立体几何与向量方法
2022年题组
1.（2022全国甲卷）在四棱锥中，底面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面的所成的角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】（1）∵底面，
∴，
取中点，连接，可知，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴为直角三角形，为斜边，
∴，
∵，
∴平面，
∴.
（2）由（1）知，，，两两垂直，，
建立空间直角坐标系如图所示，则
，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则
，即，
不妨设，则，
设与平面的所成角为，则
，
∴与平面的所成的角的正弦值为.
2.（2022全国乙卷）18.（12分）
如图，四面体中 为中点.
证明：平面平面；
设点在上，当的面积最小时，求 与平面所成角的正弦值.
解析：（1）
.
.
,
.
平面平面.
(2)在中，.
在中，,, .
.
、、两两互相垂直.
由点在上且 ，
由于
当的面积最小时
在中，
如图，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系.
、、、、
、、
=
设平面的法向量为 .
可得 设
设与所成的角为，与平面所成角的为
所以与平面所成角的正弦值为.
3.（2022新高考Ⅰ卷）
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【解析】（1）设到平面的距离为，
，
，
所以，所以，所以到平面的距离为．
取的中点，连接，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面,，则，所以，
因为直三棱柱，所以，
因为，所以平面，所以，
由，所以，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以，，，，，
平面BDC的法向量设为，平面BDA的法向量设为，
，，
，所以，所以，
设，则，所以，所以，
设二面角 的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为．
4.（2022新高考Ⅱ卷）如图，是三棱锥的高，，，是的中点，
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）法一：连接、，
因为是三棱锥的高，所以平面，所以，，
所以，又，，所以，所以，
作中点，连接、，则有，又，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又、分别为、的中点，所以，在中，
又因为平面，平面，所以平面，
又、平面，，所以平面平面，
又平面，所以平面；
法二：（1）连接、,
因为是三棱锥的高，所以平面，所以,，
所以,又,,所以,
所以,又,在中，为中点，
延长,交于，连接,
所以在中，、分别为、的中点，所以,
因为平面,平面,所以平面；
（2）法一：过点作，以为轴，为轴，为轴． 建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，由（1），
又，所以，，所以，，
，，设，则，
平面的法向量设为，直线的方向向量可设为，
直线平面，直线的方向向量为
，所以，
所以，设，则，
所以；
平面的法向量设为，，
，所以，所以，设，则，
所以；
所以
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为
法二：（2）过点作,以为轴，为轴，为轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为,,由（1）,
又，所以,,所以,,
,,设，则，
平面的法向量设为，，
，所以，所以，设，则，
所以；
平面的法向量设为，，
,所以，所以，设，则，
所以；
所以
二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为。
2012-2021题组
一、解答题
1．(2021年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
解析：因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因为，，所以，
又，所以平面．
所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
所以，
．
由题设（）．
（1）因为，
所以，所以．
（2）设平面的法向量为，
因为，
所以，即．
令，则
因为平面的法向量为，
设平面与平面的二面角的平面角为，
则．
当时，取最小值为，
此时取最大值为．
所以，
此时．
2．(2021年高考全国乙卷理科)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
(1)求；
(2)求二面角的正弦值．
解析：（1）平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
（2）设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】（1）由题设，知为等边三角形，设，
则，，所以，
又为等边三角形，则，所以，
，则，所以，
同理，又，所以平面；
（2）过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，令，得，
所以
故，
设二面角的大小为，则．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
解析：（1）分别为，的中点，
又
在中，为中点，则
又侧面为矩形，
由，平面
平面
又，且平面，平面，
平面
又平面，且平面平面
又平面
平面
平面
平面平面
（2）连接
平面，平面平面
根据三棱柱上下底面平行，
其面平面，面平面
故：四边形是平行四边形
设边长是()
可得：，
为的中心，且边长为
故：
解得：
在截取，故
且
四边形是平行四边形，
由（1）平面
故为与平面所成角
在，根据勾股定理可得：
直线与平面所成角的正弦值：．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
(1)证明：点平面内；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
解析：（1）在棱上取点，使得，连接、、、，
在长方体中，且，且，
，，且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
同理可证四边形为平行四边形，且，
且，则四边形为平行四边形，
因此，点在平面内；
（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，，，
设平面的法向量为，
由，得取，得，则，
设平面的法向量为，
由，得，取，得，，则，
，
设二面角的平面角为，则，．
因此，二面角的正弦值为．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B CG A的大小．
解析：(1)由已知得，,所以，故确定一个平面．从而四点共面．
由已知得，故平面．
又因为平面,所以平面平面．
（2）作,垂足为．因为平面,平面平面，所以平面．
由已知，菱形的边长为，，可求得．
以为坐标原点，的方向为轴的的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
．
设平面的法向量为，则
即 所以可取．
又平面的法向量可取为，所以．
因此二面角的大小为．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
证明：由已知得，平面，平面，
故．又，所以平面．
由知．由题设知，所以，
故，．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
设平面的法向量为，则
，即所以可取.
设平面的法向量为，则
即所以可取.
于是．所以，二面角的正弦值为．
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
解：（1）连结．因为分别为的中点，所以，且．
又因为为的中点，所以．由题设知，可得，故，
因此四边形为平行四边形，．又平面，所以平面．
（2）由已知可得．以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．
设为平面的法向量，则，所以可取．
设为平面的法向量，则所以可取．
于是，所以二面角的正弦值为．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．
(1)证明：平面平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
解答（1）由题设知，平面平面，交线为
因为，平面，所以平面，故
因为为上异于的点，且为直径，所以
又，所以平面
而平面，故平面平面．
（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
当三棱锥体积最大时，为的中点，由题设得
，，，，
，，
设是平面的法向量，则
，即
可取
易知是平面的法向量，因此
所以
所以面与面所成二面角的正弦值是．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
解析：（1）因为，为的中点，所以，且．
连接．因为，所以为等腰直角三角形，
且，．
由知．
由，知平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，，，，，．
取平面的法向量为．
设，则．设平面的法向量为，
由，得，可取，
所以，由已知可得．
所以，解得（舍去），．
所以．又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明:平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
解析：（1）由已知可得，⊥，⊥，所以⊥平面．
又平面，所以平面⊥平面．
（2）作，垂足为．由（1）得，平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．
由（1）可得，．又，，所以．又，，故．
可得．
则为平面的法向量．
设与平面所成角为，则．
所以与平面所成角的正弦值为．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,在四棱锥中,,且．
(1)证明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值．
【解析】(1)由已知,得,
由于,故,从而平面
又平面,所以平面平面
(2)在平面内做,垂足为,
由(1)可知,平面,故,可得平面．
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系．
由(1)及已知可得,,,．
所以,,,．
设是平面的法向量,则
,即,可取．
设是平面的法向量,则,即,可取．
则,所以二面角的余弦值为．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．
（1）证明：取中点为，连接、
因为，所以
因为是的中点，所以，所以
所以四边形为平行四边形，所以
因为平面，平面
所以直线平面
（2）取中点为，连接
因为△为等边三角形，所以
因为平面平面，平面平面，平面
所以平面
因为，所以四边形为平行四边形，所以
所以
以分别为轴建立空间直角坐标系，如图
设，则，所以
设，则，
因为点在棱上，所以，即
所以，所以
平面的法向量为
因为直线与底面所成角为，
所以
解得，所以
设平面的法向量为，则
令，则
所以
所以求二面角的余弦值
15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)如图,四棱锥中,地面,AD∥BC,,,为线段上一点,,为的中点.
(Ⅰ)证明∥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】(Ⅰ)由已知得,取的中点,连接
由为中点知∥,.
又∥,故平行且等于,四边形为平行四边形,于是∥.
因为平面,平面,所以∥平面.
(Ⅱ)取的中点,连接
由得,从而,且.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
由题意知,,,,,
,,,
设为平面的法向量,则,
即,可取,于是.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分)如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．
(I)证明：平面；
(II)求二面角的正弦值．
【解析】（I）由已知得，
又由得，故．
因此，从而．
由,得．
由得．
所以，．
于是，故．
又，而，所以．
（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系
则，，，，
，，．
设是平面的法向量，则，即
所以可以取．
设是平面的法向量，则，即
所以可以取．于是
．
因此二面角的正弦值是．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本题满分为12分)如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
(I)证明平面；
(II)求二面角的余弦值．
解析：⑴ 由已知可得，，所以面
又面，故平面平面
(II)过点作，垂足为，由(I)知面
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
由(I)知为二面角的平面角，故，则
可得
由已知，,所以面．
由，可得平面，所以为二面角的平面角,．
从而可得．所以,,,．
设是平面的法向量，则即所以可取．
设是平面的法向量，则
同理可取，则
二面角的余弦值为．
18．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
解析：（Ⅰ）交线围成的正方形如图：
（Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．(2015高考数学新课标1理科)如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，．
(1)证明：平面⊥平面;
(2)求直线与直线所成角的余弦值．
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=．
由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，
又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=．
在Rt△FDG中，可得FG=．
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，
∴，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC．
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0, ），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）．…10分
故．
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为．
考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．
【答案】解析：
（Ⅰ）设AC的中点为G, 连接EG。在三角形PBD中，中位线EG//PB,且EG在平面AEC上，所以PB//平面AEC．
（Ⅱ）设CD=m, 分别以AD,AB,AP为X,Y,Z轴建立坐标系，则
设平面ADE的法向量则解得向量，
同理设平面ACE的法向量
解得向量，
解得
设F为AD的中点，
EF即为三棱锥E-ACD的高，
所以，三棱锥E-ACD的体积为．
21．(2014高考数学课标1理科)如图三棱柱中,侧面为菱形,．
(1)证明:;
(2)若,,, 求二面角的余弦值．
【答案】解析 (1)连结,交于,连结．因为侧面为菱形,所以 ,且为与的中点．又,所以平面,故 又 ,故
(2)因为且为的中点,所以又因为,所以
故,从而两两互相垂直．
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示空间直角坐标系．
因为,所以为等边三角形．又 ,则
,,,
,
设是平面的法向量,则
,即 所以可取
设是平面的法向量,则,同理可取
则,所以二面角的余弦值为．
22．(2013高考数学新课标2理科)如图，直三棱柱中，分别是的中点，
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】（1）见解析;（2）
解析：(1)证明 连结交于点，则为的中点．
又是的中点，连结，则∥．
因为平面，平面，
所以∥平面．
(2)解 由得，．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，
．
设平面的法向量，
则，可取．
同理，设m是平面的法向量，同理可得．
从而，故，
即二面角D－A1C－E的正弦值为．
23．(2013高考数学新课标1理科)如图，三棱柱中，．
(1)证明;
(2)若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值。
解析:（1）取AB中点E，连结CE，，，
∵，=，∴是正三角形，
∴， ∵， ∴， ∵，∴面，
∴AB⊥； ……6分
（2）由（Ⅰ）知，，
又∵面面，面面，
∴面，∴，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，
由题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0,),=(0,－,), ……9分
设=是平面的法向量，
则，即，可取=（，1，-1），
∴=，
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为． ……12分
24．(2012高考数学新课标理科)如图，直三棱柱中，， 是棱的中点，
(1)证明：
(2)求二面角的大小．
解析：（１）证明：设，
直三棱柱，
， ，
，．
又，，
平面．
平面,．
（２）以C为空间直角坐标系的原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
设则（0，0，2a）,D（a,0,a）,B（0，a，0），A（a,0,0）
所以，，
设分别是平面，平面的法向量，则
解得，令，则
解得令则
∴，
∴
∵
∴=30°
即二面角的大小为．立体几何与向量方法
2022年题组
1.（2022全国甲卷）在四棱锥中，底面，，，，．
（1）证明：；
（2）求与平面的所成的角的正弦值．
2.（2022全国乙卷）18.（12分）
如图，四面体中 为中点.
证明：平面平面；
设点在上，当的面积最小时，求 与平面所成角的正弦值.
3.（2022新高考Ⅰ卷）
如图，直三棱柱的体积为，的面积为．
求到平面的距离；
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
4.（2022新高考Ⅱ卷）如图，是三棱锥的高，，，是的中点，
（1）求证：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
2012-2021题组
1．(2021年高考全国甲卷理科)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
2．(2021年高考全国乙卷理科)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
(1)求；
(2)求二面角的正弦值．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
(1)证明：点平面内；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B CG A的大小．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．
(1)证明：平面平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明:平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,在四棱锥中,,且．
(1)证明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值．
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．
15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)如图,四棱锥中,地面,AD∥BC,,,为线段上一点,,为的中点.
(Ⅰ)证明∥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分)如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．
(I)证明：平面；
(II)求二面角的正弦值．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本题满分为12分)如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
(I)证明平面；
(II)求二面角的余弦值．
18．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
19．(2015高考数学新课标1理科)如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，．
(1)证明：平面⊥平面;
(2)求直线与直线所成角的余弦值．
20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．
21．(2014高考数学课标1理科)如图三棱柱中,侧面为菱形,．
(1)证明:;
(2)若,,, 求二面角的余弦值．
22．(2013高考数学新课标2理科)如图，直三棱柱中，分别是的中点，
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
23．(2013高考数学新课标1理科)如图，三棱柱中，．
(Ⅰ)证明;
(Ⅱ)若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值。
24．(2012高考数学新课标理科)如图，直三棱柱中，， 是棱的中点，
(1)证明：
(2)求二面角的大小．
