
即,由及正弦定理得:
∴,故,∴,∴
,∴,
44．(2013高考数学新课标2理科)设为第二象限角，若，则＝________．
【答案】
解析：由得到，解得，所以
45．(2013高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．
【答案】
解析：∵==
令=，，则==，
当=，即=时，取最大值，此时=，∴===．三角恒等变换与三角函数
2022年题组
1．（2022全国甲卷）已知区间在上恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
2.（2022全国乙卷）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为_________
3．（2022新高考Ⅰ卷）记函数的最小正周期为．若，且的函数图象关于点中心对称，则
A． B． C． D．
4.（2022新高考Ⅱ卷）角满足，则
A． B．
C． D．
5．（2022新高考Ⅱ卷）（多选）函数的图象以中心对称，则
A．在单调递减；
B．在有2个极值点；
C．直线是一条对称轴；
D．直线是一条切线．
6．（2022新高考Ⅱ卷）（多选）对任意，则
A． B． C． D．
2012-2021年题组
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 ( )
A． B． C． D．
2．(2021年高考全国乙卷理科)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高 ( )
( )
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
3．(2021年高考全国乙卷理科)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 ( )
A． B． C． D．
4．(2021年高考全国甲卷理科)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A．B．C三点，且A．B．C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A．C两点到水平面的高度差约为() ( )
A．346 B．373 C．446 D．473
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 ( )
( )
A． B． C． D．
6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 ( )
A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0
7．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 ( )
A． B． C． D．
8．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= ( )
A．–2 B．–1 C．1 D．2
9．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB= ( )
A． B． C． D．
10．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增④的取值范围是
其中所有正确结论的编号是 ( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
11．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则 ( )
A． B． C． D．
12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是 ( )
A． B． C． D．
13．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)关于函数有下述四个结论：
①是偶函数②在区间单调递增
③在有4个零点④的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 ( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
14．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 ( )
A． B． C． D．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若，则 ( )
A． B． C． D．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是 ( )
A． B． C． D．
17．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)在中，，，，则 ( )
A． B． C． D．
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知曲线,,则下面结论正确的是 ( )
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线
19．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数，则下列结论错误的是 ( )
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)在△ABC中,,边上的高等于,则 ( )
A． B． C． D．
21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则 ( )
A． B． C． D．
22．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 ( )
A． B． C． D．
23．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 ( )
A． B．
C． D．
24．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ( )
(A)11(B)9(C)7(D)5
25．(2015高考数学新课标1理科)函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为 ( )
A． B．
C． D．
26．(2015高考数学新课标1理科) ( )
A． B． C． D．
27．(2014高考数学课标2理科)设函数．若存在的极值点满足，则m的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
28．(2014高考数学课标2理科)钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC= ( )
A．5 B． C．2 D．1
29．(2014高考数学课标1理科)设,,且,则 ( )
A． B． C． D．
30．(2012高考数学新课标理科)已知，函数在上单调递减。则的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
31．(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
32．(2021年高考全国乙卷理科)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
33．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
34．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)关于函数f(x)=有如下四个命题：
①f(x)的图像关于y轴对称．
②f(x)的图像关于原点对称．
③f(x)的图像关于直线x=对称．
④f(x)的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
35．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)的内角，，的对边分别为，，.若，，，则的面积为 ．
36．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)函数在的零点个数为 ．
37．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知，，则__________．
38．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)函数()的最大值是 ．
39．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到.
40．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)的内角的对边分别为，若，，，则 ．
41．(2015高考数学新课标1理科)在平面四边形中，，B，则的取值范围是 ．
42．(2014高考数学课标2理科)函数的最大值为_________．
43．(2014高考数学课标1理科)已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为__________．
44．(2013高考数学新课标2理科)设为第二象限角，若，则＝________．
45．(2013高考数学新课标1理科)设当时，函数取得最大值，则 =______．
