解三角形
2022年题组
1.（2022全国甲卷）16．已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】令，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则
，，，
当且仅当即时取等号．
2.（2022全国乙卷）
记的内角、、的对边分别为、、，已知
.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长.
【答案】（1）见证明过程；（2）；
【解析】1.已知可化简为
，
由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，即证，
由（1）可知，，，，，，的周长为14
3.（2022新高考Ⅰ卷）
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【解析】（1）由已知条件得：
所以，即，
由已知条件：，则，可得，
所以，．
（2）由（1）知，则，，
，
由正弦定理
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
4.（2022新高考Ⅱ卷）记的三个内角分别为、、，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）边长为的正三角形的面积为，
，即，
由得：，，
故．
由正弦定理得：，
故．
2012-2021年题组
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周长的最大值．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）由正弦定理可得：，
，
，
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
【答案】(1);(2)．
【官方解析】
(1)由题设及正弦定理得，
因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此．
(2)由题设及(1)知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，．由(1)知，
所以，故，从而．
因此面积的取值范围是．
3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为．设．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】解析：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四边形中，，， ,．
(1)求; (2)若,求．
【答案】解析：（1）在中，由正弦定理得．
由题设知，，所以．
由题设知，，所以．
（2）由题设及（1）知，．
在中，由余弦定理得
．
所以．
5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为,已知的面积为．
(1)求; (2)若,,求的周长．
【答案】(1);(2)的周长为．
【分析】(1)由三角形面积公式建立等式,再利用正弦定理将边化成角,从而得出的值;(2)由和,计算出,从而求出角,根据题设和余弦定理可以求出和的值,从而可求出的周长．
【解析】(1)由题设得,即．
由正弦定理得．
故．
(2)由题设及(1)得,即．
所以,故．
由题设得,即．
由余弦定理得,即,得．
故的周长为．
6．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)的内角的对边分别为．已知，，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由可得,因为,故．
由余弦定理可知:即
整理可得,解得(舍去)或．
(2)法一:设,则在中,由勾股定理可得
在中,有
由余弦定理可得
即即
所以,解得
所以．
法二:依题意易知
又因为,
所以
所以．
法三:∵,
由余弦定理．
∵,即为直角三角形,
则,得．
由勾股定理．
又,则,
．
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
【答案】(1)；(2)．
（Ⅰ）
【基本解法1】
由题设及，故
上式两边平方，整理得
解得
【基本解法2】
由题设及，所以，又，所以，
（Ⅱ）由，故
又
由余弦定理及得
所以b=2
8．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本题满分为12分)的内角的对边分别为，已知
(I)求；
(II)若，的面积为，求的周长．
【答案】 (I)；(II)
【官方解答】(I)由已知及正弦定理得：
即 故 ∴
可得 ∴
(II) 由已知得， 又所以
由已知及余定理得：，，从而
∴周长为．
【民间解答】(I)
由正弦定理得：
∵， ∴
∴， ∵ ∴
(II) 由余弦定理得：，，
∴ ∴ ，
∴周长为
9．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
【答案】
解析：（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．
（Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得
，．
．由（Ⅰ）知，所以．
考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．
10．(2013高考数学新课标2理科)中内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
解析：（1）由已知及正弦定理得
又
由，可得
又
（2）的面积．
由已知及余弦定理得
又，故，
当且仅当时，等号成立．
因此的面积的最大值为
11．(2013高考数学新课标1理科)如图，在中，，，P为内一点，
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】（1） （2）
解析：（Ⅰ）由已知得，，∴，在中，由余弦定理得==，∴PA=；
（Ⅱ）设，由已知得,，在中，由正弦定理得，，化简得，，
∴=，∴=．
12．(2012高考数学新课标理科)已知分别为三个内角的对边，
(1)求 (2)若，的面积为，求．
【答案】(1) (2)=2．
解析：由及正弦定理得
∵，∴
∴，
又，
∴．
(Ⅱ)的面积==,故=4，
而 故=8，解得=2．解三角形
2022年题组
1.（2022全国甲卷）16．已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，＿＿＿＿＿＿．
2.（2022全国乙卷）
记的内角、、的对边分别为、、，已知
.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长.
3.（2022新高考Ⅰ卷）
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
4.（2022新高考Ⅱ卷）记的三个内角分别为、、，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求．
2012-2021年题组
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求周长的最大值．
2．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为．设．
(1)求；
(2)若，求．
4．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)在平面四边形中，，， ,．
(1)求; (2)若,求．
5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)的内角的对边分别为,已知的面积为．
(1)求; (2)若,,求的周长．
6．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)的内角的对边分别为．已知，，．
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积．
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)的内角的对边分别为 ,已知．
(1)求
(2)若 , 面积为2,求
8．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本题满分为12分)的内角的对边分别为，已知
(I)求；
(II)若，的面积为，求的周长．
9．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
10．(2013高考数学新课标2理科)中内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
11．(2013高考数学新课标1理科)如图，在中，，，P为内一点，
(1)若，求；
(2)若，求．
12．(2012高考数学新课标理科)已知分别为三个内角的对边，
(1)求 (2)若，的面积为，求．
