圆锥曲线大题
2022年题组
1.（2022全国甲卷）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，当直线轴时，．
（1）求的方程；
（2）设直线、与的另一个交点分别为，记直线、的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.
2.（2022全国乙卷）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点。
（1）求的方程；
（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．
3.（2022新高考Ⅰ卷）21．（12分）
已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
4.（2022新高考Ⅱ卷） 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于两点，点，在上，且，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①在上；②∥；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
2012-2021年题组
1．(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
2．(2021年高考全国乙卷理科)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E方程；
(2)证明：直线CD过定点．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点：
(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
(1)若，求的方程；
(2)若，求．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
(1)求的方程；
(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
(1)当与轴垂直时，求直线的方程；
(2)设为坐标原点，证明：．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点．
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点．
15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.
(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明∥;
(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.
16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于两点，点N在E上，．
(I)当，时，求的面积；
(II)当时，求k的取值范围．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．
(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
(II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．
18．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
19．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)
在直角坐标系中，曲线：与直线(＞0)交与两点，
(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；
(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。
20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
21．(2014高考数学课标1理科)已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点．
(1)求的方程;
(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程．
22．(2013高考数学新课标2理科)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．
(1)求的方程；
(2)为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．
23．(2013高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
24．(2012高考数学新课标理科)设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点．
(1)若，的面积为,求的值及圆的方程；
(2)若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．圆锥曲线
2022年题组
1.（2022全国甲卷）设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，当直线轴时，．
（1）求的方程；
（2）设直线、与的另一个交点分别为，记直线、的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.
【答案】（1）的方程为；（2）的直线方程为．
【解析】（1）由题可知，当时，，则
则可知，
则在中，
得，解得
则的方程
（2）要使最大，则最大，且易知当直线的斜率为负时，为正才能达到最大．
又
设，由（1）可知
则
又三点共线，则，则，则
得，即
同理由三点共线可得
则
由题可知，直线斜率不为，不妨设
由
则，
则
则可知当时，最大，即最大，此时
的直线方程为，即
又
则的直线方程为，即．
2.（2022全国乙卷）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过，两点。
（1）求的方程；
（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）直线过定点
【解析】（1）设的方程为，将，两点代入得，解得，，故的方程为。
（2）由，可得直线
①若过的直线的斜率不存在，直线为。代入，可得，，将代入，可得，由，得。易求得此时直线 。过点。
②若过的直线的斜率存在，设，，。联立，得
故有，，且（*）
联立，可得，，
可求得此时
将代入整理得
将（*）式代入，得，显然成立。
综上，可得直线过定点。
3.（2022新高考Ⅰ卷）21．（12分）
已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．
（1）求的斜率；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）的斜率为0；（2）的面积为
【解析】解析：（1）将点代入双曲线方程得，化简得得，故双曲线方程为．
由题显然直线的斜率存在，设，设，则联立直线与双曲线得：，
故，，
，
化简得：，
故，
即，而直线不过点，故．
（2）由，得，
不妨设直线的倾斜角为锐角且为，
当均在双曲线的左支时，，得到，
此时与渐近线平行，与双曲线左支无交点。
当均在双曲线的右支时，
由，得，即，
联立及得，进而解出：
，，
代入直线得，故，，
而，，
由，
故.
4.（2022新高考Ⅱ卷） 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
（1）求的方程；
（2）过的直线与的两条渐近线分别交于两点，点，在上，且，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点．请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①在上；②∥；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意可得，，故，．
因此的方程为．
（2）设直线的方程为，将直线的方程代入的方程得
则，，．
设点的坐标为，则．
两式相减，得，而，故，解得．
两式相加，得，
而，故，解得．
因此，点的轨迹为直线，其中为直线的斜率．
若选择①②：
设直线的方程为，并设的坐标为，的坐标为．则
，解得，．
同理可得，．
此时，．
而点的坐标满足，解得，，故为的中点，即．
若选择①③：
当直线的斜率不存在时，点即为点，此时不在直线上，矛盾．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，并设的坐标为，的坐标为．则，解得，．
同理可得，．
此时，．
由于点同时在直线上，故，解得．因此∥．
若选择②③：
设直线的方程为，并设的坐标为，的坐标为．则
，解得，．
同理可得，．
设的中点为，则，．
由于，故在的垂直平分线上，即点在直线上．
将该直线与联立，解得，，即点恰为中点．故点在直线上．
2012-2021年题组
1．(2021年高考全国甲卷理科)抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
(1)求C，的方程；
(2)设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
解析：（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切．
2．(2021年高考全国乙卷理科)已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
解析：（1）抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E方程；
(2)证明：直线CD过定点．
【答案】（1）；（2）证明详见解析．
【解析】（1）依据题意作出如下图象：
由椭圆方程可得：， ，
，
，
椭圆方程为：
（2）证明：设，
则直线的方程为：，即：
联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：
，解得：或
将代入直线可得：
所以点的坐标为．
同理可得：点的坐标为
直线的方程为：，
整理可得：
整理得：
故直线过定点
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知椭圆C1：(a>b>0)右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．
【答案】（1）；（2），．
解析：（1），轴且与椭圆相交于、两点，
则直线的方程为，
联立，解得，则，
抛物线的方程为，联立，
解得，，
，即，，
即，即，
，解得，因此，椭圆的离心率为；
（2）由（1）知，，椭圆的方程为，
联立，消去并整理得，
解得或（舍去），
由抛物线的定义可得，解得．
因此，曲线的标准方程为，
曲线的标准方程为．
【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．
(1)求的方程；
(2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）
，，
根据离心率，
解得或(舍)，
的方程为：，
即；
（2）不妨设,在x轴上方
点在上，点在直线上，且，，
过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为
根据题意画出图形，如图
，，，
又，，
，
根据三角形全等条件“”，
可得：，
，
，
，
设点为，
可得点纵坐标为，将其代入，
可得：，
解得：或，
点为或，
①当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：；
②当点为时，
故，
，
，
可得：点为，
画出图象，如图
,，
可求得直线的直线方程为：，
根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：，
根据两点间距离公式可得：，
面积为：，
综上所述，面积为：．
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)证明：直线AB过定点：
(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
【答案】 (1)见详解；(2)3或．
【官方解析】
(1)设则．
由于，所以切线的斜率为，故
整理得．．
设同理可得．
故直线的方程为．
所以直线过定点．
(2)由(1)得直线的方程为．由可得．
于是，
．
设分别为到直线的距离，则．
因此，四边形的面积．
设线段的中点，则．
由于，而，与向量平行，所以．解得或．
当时，；当时，．
因此，四边形的面积为3或．
【点评】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量比较大．
7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
【答案】详见解析详见解析
【官方解析】
由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．
设直线的斜率为，则其方程为．由得．
记，则．
于是直线的斜率为，方程为．
由，得．①
设，则和是方程①的解，故，由此得．
从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．
由得，，
所以的面积．
设，则由得，当且仅当时取等号．
因为在单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为．
因此，面积的最大值为．
【分析】分别求出直线与的斜率，由已知直线与的斜率之积为，可以得到等式，化简可以求出曲线的方程，注意直线与有斜率的条件；
设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；
由可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.
【解析】直线的斜率为，直线的斜率为，由题意可知：，所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为；
设直线的方程为,由题意可知,直线的方程与椭圆方程联立,即或,点在第一象限，所以，因此点的坐标为
直线的斜率为，可得直线方程：，与椭圆方程联立，，消去得，（*），设点，显然点的横坐标和是方程（*）的解
所以有，代入直线方程中，得
，所以点的坐标为，
直线的斜率为；，
因为，所以，因此是直角三角形；
由可知：，
的坐标为，
，
,
，，
因为，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，因此当时，函数有最大值，最大值为.
【点评】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.
8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，，与轴的交点为．
(1)若，求的方程；
(2)若，求．
【答案】解：设直线．
（1）由题设得，故，由题设可得．
由，可得，则．
从而，得．所以的方程为．
（2）由可得．
由，可得．所以．从而，故．
代入的方程得．故．
9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()．
(1)证明：；
(2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【答案】【官方解析】（1）设，，则有，
两式相减，并由，得
由题设知，，于是①
由题设，故
（2）由题意得，设，则
由（1）及题设得，
又点在上，所以，从而，
于是
同理
所以
故，即成等差数列
设该数列的公差为，则②
将代入①得
所以的方程为，代入的方程，并整理得
故，，代入②解得
所以该数列的公差为或．
【民间解析】（1）法一：设直线，交点，
则有，
联立方程，消去并整理可得
所以
所以，代入可得
所以，所以，所以或①
又
即②
由①②可知
法二：设，，则有③，④
两式相减可得
所以
依题意，，所以
又点在椭圆内，所以，而，所以
所以．
（2）由椭圆的方程可知，，设
因为，所以，所以
所以，故
又因为点在椭圆上，所以，解得，所以
此时直线的方程为：即
联立方程，消去并整理可得
所以，
又，所以
所以
同理
所以
而
所以，故，，成等差数列
设公差为，则有
所以
10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)
设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
(1)求的方程；
(2)求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】解析：（1）由题意得，的方程为．设，，
由得，，故，
所以，由题设知，
解得（舍去），．
因此直线的方程为．
（2）由（1）得的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，
即．设所求圆的圆心坐标为，则
，解得或，
因此所求圆的方程为或．
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)(12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为．
(1)当与轴垂直时，求直线的方程；
(2)设为坐标原点，证明：．
【答案】解析：（1）由已知得，的方程为．
由已知可得，点的坐标为或．
所以的方程为或．
（2）当与轴重合时，．
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，直线MA，MB的斜率之和为．
由得．
将代入得．
所以．
则．
从而，故的倾斜角互补，所以．
综上，．
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上．
(1)求的方程;
(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点．
【答案】(1);(2)．
【分析】(1)根据两点关于轴对称,由椭圆的对称性可知经过,另外知,不经过点,所以在上,因此在椭圆上,代入其标准方程,即可求出的方程;(2)先设直线与直线的斜率分别为,再设直线的方程,当与轴垂直时,通过计算,不满足题意,再设(),将代入,写出判别式,根与系数的关系,表示出,根据列出等式,表示出和的关系,判断出直线恒过定点．
【解析】(1)由于,两点关于轴对称,故由题设知经过,两点．
又由知,不经过点,所以点在上．
因此,解得．
故的方程为．
(2)设直线与直线的斜率分别为,
如果与轴垂直,设,由题设知,且,可得的坐标分别为,．
则,得,不符合题设．
从而可设:()．将代入得
由题设可知．
设,则,．
而．
由题设,故．
即．
解得．
当且仅当时,,欲使:,即
所以过定点．
法二:求点代点法
设,直线的方程为:,直线的方程为
联立,消去可得,得,
即,同理
由题意可知
所以
于是的直线方程为
令,得,所以直线过定点．
(为什么令 用特殊法!直线方程中令,得两直线,求这两直线交点即可．)
法三:齐次方程
设,的直线方程为
设
则
化齐次得:
即
显然以上方程代表以,为根的方程
又,所以
于是的直线方程为,所以直线过定点．
解法四:曲线系
设直线的方程为:,直线的方程为
则曲线系代表过三点的曲线
令
则曲线系可分解为
显然直线经过点
所以方程为直线的方程
又,代入整理得:
由,解得
所以直线过定点．
解法五:利用椭圆内接三角形公式
若三角形是椭圆的内接三角形,设,则顶点的对边的方程为:
由,则直线的方程为
由,代入整理得
由,解得
所以直线过定点．
【考点】椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系．
【点评】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况．另外,在设直线方程之前,若题设中为告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况,接着通法是联立方程组,求判别式、韦达定理,根据题设关系进行化简．
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)(12分)已知抛物线，过点的直线交与两点，圆是以线段为直径的圆．
(1)证明：坐标原点在圆上；
(2)设圆过点，求直线与圆的方程．
【答案】(Ⅰ)证明略;(Ⅱ)直线的方程为 ,圆的方程为．
或直线的方程为 ,圆的方程为．
【解析】法一:(1)证明:①当轴时,代入得
在以为直径的圆上．此时圆半径为,圆过原点;
②当不垂直于轴时,设的方程为且
由,消去,整理可得
,,
从而,,在以为直径的圆上．
(2)由(1)知以为直径的圆的方程为
即,由于在此圆上
代入上述方程得,故所求圆的方程为．
法二:⑴显然,当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意．
设,,,
联立:得,
恒大于,,．
∴,即在圆上．
⑵若圆过点,则
化简得解得或
①当时,圆心为,
,
半径
则圆
②当时,圆心为,
,,
半径
则圆．
14．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点．
【答案】(1)；(2)证明略．
【命题意图】椭圆，定值问题的探索；运算求解能力
【基本解法】
（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹：
设，,，则：,．
又,所以：，则：．
又在椭圆C上，所以：。
所以：．
解法二：椭圆C的参数方程为：（为参数）．
设，,，
则：,．
又,所以：，则：．
则：．
（Ⅱ）解法一：设，,,则，,，．
又,所以：
即：．
那么．
所以．
即过垂直于的直线过椭圆C的左焦点。
解法二：设，,,则，,，．
又,所以．
又在上，所以：．
又．
所以：．
即过垂直于的直线过椭圆 的左焦点．
15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两点,交的准线于,两点.
(Ⅰ)若在线段上,是的中点,证明∥;
(Ⅱ)若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】由题设.设,
则,且,,,,.
记过两点的直线为,则的方程为.
(Ⅰ)由于在线段上,故.
记的斜率为,的斜率为,则,
所以∥.
(Ⅱ)设与轴的交点为,则,.
由题设可得,所以(舍去),.
设满足条件的的中点为,
当与轴不垂直时,由可得.
而,所以.
当与轴垂直时,与重合.所以所求轨迹方程为.
16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(本小题满分12分)已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于两点，点N在E上，．
(I)当，时，求的面积；
(II)当时，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
分析：（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；
（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求．
【解析】（I）设，则由题意知，当时，的方程为，．
由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为．
因此直线的方程为．
将代入得．解得或，所以．
因此的面积．
（II）由题意，，．
将直线的方程代入得．
由得，故．
由题设，直线的方程为，故同理可得，
由得，即．
当时上式不成立，因此．
等价于，即．
由此得，或，解得．
因此的取值范围是．
17．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)(本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．
(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
(II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．
【答案】 (I)4；，()； (II)
【官方解答】(I)因为,,故．
所以，故
又圆标准方程为，从而，所以．
由题设得,由椭圆的定义可得点的轨迹方程为，()；
(II)当与x轴不垂直时，设，
由得．
则， 所以．
过点且与垂直的直线，到的距离为，
所以
故四边形的面积为
当与x轴不垂直时，四边形的面积的取值范围为
当与x轴垂直时，其方程为，，四边形的面积12．
综上，四边形的面积的取值范围为．
【民间解析】⑴ 圆整理为，坐标，如图，
，则，由，
则
所以的轨迹为一个椭圆，方程为，()；
⑵ ；设，
因为，设，联立
得；
则；
圆心到距离，
所以，
．
18．(2015高考数学新课标2理科)(本题满分12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．
(Ⅰ)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(Ⅱ)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．
解析：（Ⅰ）设直线，，，．
将代入得，故，
．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．
（Ⅱ）四边形能为平行四边形．
因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．
由（Ⅰ）得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是
．解得，．因为，，，所以当的斜率为
或时，四边形为平行四边形．
19．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)
在直角坐标系中，曲线：与直线(＞0)交与两点，
(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；
(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。
【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在
分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N．（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标．
解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，．
∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为
，即．
故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为
，即．
故所求切线方程为或．
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为．
将代入C得方程整理得．
∴．
∴==．
当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以符合题意．
20．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
设,分别是椭圆C：的左，右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．
(Ⅰ)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(Ⅱ)若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b．
【答案】解析：（Ⅰ），解得
（Ⅱ）依据题意，原点为的中点，与轴垂直，所以直线
与轴的交点是线段的中点，故，即
由，得
设，且，易知，则
，代入椭圆方程得
又代入上式，解得．
21．(2014高考数学课标1理科)已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点．
(1)求的方程;
(2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程．
【答案】解析:(1)设,由条件知,得 又,
所以 , ,故的方程．
(2)依题意当轴不合题意,故设直线l:,设
将代入,得,
当,即时,
从而
又点到直线的距离,所以的面积
,
设,则,,
当且仅当,等号成立,且满足,所以当的面积最大时,的方程为: 或．
22．(2013高考数学新课标2理科)平面直角坐标系中，过椭圆右焦点的直线交于两点，为的中点，且的斜率为．
(1)求的方程；
(2)为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．
【答案】（1） ；（2）
解析：（1）设，则； ；
两式相减得到，
因为，设，
因为P为AB的中点，且OP的斜率为，
所以，即．
所以可以解得，即
所以的方程为．
（2）因为CD⊥AB，直线AB方程为，
所以设直线CD方程为，
将代入得：
所以可得；
将代入得：，
设，
则
又因为,
所以当时，取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为
23．(2013高考数学新课标1理科)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆 内切，圆心的轨迹为曲线 C．
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
【答案】（1） （2）
解析：由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3．
设动圆的圆心为（，），半径为R．
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为．
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,
当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2．
∴当圆P的半径最长时，其方程为，
当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=．
当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得．
当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==．
当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，
综上，|AB|=或|AB|=．
24．(2012高考数学新课标理科)设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于两点．
(1)若，的面积为,求的值及圆的方程；
(2)若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．
【答案】（１） （２）３
解析：（1）由对称性知：是等腰直角三角形，斜边
点到准线的距离
圆的方程为
（2）由对称性设，则
点关于点对称得：
得：，直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
