数列
2022年题组
1.（2022全国甲卷）17．（12分）
记为数列的前项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值.
2.（2022全国乙卷）已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14 B．12 C．6 D．3
3.（2022新高考Ⅰ卷）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求得通项公式；
（2）证明：．
4．（2022新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
5．（2022新高考Ⅱ卷）
已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且
（1）证明：；
（2）求集合中元素的个数．
2012-2021年题组
一、选择题
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是 ( )
A． B． C． D．
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
( )
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
5．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．已知，，则 ( )
A． B． C． D．
6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为等差数列的前项和，,．则 ( )
A． B． C． D．
7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )
A． B． C． D．
8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为 ( )
A． B． C． D．
9．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为 ( )
A． B． C． D．
10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有 ( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
12．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列前9项的和为27，，则 ( )
(A)100(B)99(C)98(D)97
13．(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列满足，，则 ( )
A．21 B．42 C．63 D．84
14．(2013高考数学新课标2理科)等比数列的前项和为，已知，则等于 ( )
A． B．－ C． D．－
15．(2013高考数学新课标1理科)设的三边长分别为，的面积为，n=1,2,3,…若，，，，,则 ( )
A．为递减数列 B．为递增数列
C．为递增数列，为递减数列
D．为递减数列，为递增数列
16．(2013高考数学新课标1理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，＝－2，＝0，＝3，则＝ ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
17．(2012高考数学新课标理科)已知为等比数列，，，则 ( )
A． B． C． D．
二、填空题
18．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)记为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
19．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等比数列的前项和．若，，则 ．
20．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则 ．
21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设等比数列满足,，则 ．
22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)等差数列的前项和为，，，则 ．
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设等比数列满足，，则的最大值为 ．
24．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
25．(2013高考数学新课标2理科)等差数列的前n项和为，已知，则的最小值为________．
26．(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
27．(2012高考数学新课标理科)数列满足，则的前60项和为
1．(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
2．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
求和的通项公式．
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
(1)或；(2)
7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
8．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若,求.
9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本题满分12分)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
(I)求；(II)求数列的前1 000项和．
10．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)为数列的前项和．已知
(Ⅰ)求的通项公式：
(Ⅱ)设,求数列的前项和
11．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
已知数列满足=1，．
(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ)证明：
12．(2014高考数学课标1理科)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．
(1)证明:;
(2)是否存在,使得为等差数列 并说明理由．数列
2022年题组
1.（2022全国甲卷）17．（12分）
记为数列的前项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值.
【答案】（1）略；（2）
【解析】（1）由于，变形为，记为①式，
又，记为②式，
①-②可得
即，所以是等差数列；
（2）由题意可知，即，解得，所以
，其中，
则的最小值为.
2.（2022全国乙卷）. 已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】
设等比数列首项，公比
由题意，，即，即
解得，，，所以
故选D
3.（2022新高考Ⅰ卷） 记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．
（1）求得通项公式；
（2）证明：．
【解析】：（1），所以，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以．
当时，，
所以，即（）；
累积法可得：（），又满足该式，
所以得通项公式为．
（2）
．
4．（2022新高考Ⅱ卷）中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】设，则，, .
由题意得,
且
解得
故选D．
5．（2022新高考Ⅱ卷）
已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且
（1）证明：；
（2）求集合中元素的个数．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】（1）设等差数列公差为
由，知，故
由，知，
故；故，整理得，得证．
（2）由（1）知，由知：
即，即，
因为，故，解得
故集合中元素的个数为9个．
2012-2021年题组
一、选择题
1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期．对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是 ( )
A． B． C． D．
解析：由知，序列的周期为m，由已知，，
对于选项A，
，不满足；
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则 ( )
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．
故选：C．
3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) ( )
( )
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
解析：设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以．
故选：C
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则 ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
另解：数感好的话由，立即会想到数列：，检验是否满足，可以迅速得出．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．已知，，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
解析：，
所以，故选A．
6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为等差数列的前项和，,．则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
解析：∵为等差数列的前项和，，，∴
，把，代入得∴，故选B．
7．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推．求满足如下条件的最小整数:且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一:本题考查了等比数列的求和,不等式以及逻辑推理能力．
不妨设(其中)
则有,因为,所以
由等比数列的前项和公式可得
因为,所以
所以即,因为
所以,故
所以,从而有,因为,所以,当时,,不合题意
当时,,故满足题意的的最小值为．
8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为 ( )
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】设公差为
,,,联立解得,故选C．
9．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为 ( )
A． B． C． D．
解析：数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选A．
10．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( )
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
解法一：常规解法
一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即
，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得
．
11．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)定义“规范01数列”如下:共有项,其中项为项为1,且对任意,中0的个数不少于1的个数.若,则不同的“规范01数列”共有 ( )
A．18个 B．16个 C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】由题意,得必有,,则具体的排法列表如图所示,共14个,故选C.
0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1
1 0
1 0 0 1 1
1 0 1
1 0
1 0 0 1
1 0
1 0 0 0 1 1
1 0 1
1 0
1 0 0 1
1 0
12．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列前9项的和为27，，则 ( )
(A)100(B)99(C)98(D)97
【答案】C
【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C．
13．(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列满足，，则 ( )
A．21 B．42 C．63 D．84
【答案】B
解析：设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．
14．(2013高考数学新课标2理科)等比数列的前项和为，已知，则等于 ( )
A． B．－ C． D．－
【答案】C
解析：设等比数列的公比为，由得，即
，又，所以．
15．(2013高考数学新课标1理科)设的三边长分别为，的面积为，n=1,2,3,…若，，，，,则 ( )
A．为递减数列 B．为递增数列
C．为递增数列，为递减数列
D．为递减数列，为递增数列
解析: 因为，，，所以，
，注意到，所以．
于是中，边长为定值，另两边的长度之和为为定值．
因为，
所以，当时，有，即，于是的边的高随增大而增大，于是其面积为递增数列．
16．(2013高考数学新课标1理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，＝－2，＝0，＝3，则＝ ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：由题意知==0，∴=－=－（-）=－2，
= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C．
17．(2012高考数学新课标理科)已知为等比数列，，，则 ( )
A． B． C． D．
解析：∵①，由等比数列的性质可得，②
①、②联立方程组解得：=4，=-2或=-2，=4
当=4，=-2时，q3=，
∴=-8，=1，
∴+=-7
当=-2，=4时，q3=-2，则=-8，=1
∴+=-7
二、填空题
18．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)记为等差数列{an}的前n项和，，则___________．
【答案】4．
【解析】因，所以，即，所以．
19．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等比数列的前项和．若，，则 ．
【答案】
解析：由，得，所以，又因为，所以，．
20．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则 ．
解析：为数列的前项和．若，①
当时，，解得，
当时，，②，
由①﹣②可得，
∴，
∴是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
21．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设等比数列满足,，则 ．
【解析】设等比数列的公比为，则依题意有，解得
所以．
22．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)等差数列的前项和为，，，则 ．
【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
由题意有： ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项有：，据此：
。
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设等比数列满足，，则的最大值为 ．
【答案】64
【解析】由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．
∴，解得：．
故，∴
当或时，取到最小值，此时取到最大值．
所以的最大值为64．
24．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
【答案】
解析：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
25．(2013高考数学新课标2理科)等差数列的前n项和为，已知，则的最小值为________．
解析：由已知解得
，
由函数的单调性知，∴的最小值为－49．
26．(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
解析:当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．
27．(2012高考数学新课标理科)数列满足，则的前60项和为
【答案】1830
解析：由得，
……①
……②,
再由②—①得 ……③
由①得
由③得,
∴．
1．(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
(2)求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
解析：（1）由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴．
2．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
解析：选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列．
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
．
4．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1），，，证明见解析；（2）．
解析：（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立．
那么时，也成立．
则对任意的，都有成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由①②得：
，
即．
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题．
5．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
求和的通项公式．
【答案】见解析；，.
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列．
由知，，．
所以，
．
【解析】由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为等差数列，.
由可知，，，
所以，.
6．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
(1)或；(2)
【答案】【官方解析】（1）设的公比为，由题设得
由已知得，解得（舍去），或
故或
（2）若，则，由，得，此方和没有正整数解
若，则，由，得，解得
综上，．
7．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】解析：（1）设的公差为，由题意得．
由得，所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
所以当时，取得最小值，最小值为．
8．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(1)证明是等比数列,并求其通项公式;
(2)若,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.
9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本题满分12分)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．
(I)求；(II)求数列的前1 000项和．
【答案】（1），，；（2）．
【解析】（1）设的公差为，据已知有，解得．
所以数列的通项公式为．
，，．
（2）因为
所以数列的前项和为．
10．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)为数列的前项和．已知
(1)求的通项公式：
(2)设,求数列的前项和
解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=，
所以数列{}前n项和为= =．
考点：数列前n项和与第n项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
11．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
已知数列满足=1，．
(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ)证明：
【答案】解析：（Ⅰ）由，得，且
所以是首相为，公比为的等比数列。
因此，所以的通项公式为．
（Ⅱ）由（1）知
当时，，所以
于是
所以
12．(2014高考数学课标1理科)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．
(1)证明:;
(2)是否存在,使得为等差数列 并说明理由．
【答案】解析:(1)由题设,,两式相减
,由于,所以．
(2)由题设,,可得,由(1)知
假设为等差数列,则成等差数列,∴,解得;
证明时,为等差数列:由知
数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列
令则,∴
数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列
令则,∴
∴(),
因此,存在存在,使得为等差数列．
