计数原理
2022题组
（2022新高考Ⅱ卷）．有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种
A．种 B．种 C．种 D．种
2012-2021题组
一、选择题
1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 ( )
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中x3y3的系数为 ( )
A．5 B．10 C．15 D．20
3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中的系数为 ( )
A．12 B．16 C．20 D．24
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的展开式中的系数为 ( )
A． B． C． D．
5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)展开式中的系数为 ( )
A． B． C． D．
6．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中的系数为 ( )
A． B． C．40 D．80
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
8．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( )
( )
A．24 B．18 C．12 D．9
9．(2015高考数学新课标1理科)的展开式中，的系数为 ( )
A．10 B．20 C．30 D．60
10．(2013高考数学新课标2理科)已知的展开式中的系数为5，则等于 ( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
11．(2013高考数学新课标1理科)设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
12．(2012高考数学新课标理科)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组
由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
二、填空题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．。(用数字填写答案)
15．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中，的系数是 ．(用数字填写答案)
16．(2015高考数学新课标2理科)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．
17．(2014高考数学课标2理科)的展开式中，的系数为15，则=________．(用数字填写答案)
18．(2014高考数学课标1理科)的展开式中的系数为________．(用数字填写答案)计数原理
2022题组
（新高考2卷）．有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】先利用捆绑法排乙丙丁戊四人，再用插空法选甲的位置，则有种．故选B.
2012-2021题组
一、选择题
1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C．
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中x3y3的系数为 ( )
A．5 B．10 C．15 D．20
【解析】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中的系数为 ( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】因为，所以的系数为，故选A．
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的展开式中的系数为 ( )
A． B． C． D．
解析：展开式的通项公式为，令，解得，故含的系数为，故选C．
5．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)展开式中的系数为 ( )
A． B． C． D．
【解析】因为,则展开式中含的项为
,展开式中含的项为,故前系数为,选C．
6．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中的系数为 ( )
A． B． C．40 D．80
【答案】 C
【解析】,
由 展开式的通项公式: 可得:
当 时, 展开式中 的系数为 ,
当 时, 展开式中 的系数为 ,
则 的系数为．
故选C．
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 ( )
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【答案】 D
首先 分组
将三人分成两组，一组为三个人，有种可能，另外一组从三人在选调一人，有种可
能；
其次 排序
两组前后在排序，在对位找工作即可，有种可能；共计有36种可能．
8．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( )
( )
A．24 B．18 C．12 D．9
【解析】有种走法，有种走法，由乘法原理知，共种走法
故选B．
9．(2015高考数学新课标1理科)的展开式中，的系数为 ( )
A．10 B．20 C．30 D．60
解析：在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C．
10．(2013高考数学新课标2理科)已知的展开式中的系数为5，则等于 ( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
解析：中含的项为：，即
11．(2013高考数学新课标1理科)设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝ ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：由题知=，=，∴13=7，即=，
解得=6，故选B．
12．(2012高考数学新课标理科)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组
由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
解析：第一步，为甲地选一名老师和两个学生，，有=12种选法；
第二步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法
故不同的安排方案共有2×6×1=12种
二、填空题
13．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
解析：
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：．
故答案为：．
14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．。(用数字填写答案)
解析：方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有
根据分类计数原理可得，共有12+4=16种，
方法二，间接法：种．
15．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)的展开式中，的系数是 ．(用数字填写答案)
【解析】设展开式的第项为，∴．
当时，，即．故答案为10．
16．(2015高考数学新课标2理科)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则__________．
分析：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
17．(2014高考数学课标2理科)的展开式中，的系数为15，则=________．(用数字填写答案)
【答案】
解析：故
18．(2014高考数学课标1理科)的展开式中的系数为________．(用数字填写答案)
【答案】 20
解析:展开式的通项为,
∴,
∴的展开式中的项为,故系数为20．
